中考复习篇之《专题三几何多解题》

1、专题三 几何多解题 类型一 图形的折叠与剪拼 （2017 安徽）在三角形纸片ABC中，/ A= 90,/ C- 30, AO 30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边 BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去 CDE后得到双层厶BDE如图2）， 再沿着过厶BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一 个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为 cm. 【分析】 由轴对称得 ADB2A EDB由已知可求 AD AB BD,考虑到三角形 BDE中/DEB= 90 / DBE= 30, / EDB= 60,故沿 BD上的中线或/ EDB的 平分线剪开可得平行四边形

2、，且都为菱形，求出周长即可 【自主解答】 【方法点拨】 动手操作这类题常见的方法是学会自觉地运用数学知识去观察、 分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们熟悉的数 学问题,如本题所给的直角三角形比较特殊,其次,一般选择角平分线、中线 等常见的考查对象入手 【难点突破】抓住 BDE是直角三角形，且/ B= 30,/ D= 60,从而想到沿 BD上的中线或/ EDB的平分线这两种特殊情况剪开才会有一个四边形是平行四 边形 1 如图，在 Rt ABC中，/ ACB= 90/ B= 30, AC= 2, E 为斜边 AB的中 点，点P在射线BC上,连接AP PE将 A田沿着边PE折

3、叠，折叠后得到 EPA , 当折叠后厶EPA与厶BEP重叠部分的面积恰好ABP面积的四分之一时，BP 的长为 2. 如图，在矩形ABCD中, AB= 5, BC= 7,点E为BC上一动点，把 ABE折叠， 当点B的对应点B落在/ ADC勺平分线上时，点B到BC的距离为. 3. （2019 -安庆一模）如图， ABC是一张等腰三角形纸片，且 AB= AC= 6, BC =4,将厶ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪 开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原厶 ABC不全等的新三角形，则折痕 的长为 . 4. 如图，把一张矩形纸片对折两次（折痕互相垂直且交点为 0）,然后

4、剪下一个 角，为了得到一个锐角为 50。的菱形，剪口与折痕所成角a的度数为 5. （2019 宿州泗县一模）已知在矩形ABCD中, AB= 6, BC= 10,沿着过矩形顶 点的一条直线将/B折叠，使点B的对应点B落在矩形的边上，则折痕长为 6. （2019 合肥长丰县二模）如图，矩形ABCD中, A 9, AB= 15.点E为射线 DC上的一个动点，将 ADE沿着AE折叠，当 AD B为直角三角形时，DE的长 为. 7. （2019 -河南）如图，在矩形 ABC冲，AB= 1，BC= a，点E在边BC上，且BE 3 =5a.连接AE将厶ABE沿 AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABC的边上

5、， 则a的值为. 8 （2019 -黑龙江）一张直角三角形纸片 ABC / ACB= 90 AB= 10, AC= 6, 点D为BC边上任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点 C落在斜边AB上的 点E处，当 BDE是直角三角形时，CD的长为. 9. 如图，在菱形 ABCD中, Z DAB= 45 AB= 4,点P为线段AB上一个动点， 过点P作PE!AB交直线AD于点E,沿PE将ZA折叠，点A的对应点为F,连接 EF, DF CF.当厶CDF为等腰三角形时，AP=. 10. （2019 -合肥瑶海区一模）如图，有一张面积为12的锐角三角形纸片，其中 一边BC为4,把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重

6、叠的矩形，且矩形的一边与BC 平行,则矩形的周长为 . 11. (2019 合肥庐阳区一模)如图，正方形ABCD勺边长是16,点E在边AB上， AE= 3,点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把 EBF沿EF折叠，点B 落在B处.若 CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为. 类型二图形的平移与旋转 1. 已知正方形ABCD勺边长为8, E为平面内任意一点，连接 DE将线段DE绕 点D顺时针旋转90得到DG当点B, D G在一条直线上时，若DG= R2,则 CE的长为: 2. 如图，在Rt ABC中，/ B= 90, AB= BC 斜边AC上的一点D满足AD= AB. 将线段AC绕点A逆时针

7、旋转a (0 a 360 )，得到线段AC，连接DC , 当DC / BC时，旋转角度a的值为 3. 如图，在 ABC中，/ ACB= 90,/ BAC= 20，点 O是 AB的中点，将 OB 绕点O顺时针旋转a (0 a 180 )时得到OP当厶ACP为等腰三角形时，a 的值为. 4. 如图，在 ABC中，ACLBC 且 AC= 4, BC= 2,将线段 AB向上平移 m个单 位长度得到A B.若厶A BC为等腰三角形，则m的值为. 5. 如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把 ABC沿着AD 方向平移，得到 A B C,当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为32 时，

8、它移动的距离AA等于. 类型三 特定条件 （2018 -安徽）矩形 ABCDK AB= 6, BC= 8, 点P在矩形ABCD勺内部，点E在边BC上，满足 PB3A DBC若厶APD是等腰 三角形，则PE的长为. 【分析】 根据勾股定理求出BD的长，分PD= PA PD= DA两种情况，根据相似 三角形的性质计算. 【自主解答】 1. （2019 芜湖二十九中一模）在厶ABC中, AB= 6 cm,点P在AB上，且/ ACP =Z B.若点P是AB的三等分点，贝y AC的长是L 2. （2019 芜湖一模）如图所示，已知 AD/ BC / ABC= 90 AB= 8, AD= 3, BC= 4

9、,点P为AB边上一动点.若 PADW PBCffi似，贝S AP=. 3. （2019 -成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数 的点为“整点”，已知点A的坐标为（5 , 0），点B在x轴的上方， OAB勺面积 15 为刁，则厶OAB内部（不含边界）的整点的个数为 . 4. （2019 -哈尔滨）在厶ABC中, Z A= 50,/ B= 30，点D在AB边上，连接 CD若厶ACD为直角三角形，则Z BCD的度数为 . 5. （2019 -蚌埠二模）如图，在 Rt ABC中, Z C= 90, AC= 3, BC= 4,点 E, F分别在边BC AC上，沿EF所在的直线折

10、叠/ C,使点C的对应点D恰好落在 边AB上，若 EFCH ABC相似，贝卩AD的长为. 6. （2020 -原创）如图，在钝角三角形 ABC中，AB= 6 cm, AC= 12 cm,点D, E 分别在边AB, AC上,且EC=2AD当以点A, D, E为顶点的三角形与 ABC相似 时，AD的长为. 7. （2020 -原创）如图，在 Rt ABC中, / C= 90 , AC= 12, BC= 6,射线 ADL AC 点P, Q分别在AC AD上，当 ABCffiA QPA全等时，AP的长为. 8 （2019 六安霍邱三校二模）如图，在 Rt ABC中，/ C= 90, AC= 6, BC

11、= 8, P, Q分别为边BC AB上的两个动点.若要使厶APC是等腰三角形且 BPC是 直角三角形，则AQ=. 9. （2019 安徽模拟）如图，已知等边三角形 ABC中, AB= 2,将厶ABC绕点A顺 时针旋转60,得到 ADB点E是厶ABC某边的一点，当 ABE为直角三角形 时，连接DE作BF丄DE于F,那么BF的长度是. 参考答案 【专题类型突破】 类型一 【例 1】由已知可知 ADBA EDB 又 T/ A= 90 / C= 30二/ ABD=Z EBD =Z C= 30 ,贝S CD= BD 设 AD= DE= x,贝S CD= 30-x.在 Rt ABD中, sin 30 AD

12、 x 1 =BD=30 x = 2 解得 x = 10. BD= 20, AB= 10.3.取 BD的中点 F,连接 EF, 沿EF剪开所得平行四边形是菱形，其边长为10,故周长为40 cm;作/ EDB 的平分线DM沿DM剪开所得平行四边形是菱形，边长 DM= DE cos 30 10 二 2 ,故周长为4X (cm),故答案为40或 跟踪训练 1. 2 或 2 3 2.2 或 1 3 17或4 2【解析】 解图1 如解图1,过点A作ADLBC于点D,沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个 与原 ABC不全等的新三角形， v AB= AC,二 BD= CD= *BC= 2.AD= - AW b

13、D= 4 2.如解图 2,作 AC边上 的中线BE过点B作BHLAC于点H,沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个 与原 ABC不全等的新三角形，设 CHh x,则AHh6 x, 解图2 由勾股定理得，bC cH=aB aH,.42 x2= 62- (6 x) 2.解得：x =3. BH= 寸42(f) 2 =寸 . EH= 3 CH= 5. . BE=PBH+ eH = 17. 折痕的长 为-17或4 2.故答案为“ 17或 4 2. 4. 25 或 655.6 - 2或 10310 3 解图1 6. 3或27【解析】分两种情况：当点E在线段DC上时，如解图1所示， / BD A= 90 ,在

14、 Rt BD A 中，BD =2 = 12. v/ ED A= 90, .E、D、B三点共线.设 DE= x,则 EC= 15 x, BE= 12+x,在 Rt BEC中, 利用勾股定理可得(12 + x)2 = (15 x)2 + 92,解得x = 3, 即卩DE= 3.当E点在 DC延长线上时，如解图2所示，/ AD B= 90, 解图2 根据折叠的对称性可知/ AD E= 90,二E、B、D三点共线.在 Rt BD A 中，BD =#AB AD 2 = 12.设 DE= x,贝卩 CE= x 15, BE= x 12,在 Rt BCE 中，利用勾股定理可得(x 12)2 = (x 15)

15、2 + 92,解得x= 27,即DE= 27.故答案 为3或27. 5 5 7. 3或5【解析】分两种情况：当点B落在AD边上时，如解图1,v四 边形ABCD是矩形， 解图1 /BAD=Z B= 90 . v将厶ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上, / BAE=Z B AE= j/ BAD-45,二 AB= BE. |a= 1 , a=专 2 53 解图2 当点B落在CD边上时，如解图2,v四边形ABCD是矩形，二/ BAD=Z B= / C=Z D- 90, AD= BC= a. v将厶ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD 3 边上，/ AB E=Z B= 90, AB = A

16、B= 1, EB = EB= a. . DB = 5 3 2 pBA2 aD= a2, EC= BC- BE= a;a=;a.在厶 ADB 与厶 B CE中, 55 / B AD-Z EB C= 90/ AB DDB AB , ADBb CE.-，即 Z D-Z C= 90CE B E 1 a = 3.解得ai = f，a2 = 0（舍去）.综上，所求a的值为或f,故答案为 5a5a 5或込 3或3 第8题解图1 24 8. 3或” 【解析】分两种情况：如解图1,若/ DEB= 90 则/ AED= 90 =Z C,连接 AD 贝S Rt ACD2 Rt AED 二 CD= ED AE= AO

17、 6 , BE= 10 6 = 4.设 CD= DE= x,贝S BD= 8 x,在 Rt BDE中 , DE + bE= bD , /.x2 + 42= (8 x)2,解得 x = 3. / CD= 3.如解图 2,若/ BDE= 90 则/ CD=Z DEF=ZC =90 , CD= DE /四边形CDEF是正方形. 第8题解图2 AF EF AFE=Z ED= 90 / AEF=Z B.AEFA EBD/. |D=記设 CD= x,贝 S 6 xx口 2424 /宀 t EF= DE= x, AF= 6 x, BD= 8x，二= ，解得 x= .D=.综上 x8 x77 2424 所述，

18、CD的长为3或万，故答案为3或. 9. 2 或 2+ 1 或 2 210.14 或 1611.16 或 4 5 类型二 1. 2 10或 2 26 2.15 或 255 3. 40 或 70 或 1004.2 或 3 或 2 5 2 5.4 或 8 类型三 【例2】 分两种情况讨论：如解图1,边AD的垂直平分线与BD BC分别交 于点P E则厶APD为等腰三角形，且PE/ CDPB3A DBC易知 卩丘是厶DBC 1 一 的中位线， PE= 2CD= 3.如解图2,以点D为圆心，AD长为半径画弧交 BD 于点P,过点P作PE!BC于点丘，则4 APD是等腰三角形.由勾股定理，得 BD =paB+ aD = 10,贝