函数模型及其应用-知识点与题型归纳

1、 高考明方向1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.备考知考情1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题， 考查建模能力及分析问题和解决问题的能力3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主 .一、知识梳理名师一号p35知识点一 几类函数模型二次函数 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) a幂函数型函

2、数模型f(x)ax b(a，b 为常数，a0)n知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数 ya (a1)与幂函数 yx (n0)：xn在区间(0，)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn，但由于 ax 的增长快于 xn 的增长，因而总存在一个 x ，当 xx 时，有 axxn.002对数函数 ylog x(a1)与幂函数 yx (n0)：na对数函数 ylog x(a1)的增长速度，不论 a 与 n 值的大小如何，总会慢于 yxn 的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数 x ，当 xx 时，有 log xxna00a由 1、2 可以看出三种增长

3、型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个 x ，当 xx 时，有 axxnlog x.00a注意：名师一号p36 问题探究 问题 1、2问题 1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？ (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：问题 2 在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误所

4、以，要理解题意，选择适当的函数模型(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围 ，合理确定函数的定义域(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须 验证这个数学解对实际问题的合理性二、例题分析：（一）三种函数模型增长速度的比较例 1.名师一号p36 对点自测 5、6 5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数2 的函数值比 yx 的函数值大()x2(2)幂函数增长比直线增长更快(3)不存在 x ，使 a x log x .()x0n00a 0(4)f(x)x ，g(x)2 、h(x)log x，2x2当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)g(x)()答案 (1) (2) (3)

5、 (4)思考：如何证明：任意 x(4，)， x22x 恒成立。6在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()xy1.950.973.001.595.102.356.122.611.9812a.y2 bylog x cy (x 1) dy2.61cosxx22解析 由表格知当 x3 时，y1.59，而 a 中 y238， 1不合要求，b 中 ylog 3(1,2)接近，c 中 y (321)4，22不合要求，d 中 y2.61cos30，不合要求，故选 b.（二）函数模型应用题例 1.名师一号p36 对点自测

6、11.一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为图中的()abcd解析 由题意知 h205t(0t4)，故选 b.例 2.名师一号p36 高频考点 例 1(2014武汉调研)在经济学中，函数 f(x)的边际函数 mf(x)定义为：mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 r(x)元，成本为 c(x)元，且 r(x)3 000x20x2， c(x)500x4 000(xn*)现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台(1)求利润函数 p(x)以及它的边际利润函数 mp(x)；(2)求利润函

7、数的最大值与边际利润函数的最大值之差解析：(1)由题意，得 x1,100，且 xn*.p(x)r(x)c(x)(3 000x20x2)(500x4 000)20x22 500x4 000，mp(x)p(x1)p(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20x22 500x4 000)2 48040x.1252(2)p(x)20 74 125，x2当 x62 或 x63 时，p(x)取得最大值 74 120 元；因为 mp(x)2 48040x 是减函数，所以当 x1 时，mp(x)取得最大值 2 440 元故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元注意:名师一号p

8、36 高频考点 例 1 规律方法二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围， 根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解例 3.名师一号p36 高频考点 例 2一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等 ，当砍伐到面积的一半 时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积1422的 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 .(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解析：12(1)设每年降低的百分比为 x(

9、0x1)，则 a(1x) a，1011 1012 即(1x)10 ，解得 x1 2.2(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 ，22则 a(1x) a，即m2 m11 102 1 22 m 110 2 ， ，解得 5，m故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年注意:名师一号p37 高频考点 例 2 规律方法(1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题 可以利用指数函数模型来表示(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型(3)ya(1x) 通常利用指数运算与对数函数的性质求解n例 4.名

10、师一号p37 高频考点 例 3某旅游景点预计 2015 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数12的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x) x(x1)(392x)(xn ，且 x12)已知第 x 个月的人均消费额*q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)(1)写出 2015 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位：人)与 x 的函数关系式；(2)试问 2015 年第几个月旅游消费总额最大， 最大月旅游消费总额为多少元？解析：(1)当 x1 时，f(1)p(1)37，当 2x12，且 xn*时，f(x)p(x)p(x1)1212 x(x1)(392x) (x1)x

11、(412x)3x240x，验证 x1 也满足此式，所以 f(x)3x240x(xn*，且 1x12)(2)第 x 个月旅游消费总额为g(x)即 g(x)当 1x6，且 xn*时，g(x)18x2370x1 400，令 g(x)0，140解得 x5 或 x (舍去)9当 1x0，当 5x6 时，g(x)0，当 x5 时，g(x) g(5)3 125(万元)max当 7x12，且 xn*时， g(x)480x6 400 是减函数，当 x7 时，g(x) g(7)3 040(万元)max综上，2015 年 5 月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为 3 125 万元注意:名师一号p37 高频考点

12、 例 3 规律方法(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值练习：温故知新 p32 第 6 题某辆汽车购买时的费用是 15 万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元，年维修保养费用第一年3000 元，以后逐年递增 3000 元，则这辆汽车报废的最佳年限（即年平均费用最少）是 答案：10 年函数模型应用题专项突破从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力【典例】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 v 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率)(1)将 v 表示成 r 的函数 v(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 v(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 课后作业计时双基练 p231 基础 1-9、培优