2008年数一考研答案

1、2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)X2(1)设函数f(x) = 0 In(2 t)dt，则f(X)的零点个数为【】(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.【答案】应选(B).【详解】f (x)二 ln(2 x2) 2x 二 2xln(2 x2).显然f (x)在区间(：，：)上连续，且(1) = (-21 n3)(2In3) ： 0 ,由零点定理，知f (x)至少有一个零点.2 4x2又f (x)=2I n(2，x2) 上J 0，恒大于零，所以f (

2、x)在(：，=)上是单调递增2 +x的.又因为f (0) =0 ,根据其单调性可知，f (x)至多有一个零点.故f (x)有且只有一个零点故应选(B).x(2)函数f(x,y)=arctan在点(0,1)处的梯度等于【y(A) i(B) -i(C)j.(D) -j .【答案】应选(A).【详解】因为- yex21 xI 2yyx2 y2c2y xi 2y-xx所以=1,(0,1):y=0，于是gradf (x, y)(。=i .故应选(A).(0,1)(3)在下列微分方程中，以y = C1ex C2 cos2x C3 sin2x ( G,C2,C3为任意的常数)为通解的是【(A) y y-4y

3、-4y=0.HFW - F i .-(C) y - y -4y 4y=0.【答案】应选(D).(B) y y 4y 4y = 0.(D) y - y 4y -4y = 0 .【详解】由y =Gex C2cos2x C3sin2x，可知其特征根为人=1 ,芯,3 =i，故对应的特征值方程为(一1)(2i)( -2i) =( -1)( 2 4)=3 4扎.2 -4= 3.2 4% -4所以所求微分方程为 y4 y - 4 y = 0 应选(D).(4)设函数f(x)在(：，：)内单调有界,(A)若%收敛，则 f (Xn)收敛(C)若 f (Xn)收敛，则人收敛.【答案】应选(B).【详解】若Xn单

4、调，则由函数f (X)在(Xn为数列，下列命题正确的是【】.(B)若Xn单调，则 f (Xn)收敛(D)若 f (Xn)单调，则人收敛._：)内单调有界知，若 f (Xn)单调有界,A3 = 0 ,则【 】(B) E-A不可逆，则E A可逆.(D) E - A可逆，则E A不可逆.因此若 f (Xn)收敛.故应选(B).E为n阶单位矩阵.若(5)设A为n阶非零矩阵，则下列结论正确的是：(A) E - A不可逆，则E - A不可逆.(C) E -A可逆，则E A可逆. 【答案】应选(C).【详解】故应选(C).(E - A)(E A A2) =E - A3 = E , (E A)(E - A A

5、2) = E A3 = E . 故E -A , E A均可逆.故应选(C).(6)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x y z)A y I = 1在正交变换下的标准方程的图形如图，则 A的正特征值个数为【(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为特征值个数为1 .故应选(B).2X2a2 2y z2c=1 .故A的正(7)设随机变量X，丫独立同分布且 X的分布函数为F (x)，则Z = max X, Y的分布函数为【】2 2(A) F (x).(B) F (x) F (y). (C) 1 - 1 - F (x

6、 )2. (D) 1 一 F (x )1 一 F (y).【答案】应选(A).【详解】F (z) = P Z 岂 z 二 P maxX,Y z：=P XzPYz 二 F (z )F (z) = F 2( z).故应选(A).(8)设随机变量X D N(0,1) , Y N(1,4),且相关系数rXY = 1，则【】(A) PY - -2X -1=1(B) PY = 2 X -1 =1(C) PY - -2X 1=1(D) PY = 2X 1=1【答案】应选(D).【详解】用排除法设 Y =aX b 由匚丫 = 1，知X , Y正相关，得a 0 .排除(A) 和(C).由 X N (0,1) ,

7、 丫口 N (1,4)，得EX =0, EY 二 1, E (aX b) = aEX b.1 = a 0 b , b = 1 .从而排除(B).故应选(D).:、填空题：(9- 14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)(9)微分方程xy： y = 0满足条件y(1)=1的解是y二 .【答案】应填y=.x【详解】由业=，得鱼两边积分，得In |y |=Tn |x| V . dx x y x1代入条件y(1) =1，得C = 0 所以y =.x(10)曲线sin(xy) In( y -x)二x在点(0,1)的切线方程为 【答案】应填y =x 1.【详解】设 F(x, y) =sin

8、(xy) In( y x) -x ,则Fx(x, y) =xcos(xy)Fx(x, y) = ycos(xy)1 ,y xFx(0,1)=1, Fy(0,1)=1 .于是斜率 k = 一 Fx(0,1)=1.Fy (0,1)故所求得切线方程为y = x 1 .在x二-4处发散，则幕级数oO(11)已知幕级数v an(x - 2)n在x二0处收敛，n =0qQ7 an(x -2)n的收敛域为n 【答案】(1,5.OqQ【详解】由题意，知an(x 2)n的收敛域为(-4,0，则anxn的收敛域为(-2,2.所n n qQ以an(x -2)n的收敛域为(1,5.n =0一 :. 2 2(12) 设

9、 曲 面 二 是 z 4 -x-y 的 上 侧， 则211xydydz xdzdx x dxdy 二 .y【答案】4二.【详解】作辅助面 二：z二0取下侧.则由高斯公式，有211xydydz xdzdx x dxdyyxydydz xdzdx x2dxdy 11 xydydz xdzdx x2dxdy1ydV 亠 11 x2dxdy .1x2 y2 _412212二 2=0 -(x y )dxdy = - o dr。X2 y2 -4r2 rdr164=4二.（13）设A为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量,A_：= 0 , A 2 二 2匕2 .则 A的非零特征值为 【答案】应填1.【详解】根据

10、题设条件，得At 1, A 2（0,212） 0 211丿0 2、巾20 2、AP =P，从而P AP =.记B =0 b0 b0 b记P =（冷，2），因1，2线性无关，故P= CWT）是可逆矩阵因此则A与B相似,相同的特征值.因为EB |=九一2 =仏1），人=0,九=1故A的非零特征值为1.0 人一1从而有（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则 PX =EX =1【答案】应填丄.2e【详解】因为X服从参数为1的泊松分布，所以EX = DX =1 .从而由DX二EX2 -（ EX）2得 EX 2 =2 .故 PX =EX2 ； = PX =2-.2e三、解答题：（15 23小题，共

11、94分.）（15）（本题满分10分）求极限sin x - sin(sin x) Isin x4x【详解1】limx )0sin x - sin(sinx) Isinx4xsin x - sin(sin x)】 lim3x ex3cosx cos(sinx )cos x . 1cos(sinx) lim2limx )0x 0一 (sin x) sin(sin x)cos x2lim(或二 lim 2，或二 limx )06 xXT3 xXT1 22sin x o(sin x)2 ()【详解2】limx_ 0sin x - sin(sin x) Isin xbin x - sin(sin x )】

12、sin x =lim厂x 0sin xt - sintt23t21 cost =limt0(或二lim型7 6t(16)(本题满分9分)计算曲线积分 Lsin 2xdx 2(x 2 -1)ydy，其中L是曲线y =sin x上从(0,0)到(二，0) 的一段.【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算.2Lsin 2xdx 2( x -1)ydy2:2=0 sin 2xdx 2(x -1)sin xcosxdx = o x sin 2xdxx2 cos2xJIxcos2xdx =2n_+2x cos 2xdx0Jl:2 xsin2x+二 sin2x dx 0 2兀2【详解2】添加辅助线，按照 Gr

13、een公式进行计算.设L1为x轴上从点(二,0)到(0,0)的直线段.D是L1与L围成的区域2l l sin 2xdx 2(x -1)ydy；(2(x2T)y ；:sin2x dxdy 二- 4xydxdyD Lx:yD二 sinx二2二4xydydx = 2xsin xdx = x(1 cos2x)dx0 0 02 JtJI0xcos2xdx 二 2二 XSin2x因为 sin 2xdx 2(x2 1)ydy0sin 2xdx = 0兀故丄sin 2xdx 2(x0 xcos2xdx 1)ydy 二【详解 3】令 | 二 Lsin2xdx 2(x2 -1)ydy2二 l sin 2xdx -

14、 2 ydy 2x ydy = h 12（5P cP对于11，记P = si n 2x, Q=-2y .因为0，故Ii与积分路径无关.cyExh =Si n2XdX=0 .二 2x sin 2xdx0对于I 2，22I2 2x ydy 2x sinxcosxdx =2L0x2 cos2x兀xcos2xdxxsin2xJT二sin2x , dx,Lsin2xdx 2(x2 -1)ydy17 （本题满分 11x2y2分)已知曲线C :lx + y + 3 z= 5,22 =0,求C上距离xoy面最远的点和最近的点.【详解1】点（x, y, z）到xoy面的距离为| z |，故求C上距离xoy面最远

15、的点和最近的点的坐标等价于求函数H =Z2在条件x2 y2 - 2Z2 = 0, y 3z = 5下的最大值点和最小值占八、构造拉格朗日函数L(x,y,z,)=z2(x2 y2 -2z2) -(x y 3z-5)，匕=2hx + 2P =0,L； =2入y + U=0, 由 L； =2z4扎z + 34 =0,2 丄 22cx +y -2z =0,x y 3z =5.从而丿2x2 2z2 =0,2x 3z = 5.x = -5,? = 1,解得y - -5,或y =1,z = 1.根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(-5,-5,5)和(1,1,1).【详解

16、2】点(x, y, z)到xoy面的距离为| z |,故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的 坐标等价于求函数 H = x2 y2在条件x2 y2 _2i xy_5 =0下的最大值点和最小I 3丿值点.构造拉格朗日函数L (x, y, z,)二 x2 y2 r x2 y2 (x y 一 5)2 ,i 4Lx = 2x 2x (x y - 5)9、y )4、2y-6(x y-5) = 0,2=0.3=0,由 Ly =2y ix2y2 -2得 x = y，从而 2x2 -2(2x-5)2 =0 .9解得x = -5,x =1,I、Iy = _5,或 y 二1,z = 5. z = 1.根据几何意

17、义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(-5,-5,5)和(1,1,1).【详解3】由x2 - y2 -2zZ = 0得X =2zcos 巧y =2zsin 代入x y 3 z二5，得53f2(cosv sin所以只要求Z二z(r)的最值.令z (力5、2( -sin： cos)3 2(cos sin 打得 cost - sin v5:：解得，_44从而x 二-5, y = -5,或Z =5.x = 1, “ y T Z=1.根据几何意义，曲线C上存在距离 xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为 (-5,-5,5)和(1,1,1).(18)(本题满分10分) 设f

18、(x)是连续函数,xd(I)利用定义证明函数 F(x)= o f (t)dt可导，且F (x)= f (x)；x2f (t )dt(ll )当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2. f(t)dt-x.o也是以2为周期的周期函数.(I)【证明】F (x“ lxm)F (x)- f (x)xPm0x xx0f (t)dt .o f (t)dtxX： ：F-xf (t )dtlim f( x.j0：x=im f )=f( x)【注】不能利用 L Hospital法则得到Xxf (t )dt.xlimJ0. x(II)【证法1】根据题设，有G (x 2)二x 222T2f (t) d

19、t- (x 2) o f (t) dt 二 f (x 2)- f (t) dt,x2r2G (x) = 2 o f (t) dt-x o f (t) dt =2 f (x)- o f (t )dt .当f (x)是以2为周期的周期函数时，f (x 2) = f (x).从而G (x 2) = G (x) 因而G(x 2) - G(x) = C .取 x= 0得，C=G(0 2)-G(0) =0，故 G(x 2) -G(x) = 0 .x2即G( x)=2.。f (t) dt-Xp f (t )dt是以2为周期的周期函数.【证法2】根据题设，有x七2G(x 2)=2。f(t)dt-(x 2) 0

20、 f(t)dt，2x 222=2 0 f (t)dt x 2f (t)dt-x 0 f (t)dt -2 0 f (t )dt.X七对于.2f (t)dt，作换元t = u 2，并注意到f (u 2) = f (u)，则有X m2XXXf (t) dt =f (u+ 2)du = J f (u)du= f f (t) dt,2 0 0 0x22因而x 2 f (t)dtx J0 f (t )dt = 0 .于是x2G(x 2)=2f (t)dt-x 0 f (t)dt=G(x).x2即G( x) =2. f (t) dt-Xp f (t )dt是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有x七2

21、G(x 2)=2f(t)dt-(x 2) f(t)dt ,00xx 222=2 0 f(t)dt 2 xf(t)dt-x 0 f(t)dt-2 0 f(t)dtx2x 22=2 f (t)dt-xf (t )dt2 f (t)dt- 2 f dt00- x0x 2=G (x) 2 xf (t) dt-2-0 f(t)dt .当f (x)是以2为周期的周期函数时，必有x 22x f (t )dt。f (t) dt 事实上x 2d( 2f (t)dt)-f (x 2) - f (x )=0 ,dx所以x 22 f (t )dt=C 0422取 X 二 0 得，c = 2f (t) dt 二 2 f

22、 (t) dt 所以x2G(x 2)=2。f (t)dt-x 0 f (t)dt 二G(x).x2即G(x) = 2.o f (t)dt - x o f (t)dt是以2为周期的周期函数n-1的和.n T n(19)(本题满分11分)2将函数f (x) = 1 - x (0乞X虫恵)展开成余弦级数，并求级数2a0 :【详解】将f (X)作偶周期延拓，则有 bn = 0,1,2,1.1-3丿2 :anf (x)cos n xdx2丨二=-,0COsnxdx-.(2 cosnxdx-0- n (cosnxdx-2x2 sin nxjiJI2 x sin nx0Fdx4(-1) 22n2Jta0-二

23、所以 f (x)=1- x 一 an cosnx 二 1 - 一 4n -13n -1a。甲8X 0 xn令 x=0,有 f (0)=1又 f (0) =1 ,所以n z!:212(20)(本题满分10分)设:为3维列向量，矩阵 A - T l：l：J，其中：T , T分别是:/得转置证明:(I) 秩 r(A) 2 ;(II) 若:/线性相关，则秩r(A) : 2 【详解】(I)【证法 1 】r(A)二 r(-:-T T) _ r( -T) r( 口：, T) _ r(_：J - r( ：) _ 2 .【证法2】因为A：戈八l ：l ：T , A为3 3矩阵，所以r(A) 3 .因为:为3维列

24、向量，所以存在向量、0，使得:T =0, T =0所以Ax = 0有非零解，从而 r(A) 2 【证法3】因为A = ：vT l：l ：T，所以A为3 3矩阵.所以 | A |=|：0|II )【证法=(a PT aT=0:,&、0) PT0不妨设- 于是(-)1 2A): r (T(21)(本题满分12分).设n元线性方程组 Ax二b，其中2a 12a 2 a 12a 2 a1A =*t2a上1 ”x2，b =0T4，x =*b甲b2a1xn Je丿2 a2屯(I)证明行列式| A| = (n 1)an;(II) 当a为何值时，该方程组有惟一解，并求x1 .(III) 当a为何值时，该方程组

25、有无穷多解，并求其通解.【详解】(I)【证法1】数学归纳法.记 Dn A|二2a2a12a2a12a1V2a2a以下用数学归纳 法证明Dn = (n 1)an .当n =1时，D2a，结论成立.r 2a 12当n = 2时，D2 = 2= 3a ,结论成立.a 2a假设结论对小于n的情况成立.将 Dn按第一行展开得12a 1Dn = 2aDn 4 -a2a 12 a 12an -42= 2aDnj -a Dnn -12n -2二 2ana-a (n1)a=(n 1)an【注】本题(1 )也可用递推法.由Dn =山二2aDn j - a2 Dn 2得，Dn - aDn J = a ( Dn- a

26、Dn/) = HI =n _2(D2 - aDi)=an 于是 Dn 二(n 1)an(I)【证法2】消元法记2a3a22a2a2r 3 - ar233 24a32a2a=1111112a2 a2a2a2 a2a2a2a2 a2a2a 1n 1 rn arn J n(II)【详解】当-0时,方程组系数行列式Dn = 0，故方程组有惟一解.由克莱姆法则,1 12a 10 2 a1a22a 1a22a1a22 a 1a-a=I-I VVV* * * * *a22a1a22a1a22ana22a将Dn得第一列换成b，得行列式为n _1Dn Jn -1=Dn=na所以,X1Dn(n 1)a101X3、1101X200f1rkF*,1x200I Xn丿(III)【详解】当a - 0时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为n -1，所以方程组有无穷多组解，其通解为x = (0 1 III 0 丨 +k(1 0 IH 0 /，其中k为任意常数.(22)(本题满分11分)1设随机变量 X与Y相互独立，X的概率密度为 p(X =i)(i - -1,0,1) , Y的概率密度为1,2。,1,其它(1)求 Pz兰1