线性微分方程组

1、第五章线性微分方程组教学目标1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2. 理解n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。5. 掌握常系数线性微分方程组的Lapice变换法。教学中难点求解常系数非齐次线性微分方程组教学方法讲授，实践。教学时间16学时教学内容n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定 理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数 齐线性

2、微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Lapice变换法。考核目标1. 线性微分方程组解的性质与结构。2. 能够求解常系数线性微分方程组。存在唯一性定理记号和定义考察形如Xi3ii(t)xiai2(t)X2Hain(t)Xnfi(t)()X2a2i(t)为a22(t)X2IIa2n(t)Xnf2 (t)lllllllllllllllXnani(t)%an2(t)X2|ann(t)Xnfn (t)的一阶线性微分方程组，其中已知函数aj (t)(i, j i2|卜n)和(t)(ii,2,卅，n)在区间a t上是连续的。方程组()关于X|, x2|, xn及x-i, x2J

3、 11, xn是线性的.引进下面的记号:a12a1AL/Vna117z/lx这里A(t)是n n矩阵，它的元素是个函数 aj(t)(i, j 1,2,川,n).fi(t)f(t) f2(t)XiXifn(t)这里f (t)， x， x是n 1矩阵或X2lX2i()XnXnn维列向量。注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这 样一来，方程组()可以写成下面的形式()x A(t)x f (t)引进下面的概念。一个矩阵或者一个向量在区间a t b上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间a t b上的连续函数。一个n矩阵B(t)或B(t)者一个n维列向量bi

4、i(t)bi2(t)b2i (t)b22(t)IIIHl lbni (t)bn2(t)u(t):g(t)b2n(t)IIIbnn (t)u(t)Ui(t)U2 (t)IUn (t)在区间ab上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间a t b上可微。它们的导数分别由下式给出:B(t)不难证明，如果S(t)b2i(t)IIIbni(t)S(t)b22(t)Hlbn2(t)n n 矩阵 A(t)，bin(t)b2n(t)HIbnn (t)u(t)Ui(t)U2 (t)IUn (t)B(t)及n维向量u(t)，v(t)是可微的，那么下列等式成立:(I) A(t) B(t) A(t) B(t)u(t)

5、v(t) u(t) v(t)(n) A(t) B(t) A(t)B(t) A(t)B(t)(川)A(t)u(t) A(t) u(t)A(t)u(t)类似地，矩阵 B(t)或者向量u(t)在区间b上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间a t b上可积。它们的积分分别由下式给出:ba B(t)dtbbii(t)dtababii(t)dtIIIbbii(t)dtab8(t)dtaba S(t)dtIIIb02(t)dtaIIIIIIIIIIIIbbin (t)dtabab2n (t)dtIIIbbnn(t)dtaba u(t)dtbu1 (t)dtaba U2(t)dtbUn(t)dta现在我们给

6、出()的解的定义:定义1设A(t)是区间a tb上的连续n n矩阵,f (t)是同一区间ab上的连续n维向量。方程组x A(t)x f (t)()在某区间t(这里，a,b )的解就是向量u(t)，它的导数u (t)在区间t上连续且满足u(t) A(t)u(t) f(t) , t现在考虑带有初始条件 x(to)的方程组(5 . 4),这里to是区间a t b上的已知数，是n 维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。 定义2初值问题()的解就是方程组()在包含t0的区间 t 上的解u(t)，使得u(t0) 例2验证向量u(t)是初值冋题在区间上的解。解显然u(0)0e0e因为

7、e t和et处处有连续导数,x, x(0)我们得到u(t)tetetete正如在第而章所看到的，当1时，我们可以得到初值问题（）的解的明显表达式，当n 2时,因此u（t）是给定初值问题的解。情况就复杂多了。在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将 n阶线性微分方程的初值问题化为形如（）的线性微分方程组的初值问题。考虑n阶线性微分方程的初值问题()ta,b，1, 2,III, n 是已知x(n)a1(t)x(n1)an 1(t)xan(t)xf (t)x(t0)1,X(t)2,|,X(n (t。) n其中a1（t）,a2（t）,|,a

8、n（t），f（t）是区间a t b上的已知连续函数,常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题其中01 000 1xIIIIII00 0an(t)an 1 (t)an2(t)1x(t。)0000x 01-印f (t)事实上，令这时XiXX2XnXiX, X2x ,X3X2Xnx,川,Xn X(n 1)X)XX3Xn iX(n 1)XnXnX(n)an(t)Xi ani(t)X2 卅 印亿风 f (t)而且X(to)iX(to)i,X(to)2X(to)2,川,Xn(to)X(n1)(t。)n现在假设(t)是在包含t0的区间a t b上()的任一解。由此，得知(t),(t),卅，(n

9、)(t)在i(t)(t)2(t)11In(t)其中 i(t)(t),2(t)(t),，n(t)(ni)(t)(a t b)，那么，显然有 (to)a t b上存在、连续、满足方程()且(to)1 ,(to) )(t0) n。令。此外,i(t)(t)2(t)2(t)e3(t)(t):15%)pfn i(t)n(t)n(t)(n)(t)ai(t)(n %)an(t) (t)f(t)2(t)010101(t)03(t)110110111110P2(t)1011IO1n(t)100III10P11n 1(t)10an(t) i(t)ai(t) n(t)f(t)an (t)an i(t)IIIa2(t)

10、ai(t)n(t)f(t)这就表示这个特定的向量（t）是（）的解。反之，假设向量u（t）是在包含t0的区间a t b上（）的解。令Ui(t)u(t)U2(t)IIUn (t)并定义函数 w（t） u,（t），由（）的第一个方程，我们得到w（t） 5（t）u2（t），由第二个方程得到w (t)U2(t)U3(t),，由第n 1个方程得到w(n 1)(t)Un i(t) Un(t)，由第n个方程得到w(n)(t) Un(t)an(t)Ui(t) an i(t)u2(t)川 a2(t)Un i(t) ai(t)Un(t)f (t)a(t)w(n1)(t) a2(t)w(n2)(t)川 an(t)w(

11、t) f(t)由此即得w(n)(t)a!(t)w(n i(t) a2(t)w(n2)(t)川 an(t)w(t) f (t)同时，我们也得到w(to) Ui(to) i,川,W (to)Un(to)n这就是说，w(t)是()的一个解。总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（）与（）在下面的意义下是等价的：给定其中 一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。值得指出的是：每一个n阶线性微分方程可化为 n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不x0 ix， xi 0Xi x2不能化为一个二阶微分方程。存在唯一性定理本节我们研究初值问题xA(t)x f (t)，x(to)成立。例如方程组

12、()的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也 加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。Xi对于n n矩阵A aij和n维向量xn nX2，我们定义它的范数为Xnnaiji,j 1设代B是n n矩阵，x， y是n维向量，这时容易验证下面两个性质:1) AB A B Ax A x2) A B A B x y x yXik向量序列xk

13、 , XkX2k,1称为收敛的，如果对每一个 i(i 1,2j|,n)数列 Xik都是收敛的。1XnkNk(t)向量函数序列兀(t)，Xk(t)2k()称为在区间a t1b上收敛的(一致收敛的)，如果对于1Xnk(t)每一个i(i 1,2,1”，n)函数序列xk(t)在区间a t b上是收敛的(一致收敛的)，易知，区间a t b上的连续向量函数序列xjt)的一致收敛极限向量函数仍是连续的。向量函数级数xk (t)称为在区间a t b上是收敛的(一致收敛的)，如果其部分和作成的向量k 1函数序列在区间a t b上是收敛的(一致收敛的)。判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也

14、是成立的，这就是说，如果|xk(t)| Mk, a t b而级数 Mk是收敛的，则xk(t)在区间a t b上是一致收敛的。xk(t)在区间k 1k 1积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列a t b上是一致收敛的，则bmHklim xk(t)dta k注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结果。例如，n n矩阵序列 A ，其中Aka(k) “ “称为收敛的，如果对于一切i，j 1,2|,n，数列a(k)都是收敛的。无穷矩阵级数人 AA2III 人 IIIk 1称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。如果对于每一个

15、整数 k，而数值级数Mk是收敛的，则Ak也是收敛的。k 1k 1同样，可以给出无穷矩阵函数级数Ak(t)的一致收敛性的定义和有关结果。k 1定理1 (存在唯一性定理)如果 A(t)是n n矩阵。f(t)是n维列向量，它们都在区间a t b上连续，则对于区间a t b上的任何数t0及任一常数向量12IIn方程组x A(t)x f(t)()存在唯一解 (t)，定义于整个区间a t b上，且满足初始条件(to)。类似于第三章，我们分成五个小命题来证明命题1 设(t)是方程组(5 . 4)的定义与区间 a t b上且满足初始条件(to) 的解，则 (t)是积分方程x(t)()tA(s)x(s) f(s

16、) ds, a t bto的定义于a t b上的连续解，反之亦然。证明完全类似于第三章，兹不累赘。现在取0 (t)，构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下:o(t)k(t)tt A(s) k i(s) f (s) ds,a t btok 1,2，HI向量函数k(t)称为()的第k次近似解。应用数学归纳法立刻推得命题2:命题2对于所有的正整数 k，向量函数k(t)在区间a t b上有定义且连续。命题3向量函数序列 k(t)在区间at b上是一致收敛的。命题4(t)是积分方程()的定义在区间a t b上的连续解。命题5设(t)是积分方程()的定义于a tb上的一个连续解，则(t)(t) ( a t b

17、)。综合命题15,即得到存在唯一性定理的证明。值得指出的是，关于线性微分方程组的解(t)的定义区间是系数矩阵 A(t)和非齐次项f(t)在其上连续的整个区间 a t b。在构造逐步逼近函数序列k(t)时，k(t)的定义区间已经是整个a t b，不像第三章对于一般方程那样，解只存在于to的某个邻域，然后经过延拓才能使解定义在较大的区间。注意到中关于n阶线性方程的初值问题()与线性微分方程组的初值问题()的等价性的论述，立即由本节的存在唯一性定理可以推得关于n阶线性微分方程的解的存在唯一性定理。推论(即第四章的定理1)如果ai(t),|,an(t) , f (t)都是区间a t b上的连续函数，则

18、对于区间a t b上的任何数to及任何的1，2,|, n，方程x(n)ai(t)x(n1)川an i(t)xan(t)x f (t) 存在唯一解w(t)，定义于整个区间a t b上且满足初始条件:W(to) i,W(to)2(, w(n 1)(to)n。 5. 2线性微分方程组的一般理论现在讨论线性微分方程组x A(t)x f(t)()的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。如果f(t)/ 0 ,则()称为非齐线性的。如果f (t)0 ,则方程的形式为x A(t)x()称()为齐线性方程组，通常()称为对应于()的齐线性方程组。5 . 2 . 1齐线性微分方程组本段主要研究齐线性方程组(5.

19、15)的所有解的集合的代数结构问题。我们假设矩阵A(t)在区间a t b上是连续的。设u(t)和v(t)是()的任意两个解，和是两个任意常数。根据向量函数的微分法则，即知u(t) v(t)也是()的解，由此得到齐线性方程组的叠加原理。定理2 (叠加原理)如果 U(t)和v(t)是()的解，则它们的线性组合U(t) v(t)也是()的解，这里，是任意常数。定理2说明，()的所有解的集合构成一个线性空间。自然要问：此空间的维数是多少呢为此，我们引进向量函数Xi(t), X2(t),|,Xm(t)线性相关与线性无关的概念。设Xi(t),X2(t),|,Xm(t)是定义在区间a t b上的向量函数，如

20、果存在不全为零的常数G,C2, ,Cm，使得恒等式CiXi(t) C2X2(t)川 CmXm(t)0, at b成立；称向量函数Xi(t), X2(t),卅，Xm(t)在区间a tb上线性相关，否则，称Xi(t),X2(t),卅，Xm(t)为线性无关的。设有n个定义在区间a t b上的向量函数Xi(t)Xii(t)Xin(t)X21 (t)I“、X2n(t):，lII，Xn(t):1Xni (t)Xnn (t)由这n个向量函数构成的行列式W Xi(t),X2(t),川,Xn(t)W(t)Xii(t)X21 (t)IXl2(t)X22 (t)1Xin(t)X2n(t)Xni (t)Xn2(t)I

21、IIXnn (t)称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。定理3如果向量函数Xj(t), x2(t),川，xn(t)在区间a tb上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式W(t)证明由假设可知存在不全为零的常数gq,卅，cn使得()qxi(t) X2(t)川 CnXn(t)0, a t b看成是以G,C2,|,Cn为未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是Xi(t),X2(t),川，Xn(t)的伏朗斯基行列式 W(t)。由齐次线性代数方程组的理论知道，要此方程组有非零 解，则它的系数行列式应为零，即W(t) 0, a t b定理证毕。定理4 如果()的解 Xi(t),X2(t),川，Xn(t)

22、线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式W(t) 0 ,a t b。证明我们采用反证法。设有某一个t0 , a t0 b，使得W(t) 0。考虑下面的齐次线性代数方程组：CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t) 0()它的系数行列式就是W(t。)，因为W(t。)0,所以()有非零解CillLCn，以这个非零解gAJlLCn构成向量函数x(t):x(t)Clxi(t) X2(t)川 CnXn(t)()根据定理2,易知 X(t)是()的解。注意到()，知道这个解X(t)满足初始条件x(to)0()但是，在a t b上恒等于零的向量函数o也是()的满足初始条件()的解。由解的唯一性，知道x(t)

23、 0 ,即宓枫 | CnXn(t) 0, a t b因为 CW|，Cn 不全为零，这就与 X1(t),x2(t)|,xn(t)线性无关的假设矛盾，定理得证。由定理3,定理4可以知道，由()的n个解X,(t),X2(t),川，Xn(t )作成的伏朗斯基行列式 W(t), 或者恒等于零，或者恒不等于零定理5() 定存在n个线性无关的解x1(t),x2(t)|,xn(t).证明 任取t0 a,b，根据解的存在唯一性定理,()分别满足初始条件0 ,|,Xn(t0)000II1的解X1(t), X2(t),川,Xn(t) 一定存在。又因为这n个解X1(t),X2(t),川,Xn(t)的伏朗斯基行列式W(

24、t。) 1 0,故根据定理3,X1(t),X2(t),|,Xn(t)是线性无关的，定理证毕。定理6 如果x(t),X2(t),川，Xn(t)是()的n个线性无关的解，则()的任一解 X(t)均可表为X(t) GXt) C2X2(t)川 CnXn(t)这里C1,C2,川,Cn是相应的确定常数。证明任取t0a,b，令x(t)C1X1(t)qX2(t) | CnXn(t)()把()看作是以C1,C2,|,Cn为未知量的线性代数方程组。这方程组的系数行列式就是W(t。)。因为Xi(t),X2(t),川，Xn(t)是线性无关的，根据定理4知道 W(t。) 0。由线性代数方程组的理论， 方程组有 唯一解5

25、Q,卅，Cn。以这组确定了的CbQ,卅，Cn构成向量函数C1X1(t) QX2(t)川 ChXn (t)，那么， 根据叠加原理，它是()的解。注意到()，可知()的两个解 X(t)及C1X1(t) qx2(t)川 CnXn(t)具 有相同的初始条件。由解的唯一性，得到X(t) CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t)定理证毕。推论1()的线性无关解的最大个数等于n.()的n个线性无关的解Xi(t),X2(t),川，Xn(t)称为()的一个基本解组。显然， ()具有无穷多个 不同的基本解组.由定理5和定理6，我们知道()的解空间的维数是n.即()的所有解构成了一个n维的线性空间.注意到节

26、关于n阶线性微分方程的初值问题()与线性微分方程组的初值问题()的等价性，本节的所有定理都可以平行地推论到n阶线性微分方程上去。从本节的定理2容易推得第四章的定理2。参看中关于纯量函数组的线性相关概念，可以证明：一组n 1次可微的纯量函数 Xi(t), X2(t),川，Xm(t)线性相关的充要条件是向量函数Xi(t)X2(t)Xm(t)Xi(t)11X2(t)+|Xm,(t)(* )Xi(n ；)(t)x2ni)(t)Xm1 b (t)线性相关。事实上，如果Xi(t), X2(t)J|, Xm(t)线性相关，则存在不全为零的常数Ci,C2,|,Cm使得CiXi(t)C2X2(t)将上式对t微分

27、一次，二次，CiXi(t)C2X2(t)CiXi(t)C2X2(t)HICmXm(t)0n 1次，得到CmXm(t)0CmXm(t)0(t) III CmXmn1)(t) 0(nIIIIIIIIIIIIHIGxf 1 (t)C2x2即有Xi(t)X2(t)Xm(t)Xi(t)Ci，1X2(t)C2，IIIXm(t)Cm0( * )1Xi(ni)(t)x2n %)Xmn %)这就是说，向量函数组(*)是线性相关的。反之，如果向量函数(*)线性相关，则存在不全为零的常数C|,C2,|,Cm使得(* )成立，当然有GXt) C2X2(t)川 CmXm(t)0 ,这就表明Xi(t),X2(t),卅,X

28、m(t)线性相关。推论2如果Xi(t),X2(t)j|,Xn(t)是n阶微分方程X(n) ai(t)x(n1)川 an(t)X 0()的n个线性无关解，其中ai(t)J|,an(t)是区间a tb上的连续函数，则()的任一解x(t)均可表为X(t) CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t)这里Ci, C2 |, Cn是相应的确定常数。如果Xi(t),X2(t),川，Xn(t)是()的n个线性无关解，根据n阶微分方程通解的概念及W川)朋),川,人(00,函数X(t)CiXi(t) C2X2(t)川 CnXn(t)就是()的通解，其中 SC2,卅，Cn是任意常数。现在，将本节的定理写成矩阵

29、的形式。如果一个n n矩阵的每一列都是()的解，称这个矩阵为()的解矩阵。如果它的列在a t b上是线性无关的解矩阵，称为在a t b上()的基解矩阵。用(t)表示由()的n个线性无关的解i(t), 2(t),|, n(t)作为列构成的基解矩阵。定理$和定例6即可以表述为如下的定理i*。定理i* () 一定存在一个基解矩阵(t)。如果 (t)是()的任一解，那么(t) (t)C ()这里C是确定的n维常数列向量。定理2* ()的一个解矩阵(t)是基解矩阵的充要条件是det (t) 0 ( a t b )。而且，如果对某一个 toa,b , det (t。) 0,则 det (t) 0 , a

30、t b。( det (t)表示矩阵(t)的行列式)。要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。例1 验证(t)tet et是方程组x ，其中x1的基解矩阵。x2解首先，我们证明(t) 是解矩阵。令1(t) 表示(t)的第一列，这时这表示这表示1(t)et 1 10 0 1et 1001(t)1(t) 是一个解。同样，如果以2 (t )表示(t)的第二列，我们有2(t)(t 1)ettetet t e1110 112(t)2(t) 也是一个解。因此，(t)1(t),2 (t) 是解矩阵。其次，根据定理 2* ，因为 det (t)e2t 0 ，所以(t) 是基解矩阵。推论1* 如果

31、(t)是()在区间a tb上的基解矩阵,C 是非奇异 n n 常数矩阵，那么，(t)CX(t)必满足关系也是()在区间a t b上的基解矩阵。证明 首先，根据解矩阵的定义易知，方程()的任一解矩阵X (t)A(t)X(t)，( at b)反之亦然。现令(t)(t)C，( a tb)微分上式，并注意到(t) 为方程的基解矩阵，C 为常数矩阵，得到(t)(t)C A(t) (t)CA(t) (t)即 (t) 是()的解矩阵。又由 C 的非奇异性，我们有det (t) det (t) detC 0 ( a t b )因此由定理2*知，(t)即(t)C是()的基解矩阵。推论2*如果 (t),(t)在区

32、间a tb上是xA(t)x的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n n常数矩阵C，使得在区间a t b上(t) (t)C 。证明 因为(t)为基解矩阵，故其逆矩阵1(t) 一定存在。现令1(t) (t) X(t) ( a t b)或(t)(t)X(t)( a t b)易知X(t)是n n可微矩阵，且detX(t) 0( a t b)于是A(t) (t)(t)A(t) (t)X(t)(t)X(t) (t)X (t)(t)X (t) A(t) (t) (t)X (t)(a t b)由此推知 (t)X (t)0,或X (t)0( a t b)，即X(t)为常数矩阵，记为 C。因此我们有(t) (t)C

33、 ( a t b)其中C 1(a) (a)为非奇异的n n常数矩阵推论2*得证。非齐线性微分方程组本段讨论非齐线性微分方程组x A(t)x f (t)()的解的结构问题，这里A(t)是区间a t b上的已知n n连续矩阵，f (t)是区间a t b上的已知n维连续列向量，向量 f(t)通常称为强迫项，因为如果()描述一个力学系统，f(t)就代表外力。容易验证()的两个简单性质：性质1如果 是()的解， (t)是()对应的齐线性方程组()的解，则 (t)(t)是()的解。性质2如果 月 和_(t)是()的两个解，则 W) 一是()的解。F面的定理7给出()的解的结构。定理7设(t)是()的基解矩

34、阵，一住)是()的某一解，则()的任一解(t)都可表为(t) (t)c 飞)()这里c是确定的常数列向量。证明由性质2我们知道-(t)是()的解，再由的定理1*，得到(t) _(t)(t)c这里c是确定的常数列向量，由此即得(t) (t)c (t)定理证毕。定理7告诉我们，为了寻求()的任一解，只要知道()的一个解和它对应的齐线性方程组()的基解矩阵。在知道()的基解矩阵(t)的情况下，寻求()的解 (t)的简单的方法 常数变易法。由定理1*可知，如果c是常数列向量，则 (t) (t)c是()的解，它不可能是()的解。因此，将c变易为t的向量函数，而试图寻求()的形如(t)(t)c(t)()的

35、解。这里c(t)是待定的向量函数。假设()存在形如()的解，这时，将()代入()得到(t)c(t)(t)c(t) A(t) (t)c(t) f(t)因为(t)是()的基解矩阵，所以(t) A(t) (t)，由此上式中含有 A(t) (t)c(t)的项消去了。因而c(t)必须满足关系式(t)c(t) f (t)()因为在区间a t b上(t)是非奇异的，所以 1(t)存在。用1(t)左乘()两边，得到t 1c(t) 1(s)f (s)ds，t0,ta,bt0其中c(to)0。这样，()变为t 1(t)(t) t (s)f(s)ds，to,ta,b()to因此，如果()有一个形如()的解(t) ，

36、则 (t) 由公式()决定。反之，用公式()决定的向量函数 (t) 必定是()的解。事实上，微分()得到 t 1 1(t) (t) t 1(s)f (s)ds (t) 1(t) f(t)t0t1A(t) (t) t 1(s)f(s)ds f (t)t0再利用公式() ，即得(t) A(t) (t) f (t)显然，还有 (t0) 0 ，这样一来，我们就得到了下面的定理8。定理 8 如果 (t )是()的基解矩阵，则向量函数(t)是()的解，且满足初始条件t(t) tt0t011(s)f (s)ds(t0)0由定理 7 和定理 8 容易看出()的满足初始条件(t0)的解 (t )由下面公式给出1

37、(t) (t) 1(t0)t1(t) t 1(s)f(s)dst0()这里 h(t)(t) 1(t0 ) 是()的满足初始条件h(t0)的解。公式()或公式()称为非齐线性微分方程组()的常数变易公式。 第五章11t ex11例 2 xxxx(0)010x21tt e te解 在例1 中我们已经知道(t)t0 et是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵(t) 的逆，我们得到：sse se10 es1(t)2T-e这样，由定理8,满足初始条件(0)的解就是(t)tettedstette2se ds0tetet1(102te )1 / t(e e20t)h(0)11的解就是h(t)1(t) 1(t

38、 1)ett e由公式()，所求解就是(t) h(t)(t)(t 1)et et1 / tt(e e )20.t 1 , tt、te(e e )2teE，对应的齐线性方程组满足初始条件因为(0)注意到5.1.1关于n阶线性微分方程的初值问题()与线性微分方程组的初值问题()等价性的讨论，我们可以得到关于n阶非齐线性微分方程的常数变易公式。推论3 如果a(t),a2(t),|,an(t)，f(t)是区间a tb上的连续函数，川),X2(t),|x(t)是区间a tb上齐线性方程x(n)a1(t)x(n1)川an(t)x0()的基本解组，那么，非齐线性方程x(n)a1(t)x(n1)川an(t)x

39、f (t)()的满足初始条件(to)0, (to)ojll(ni)(to)0toa,b的解由下面公式给出nt(t) kiXk toWk Xi(s),X2(s), |W Xi(S),X2(S),Xn(s)，Xn(S) gdS这里 W Xi(s),X2(s)|,Xn(s)是 Xi（S）,X2（S）,川,Xn（S）的伏朗斯基行列式，W Xi（S）,X2（S）,川,Xn（s）是在W Xi(s),X2(s),|,Xn(s)中的第k列代以（O,O，川,O,i）T后得到的行列式，而且（）的任一解u（t）都具有形式u(t) GN(t) C2X2(t)川CnXn(t)(t)()这里Ci,C2,川，Cn是适当选取

40、的常数。公式（）称为（）的常数变易公式。这时方程（）的通解可以表为 XCiXi（t）gx2（t）|卄Cn Xn （t）（t）其中Ci,C2,川，Cn是任意常数。并且由推论3知道，它包括了方程（）的所有解。这就是第四章定理的结论。当n2时，公式（）就是(t)Xi(t) t Xi(S)，X2(S)to WxJs),X2(s)tf(s)ds X2(t)toW2为必f(s)dS但是W Xi(s),X2(s)W2因此，当n(t)Xi(s),X2(s)Xi(s),X2(s)0 X2(s)1 X2(S)Xi(s) OXi(s) i2时，常数变易公式变为X2（S）Xi(s)t X2(t),Xi(s) Xi(t

41、),X2(s)W Xi(s),X2(s)to()而通解就是()XCiXi(t)gX2(t)(t)这里Ci, C2是任意常数例3试求方程x x tgt解易知对应的齐线性方程的一个解。x x0的基本解组为x1（t） cost, x2（t） sin t。直接利用公式（）来求方程的一个解。这时cost sintW捲必1sint cost由公式（）即得（取t00）t(t)0 (sint cosscost sin s)tgsdsttsin t sin sds cost sin stgsds00 Dsin t(1 cost) cost(sint In sect tgt)sin t cost In sect

42、tgt注意，因为sint是对应的齐线性方程的一个解，所以函数一（t） cost In sect tgt也是原方程的一个解。常系数线性微分方程组本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组x Ax（）的基解矩阵的结构，这里A是n n常数矩阵。我们将通过代数的方法，寻求（）的一个基解矩阵。最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。5.3.1 矩阵指数exp A的定义和性质为了寻求（）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数expA （或写作eA），这要利用5.1.2中关于矩阵序列的有关定义和结果。如果A是一个n n常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A为下面的矩阵级数的和exp A

43、AkeAk 0 k!E A A2!mIIIAm! ll()其中E为n阶单位矩阵，Am是矩阵A的m次幕。这里我们规定 A0 E，0! 1。这个级数对于所有的A都是收敛的，因而，exp A是一个确定的矩阵。事实上，由5.1.2中的性质1：，易知对于一切正整数k，有A虫 k! | k!又因对于任一矩阵 A， A是一个确定的实数，所以数值级数E A 4tIII I瞪 III是收敛的（注意，它的和是n 1 eA ）。由知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（）对于一切矩阵A都是绝对收敛的。级数.Aktkexp Atk o k!()在t的任何有限

44、区间上是一致收敛的。事实上，对于一切正整数 有Aktk空Akckk!k!k!k|a|c k而数值级数是收敛的，因而（）是一致收敛的。k 0 k!矩阵指数exp A有如下性质：1 如果矩阵A，B是可交换的，即 AB BA，则k，当t c（ c是某一正常数）时,exp（A B） exp A exp B（）事实上，由于矩阵级数（）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。由二项式定理及 AB BA，得A B kk ABk 七exp（A B）（）k o k!k o i o l !（kl）!另一方面，

45、由绝对收敛级数的乘法定理得Ai exp A expBi o i!Bjj o j!比较（）和（），推得（）.2对于任何矩阵(exp A) 1exp(事实上，A与kABk tol!(k I)!(exp A)1存在，()A)()A是可交换的,故在（）中，令 B A，我们推得exp Aexp( A) exp( A (A)exp0 E由此即有1(exp A) exp( A)3如果T是非奇异矩阵，则()exp(T 1AT) T 1(expA)T事实上exp(T 1AT) E(T么盯k!定理9矩阵T 1AkTEk o k!1Ak1T (expA)T是（）的基解矩阵，且证明由定义易知（0）(t) (exp A

46、t)(t)(0)exp At微分（），A2tA3t2我们得到()1!2!IllAktk 1(k 1)!IllAexp AtA (t)这就表明，（t）是（）的解矩阵，又因为 det （0） detE 1，因此， （t）是（）的基解矩阵。证2毕。由定理9,我们可以利用这个基解矩阵推知（）的任一解（t）都具有形式（t） （expAt）c这里c是一个常数向量。()例1如果A是一个对角形矩阵，a10 A1100 a21p0II* 4 *III0（非主对角线上的元素都是零）P1anXAx的基解矩阵。解由（）可得在某些特殊情况下，容易得到（）的基解矩阵exp At的具体形式。，试找出a10III02a0II

47、I00a20 t02a2I0 t2expAt E 1k1114IiHI1 1ibf 1 *1 1!JIhi i r-2!100III1anI0卜0III2 anka0koaI1I440000 tkk!in anIII00eant根据定理9，这就是一个基解矩阵，当然，这个结果是很明显的，因为在现在的情况下，方程组可以写成Xk akXk，k 1,2,11|, n，它可以分别进行积分。2 1例2试求XX的基解矩阵。0 2解因为A，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到但是,exp At2 exp02te 02t0 e00t exp2020 10 1t2t0 00 0 2!0 10 00 00 0所以

48、，级数只有两项。因此，基解矩阵就是2t 1 texpAt e2t015.3.2 基解矩阵的计算公式定理 9告诉我们，（）的基解矩阵就是矩阵 expAt .但是 expAt 是一个矩阵级数， 这个矩阵的每一 个元素是什么呢事实上还没有具体给出，上面只就一些很特殊的情况，计算了 expAt 的元素。本段利 用线性代数的基本知识，仔细地讨论 expAt 的计算方法，从而解决常系数线性微分方程组的基解矩阵 的结构问题。为了计算（）的基解矩阵 expAt ，我们需要引进矩阵的特征值和特征向量的概念。 类似于第四章的 4.2.2 ，试图寻求x Ax （） 的形如（t） etc， c 0 （） 的解，其中常数 和向量 c 是待定的。为此，将（）代入（） ，得到e tc Ae tc因为 e t 0 ，上式变为（ E A）c 0 （）这就表示，e tc是（）的解的充要条件是常数和向量c满足方程（）。方程（）可以看作是向