中考辅导第三讲待定系数法及方程的思想

1、第3讲：待定系数法及方程的思想 【概述】 待定系数法指的是：为了达到解决的问题的目的，先假定、构想一个问题 模式，其中存在一个或一个以上的未知字母，通常把这些未知字母称为待定系数， 综合利用问题中的条件和已知的定理、 公理、法则来求出未知系数的方法，就是 待定系数法。待定系数法在初中范围里主要用途是解决“因式分解”、“方程” 和“函数”问题，成都市的中考，重点放在函数题中考察，分值一般在15分左 右。 I、运用在因式分解时，通常利用 给予解决； U、运用在方程问题时，通常利用 给予解决； 川、运用在函数问题时，分三种情况区别对待： (1) 正比例、反比例函数：因为只有一个待定系数，所以利用或挖

2、掘题目中 个已知条件即可解决问题； (2) 一次函数：因为y=kxb中有两个待定系数k、b，所以利用或挖掘题目 中个已知条件即可解决问题； (3) 二次函数：因为二次函数有 _种表达式，所以利用或挖掘题目中个或 个已知条件即可解决问题。 W、中考在给出求函数解析式的条件时，一般有三种设置： 、直接给出一一没有难度； 、间接给出(如交点的坐标、与坐标轴围成图形的面积等) 稍有难度； 、利用几何要素通过计算或推理给出 难度较大。 【典例精析与运用】 一、待定系数法运用举例 1. 在整式乘法与因式分解中的运用 【例1】是否存在常数p,q使得x4 px q能被x2 2x 5整除？如果存在，求 出p,q

3、的值，否则请说明理由; 【例2(成都市理科实验班考题)如果x3 - ax2 bx 8有两个因式x 1和x 2， 目标训练一: 1、已知2x： x_11 = 2，其中A、B、C为待定系数，求AW的 X （x 1） x xX 1 值。 2、（成都市理科实验班考题）：k为何值时，多项式x2 -2xy ky2 3x-5厂2能 分解成两个一次因式的积？ 2、在方程或不等式中的运用 x 15 x 3 【例3】（江苏）已知关于x的不等式组2只有4个整数解，则a的 x + 2 x a .3 取值范围时（ 14 A. 5乞x乞 3 ) 1414 B. 5 xC. 一5 x 乞 33 D. 14 3 3.用函数思

4、想解决几何问题 【例4】如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄， A、B间的路程为100千 米，A、C间的路程为40千米，现在A、B之间设一个车站P，设P、C之间 的路程为x千米。 （1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和； （2）若车站到三个村庄的路程之和为 102千米，问车站设在何处？ （3）若要使车站到三个村庄的路程总和最小，则车站应设在何处？ AC PB 【例5】如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直 线I交线段AB于点C，过C作0C的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线I绕 0点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t

5、, 分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当 AOC和 BCP全等时，求出t的值。 （2）通过动手测量线段0C和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得 到的结论。 （3）设点P的坐标为（1, b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范 围。求出当APBC为等腰三角形时点P的坐标。fy 4、待定系数法在函数问题中的广泛应用 【例6】（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P（a 1，2a 3）都在直线 I 上, Q（m n）是直线I上的点，则（2m n + 3）2的值等于. 【例7】（湖南）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”， 如果一条直线与“蛋圆”只有一

6、个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线 如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为 （0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心 M的坐标为（1,0），半圆半径为2. （1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看； （3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点 D的“蛋圆”切线的解析式 【例8】（浙江湖州）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA = 3 分别以OB, OA 所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个 k 动点(不与B, C重合)，过F点的反比例函数y=-(

7、k 0)的图象与AC边交于 x 点E . (1) 求证： AOE与厶BOF的面积相等； (2) 记S=Soef -Saecf，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？ 使得将ACEF沿EF对折后，C点恰好落 (3) 请探索：是否存在这样的点 F , 在OB上？若存在，求出点F的坐标; 目标训练二 1、把抛物线y =-3x2的图像向上平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛 物线解析式为; 2、 如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC 在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交 y轴于F，且S fae : S四边形AOCE =1：

8、3 (1) 求出点E的坐标；(2)求直线EC的函数解析式. 3、如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于 B两点，与y轴交于C点，与x轴交于D点, oBF，tan dobE (1) 求反比例函数的解析式; （2）设点A的横坐标为m，厶ABO的面积为S，求S与m之间的函数关系式； 并写出自变量m的取值范围。 （3）当：OCD的面积等于S时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的 2 线段长能否等于3?如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。 4、某电子科技公司应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建 成太阳能光伏电池生产线.因新产品开发初期成

9、本咼，且市场占有率不咼，产品 投产上市一年来，公司经历由初期的亏损到后来逐步盈利的过程 （公司对经营的 盈亏情况每月最后一天结算1次）.公司累积获得的利润y （万元）与销售时间 第X （月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应 的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右，依次是线段 OA、曲线AB （抛 物线的一部分，点A为该抛物线的顶点）和曲线 BC （ y =-5x2 205X-1230的 一部分），且点A、B、C的横坐标分别为4, 10，12。 （1）求该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式； （2）直接写出第x个月所获得S （万元）与时

10、间x （月）之间的函数关系式; （3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ （1）求二次函数的解析式; （2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC求0P的长； （3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H. 若M在y轴右侧，且 CHWAAOC（点C与点A对应）,求点M的坐标; M的坐标. 0 （备用图） 5、待定系数法在求解规律性问题中的应用： 【例9】：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运 会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示: 年份 1896 1900 1904 2012 届数 1 2

11、3 n 表中n的值等于. 【例101（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列， 如1，3，9，19，33，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数 与它前一个数的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫 做这个等差数列的公差.如2, 4, 6, 8, 10就是一个等差数列，它的公差为2.如 果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列 为二阶等差数列.例如数列1, 3, 9, 19, 33,，它的后一个数与前一个数的 差组成的新数列是2, 6, 10, 14,，这是一个公差为4的等差数列，所以， 数列1, 3, 9, 1

12、9, 33,是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列 1, 3, 7, 13,的第五个数应是. 二、方程问题 【例81（2012?广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000 万人次，2011年公民出境旅游总人数约 7200万人次，若2010年、2011年公民 出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012年我国公民出境 旅游总人数约多少万人次？ 【例9】（2012?桂林）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时 发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始

13、还有 42分钟，于是他立即匀速步 行回家，在家拿道具用了 1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑 自行车到学校比他从学校步行到家用时少 20分钟，且骑自行车的速度是步行速 度的3倍. （1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？ （2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 目标训练三 1、（2013?吉林省）甲、乙两名大学生去距学校 36千米的某乡镇进行社会调 查他们从学校 出发，骑电动车行驶 20分钟时发现忘带相机，甲下车前往，乙骑电动车按原路返回乙取相 机后（在学校取相机所用时间忽略不计），骑电动车追甲在距乡镇13.5千米处追上甲后同 车前往乡镇乙电动车的速度始终不变设甲方与学校相距

14、y甲（千米），乙与学校相离y乙（千 米），甲离开学校的时间为 t （分钟）.y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象 解答下列问题： （1 ）电动车的速度为 千米/分钟； （3）求乙返回到学校时，甲与学校相距多远? （2）甲步行所用的时间为分;y千米 家庭作业 1 （吉林）在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为（4, 0）， 顶点G的坐标为（0, 2）。将矩形OEFG绕点O按逆时针方向旋转一定的角度， 使点F落在y轴上的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A。 （1） 一双曲线的一支通过 A点，求经过点A的反比例函数的解析式，并探索该 双曲线是否经过矩形OEFG的对称中心，说明理由； （2）设（1）中的双曲线交EF于点B，求直线AB的解析式 2、定义:a, b,c为函数y = ax2 bx c的“特征数”。如：函数 y = x2 - 2x 3的 “特征数”是1, -2,31，函数y = 2x 3的“特征数”是0,2,3