优品课件之等腰三角形的判定

1、优品课件 等腰三角形的判定 第十二讲 等腰三角形的判定 由于等腰三角形有丰富的性质，这 些 性质为我们解几何题提供了新的理论依据， 所以寻找发现等腰三角形 是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是： 从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三 角形的两个角相等， 实际解题中 的一个常用技巧是，构造等腰三角 形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有： 1.“角平分线+平行线”构造等腰三角形；2 .“角平分线+垂线” 构造等腰三角形；3 .用“垂直平分线”构造等腰三角形；4 .用“三 角形中角的2倍关系”构造等腰三角形. 例题求解 【例1】 如

2、图，一个六边形的6个内角都是120,其连 续四边的长依次是1、9、9、5,那么这个六边形的周长是cm.（ “祖 冲之杯”邀请赛试题）思路点拨 设法将六边形的问题转化为三角形 或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为 60,利用60构造 等边三角形是解本例的关键. 注 证明线段相等是最基本的几何问题， 目前常用证法有：（1）若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三 角形全等；（2）若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边 证明；（3）寻找中间线段，通过等 量代换证明. 类似的，我们可以 对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结.不同形状的几何图 形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的

3、两种转化方 式. 【例2】 如图，已知 Rt ABC中，/ C=90，/ A=30，在直 线BC或 AC上取一点P,使得 PAB是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（）A . 2个B . 4个C . 6个D. 8个（江苏省竞赛题）思路点 拨AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形 PAB的底， 故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数.【例3】如 图， ABC中, ADLBC于 D,/ B=2Z C,求证：AB十 BD= CD （天 津市竞赛题）思路点拨如何利用条件/ B=2Z C?又怎样得到AB+BD? 不同的思考方向，会找到解题的不同方法.【例4】 如图甲，点C 为线段A

4、B上一点， ACMACBN是等边三角形，直线 AN MC交于 点E,直线BM CN交于点F. （1）求证：AN=BM （2）求证： CEF 是等边三角形；（3）将厶ACM绕点C按逆时针方向旋转90,其他条 件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第（1）、 两小属结 论是否仍然 成立（不要求证明）.（荆门市中考题） 思路点拨 图甲中有多对全等三角形，这是解（1）、（2）问的基础.注 若仅将题中的条件/ A= 30改为/ A=45,则符合条件的点有几个？ 若将题中的条件/ A=30,改为/ AM30,/ AM45,则符合条件 的P点有几个？青读者思考.分折法（执果溯因），综合法（由因导果） 是

5、两种最基本的分析方法.处理题设条件中的“两倍角”的基本途 径是：（1）向外构造等腰三角形；（2）对内作角平分线. 【例5】 如图，在五边形 ABCDEK/ B=Z E,/ C=/ D, BC=DE M为 CD中 点，求证：AML CD （武汉市选拔赛试题）思路点拨 证明/ AMC=9 或应用等腰三角形“三线合一”的性质， 通过作辅助线将五边形问题 恰当地转化为三角形问题是解本例的关键. 学历训练1 .如图，在厶ABC中，/ B、/C的平分线相交于O点.作 MN/ BC EF/ AB GH/ AC BC= a, AC=b AB= c ,则厶GM（周长 + ENO 的周长一 FHO勺周长.2 .如

6、图， ABC中, AB二AC / B=36 , D E是BC上两点，使/ ADE/ AED=/ BAD则图中等腰三角形共有 个. 3.如图，ABE , AD平分/ BACAB+BD二A则/D:/C 的值=.（“五 羊杯”竞赛题）4 .如图，四边形ABC冲，对角线AC与BD相交于 E点，若AC平分/ DAB且AB=AEAC=ADW如下四个结论：ACL BD BC=DE/ DBC二/DAB厶ABE是等边三角形.请写出正确结 论的序号.（把你认为正确结论的序号都填上）（2002午天津市中考 题）5.如图， 在厶ABC中, / BAC=106 , EF、MN分别是AB AC的 中垂线，E、M在 BC上

7、，则/ EAM等于（）A. 58 B. 3 2 C. 36 D. 34 6.如图，在 ABC中，/ B= 2/C,贝卩AC与 2AB之间的关系是（） A. AC2AB3. AC= 2ABC. ACK 2ABD. ACAB+AC.CPA+PB+PC二AB+AC D. PA+PB+P与 AB+AC勺大小关系不确定，与 P点位置有关 19. 如图，在 ABC内，/ BAC=60，/ ACB=40 , P、Q分别在 BG CA上，并且AR BQ分别为/ BAC / AB C的角平分线.求证： BQ+AQ=AB+BP（2002年全国初中数学竞赛矗）20，如图，在 ABC 中，AB=ACZ ABC60，/

8、 ABD=60，且/ ADB=90 一 / BDC 求 证：AC=BD+DC（天津市竞赛题）21.如图，在厶ABC中, / BAC=90 , AB= AC D是厶 ABC内一点，且/ DACh DCA=15，求证：BD= BA 22 .在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三 角形（包括等边三角形），且每两点之间函线段长只有两个数值， 则这 四点的取法有多少种？画图说明.（潍坊市中考题）23 . （1）如图， 四边形 ABC中, AB=AQZ ABD=60，/ BCD=120，证明： BC+DC二AC (2) 如图，四边形 ABCD中, AB=BCZ ABC=60 , P为 四边形 ABCD点，且/ APD=120，证明：PA+PD+PCBD (江苏 省竞赛题) 24.如图，等边