优品课件之一定是直角三角形吗

1、优品课件 一定是直角三角形吗 2 一定是直角三角形吗1 .勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定 理的内容：如果三角形的三边长 a, b, c满足a2+ b2 = c2，那么这 个三角形是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学 对知道三角形三边满足a2+ b2 = c2能得到直角三角形这样的一种结 论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出 来.比如：如果在厶 ABC中，AB= c, BC= a, CA= b,并且满足a2 + b2 = c2 （如图所示），那么/ C= 90 .作厶 A1B1C1 使/ C1= 90, B1C仁 a, C1A仁 b,贝卩 A1B2仁a

2、2+ b2. v a2+ b2 = c2，二 A1B1= c（A1B10）.在厶 ABCffiA A1B1C1 中，/ BC= a = B1C1,CA= b= C1A1 AB= c = A1B1,ABCAA1B1C1.C=Z C1= 90 .辨误区 勾股定理的逆定理的条件（1）不能说成在直角三角形中，因为还没有 确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”.（2）当满足 a2+ b2 = c2时，c是斜边，/C是直角. 利用勾 股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是： 先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和， 如果最长边的 平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三

3、角形.对啊！到 目前为止判定直角三角形的方法有：说明三角形中有一个直角； 说明三角形中有两边互相垂直；勾股定理的逆定理 . 【例 1】 如图所示，/ C= 90 AC= 3, BC= 4, AD 12, B 13, 问：ADLAB吗？试说明理由.解：ADLAB.理由：根据勾股定理得 AB= AC牡 BC2= 5.在厶 ABD中, AB2+ AD2= 52+ 122= 169, BD2= 132 =169,所以AB2+ AD2= BD2.由勾股定理的逆定理知厶ABD为直角 三角形，且/ BAD= 90 .故ADLAB. 2 .勾股定理的逆定理与勾股 定理的关系 勾股定理是通过“形”的状态来反映“

4、数”的关系的， 而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态 的.（1）勾股定理是直角三角形的 性质定理，勾股定理的逆定理是 直角三角形的判定定理，二者是互逆的.（2）联系：两者都与a2 + b2= c2有关，两者所讨论的问题都是直角三角形问题.（3）区 别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这 个直角三角形三边的数量关系“ a2+ b2= c2”；勾股定理的逆定理则 是以“一个三角形的三边满足 a2+ b2= c2”为条件，进而得到这个 三角形是“直角三角形”.（4）二者关系可列表如下：定理勾股定 理 勾股定理的逆定理 内容 如果直角三角形的两直角边长分别为 a

5、, b,斜边长为c,那么a2+ b2= c2如果三角形的三边长a, b, c满足 a2+ b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 题设 直角三角形的两直 角边长分别为a, b,斜边长为c三角形的三边长a, b, c满足a2+ b2 = c2结论a2 + b2= c2三角形是直角三角形 用途 是直角三角 形的一个性质 判定直角 三角形的一种方法 【例2】如图，在厶ABC 中，D为 BC边上的点，已知：AB= 13, AD= 12, AC= 15, BD= 5,求 DC.分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数 据. 解：T AD蓉BD2= 122 + 52= 132=AB2,二

6、由勾股定理的逆定 理知 ADB为直角三角形. ADLBC.在Rt ADC中，由勾股定理， 得 DC= AC2- AD2= 152- 122= 92.二 DC= 9. 3 .勾股数 勾股数：满 足a2+ b2 = c2的三个正整数，称为勾股数.（1）由定义可知，一组 数是勾股数必须满足两个条件：满足a2+ b2= c2;都是正整数.两 者缺一不可.（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数 仍满足a2+ b2 = c2（但不一定是勾股数），以它们为边长的三角形是 直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角 三角形. 【例 3】 7,24,25 ;8,1

7、5,19 ;0.6,0.8,1.0 ; 3n,4n,5n（n 1,且为自然数）.上面各组数中，勾股数有 组.（）.A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： V T 72 + 242= 252, 且7,24,25都是正整数，二7,24,25是勾股数.X / 82+ 152工192, 二8,15,19不是勾股数. X / 0.6,0.8,1.0 不是正整数，二0.6 , 0.8 , 1.0 不是勾股数. V t（3n）2 +（4n）2 = 25n2= （5n）2 （n 1,且为自然数），且它们都是正整数，二3n,4n,5n（n 1,且为自然 数）是勾股数.答案：B析规律 勾股数的判断 方法

8、 判断勾股数要 看两个条件，一看能否满足a2 + b2 = c2，二看是否都是正整数.这 两者缺一不可.4 .勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理在 解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角.家里 建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工 人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角.【例4】如图是一农 民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一 下，发现AB= DC= 8 m, AD= BC= 6 m, AC= 9 m,请你帮他看一下， 挖的地基是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用， 所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用

9、直角三角形的判 定条件，来判断它是否为直角三角形.解：T AD 2+ DC2= 62 + 82 =100,AC2= 92= 81,二 AD黔 DC弹 AC2.ADC不 是直角三角形， / AD390 .又T按标准应为长方形，四个角应为直角，二该农民 挖的地基不合格. 5. 利用非负数的性质判定三角形的形状在由一个等式求三角形的三 边长时，往往先把等式化为 a2+b2 + c2 = 0的形式，再由a= 0, b = 0, c = 0,求得三角形三边之长，利用计算来判断 ABC是否是直角 三角形.谈重点判定三角形的形状由条件等式来判断三角形的形 状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得

10、出a, b, c的关系，从而判断三角形的形状.【例5】 如果一个三角形的三 边长 a, b, c 满足 a2+b2 + c2 + 338= 10a + 24b + 26c，试说明这个 三角形是直角三角形.分析：本题需要将已知等式进行变形，配成 完全平方式，求出a, b, c的值，然后再说明.解：将式子变形， 得 a2 + b2+c2+ 338- 10a 24b 26c= 0, 即 a2- 10a + 25+ b2 24b + 144 + c2 26c + 169= 0.整理，得（a 5）2 + （b 12）2 + （c 13）2 = 0.因此 a 5 = 0, b12 = 0, c 13= 0

11、, 二a = 5, b= 12, c= 13. t a2+ b2= 52+ 122= 132= c2,二这个三角形是直角三角形. 6. 勾股定理及其逆定理的综合应用（1）利用勾股定理解决生活中的 实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型（直 角三角形）来解决.（2）综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图 形转化为规则图形是常用的数学方法， 在这里，一方面要熟记常用的 勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角 形的三边长 已知或具有 某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角 三角形.【例6】 如图所示，在四边形 ABCDK AD= 3 cm, AB= 4 cm / BAD= 90, BC= 12 cm CD= 13 cm.求四边形 ABCD勺面积. 分 析：根据 AD= 3 cm, AB= 4 cm,/ BAD= 90,可连接 BD构成直角 三角形，通过判断 BCD是直角三角形解决问题.解：连接BD在 ABD 中，T AD= 3 cm, AB= 4 cm,/ BAD= 90, 根据勾股定理， 得 B