三角形角平分线、中线、高线证明题

1、2. 证题的思路: 找夹角（SAS 已知两边 找直角（HL） 找第三边（SSS 若边为角的对边，则找任意角（AAS） ” 丄比找已知角的另一边（SAS 已知-一边一-角电 知边角边为角的邻边找已知边的对角（AAS） 找夹已知边的另一角（ASA 性质1全等三角形的对应角相等、对 应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对 应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相 等。 找两角的夹边（ASA 找任意一边（AAS） 4、全等三角形的对应中线相等。 5、 全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 （以上可以简称：全等三角形的对应元素相等） 7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 8两边和它

2、们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等。（ASA） .1 I1 | 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 11斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL） Jr 卜l i-J 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是 全等变换中的“对折”. 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的

3、两边作垂线， 利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定 理. 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说 明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线 段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 三角形辅助线做法 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看,

4、对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线, 三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连 要证线段倍与半, 延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线, 延长中线等中线。 、倍长中线（线段）造全等 例1、“希望杯”试题）已知，如图 是. A ABC中，AB=5 AC=3则中线AD 值范围 例2、如图， ABC中, E、F分别在 AB AC上, DEIDF, D是中点，试比较CBE+CF 与EF的大小.A 3、如图， ABC中, BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE. 二、截长补短 B 1、如图，:ABC 中，AB=2AC

5、AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CDL AC D 3、 如图，已知在 LABC 内， BAC =60 , c=40 , P, Q 分别在BC CA上,并且AP, BQ分别是.BAC，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ二AB+BP 4、 如图，在四边形 ABC中, BOBA,AD= CD BD平分.ABC , 求证：.A C =180 5、 如图在 ABC中, ABAG / 1 = Z 2, P为AD上任意一 证;AB-AC PB-PC 三、借助角平分线造全等 C A Q 点，求 C A C D 点o, A O D 1、如图，已知在厶ABC中，/ B=60 , ABC的角平分线 AD

6、,CE相交于 求证：OE=OD 2、如图， ABC中, AD平分/ BAC, DGL BC 且平分 BG DEL AB 于 E, DF丄AC于 F. （1）说明BE二CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b，求AE BE的 B 长. 三、解答题:（共55分） 10. 如图， ABC中, / C=90 ,AB=2AC,M|是 AB的中点，点 N在 BC上,MNLAB. 求证:AN平分/ BAC.（7分） - _ 11. 已知:如图 AG BD相交于点 O,AC=BD/ C=Z D=90 ,求证:OC=OD.（8分） 12. 已知：如图,AB=AE,BC=ED/ B二/ E,AFLCD,F为垂

7、足，求证:CF=DF.（8 分） 13. 在厶 ABC中 ,BD、CE是高,BD 与 CE交于点 O,且 BE=CD求证:AE=AD.（8 分） 14. 已知如图,AB=AC,Z BAC=90 ,AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧,BD 丄 AE于 D,CE1 AE于 E,求证:BD=DE+CE.（8分） 15. 已知如图，在厶ABC中 , / BAC二才B,AB=2AC求证： ABC是直角三角形？（8分） 16. 已知如图，在厶ABC中 ,以AB AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形 ABE ACF, 连结EF,过点A作ADLBC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M. （1）用圆

8、规比较EM与 FM的大小. （2）你能说明由（1）中所得结论的道理吗？（8分） ! 全等三角形 1.将直角三角形（/ ACB为直角）沿线段CD折叠使B落在B处，若/ ACB =60 , 则/ ACE数为. 2 .如图， ABEH ACDA ABC分别沿着 ABAC边翻折 180 形成的，若/ BAC=150 , 则/ EFC的度数为. 3.已知 ABC中，/ ABC=45 , AC=4 H是高AD和 BE的交点，则线段 BH的长度为 4 .如图， ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点, （1）若AD二BE二CF，问 DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若厶

9、DEF是等边三角形，问AD二BE二CF成立吗？试证明你的结论. 5. 如图所示，已知/ 仁/ 2, EF丄AD于P,交BC延长线于 M 求证：2/M=(/ACB- / B) 6. AABC中, Z A=90, AB=AC D为 BC中点，E、F分别在 AG AB上，且 DEL DF, 试判断DE DF的数量关系，并说明理由. 7.已知：如图， ABC 中，ABC =45 , CD _ AB 于 D , BE平分.ABC，且 BE JC 于 E , 与CD相交于点F, H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G . (1)求证：BF 二 AC ; (2)求证：CE BF ； 2 8.如图，点O是

10、等边 ABC内一点，.AOB =110, . BOC .将厶BOC绕点C按顺时针 方向旋转60得厶ADC，连接OD . ( 1)求证：ACOD是等边三角形； (2)当:=150时，试判断 AOD的形状，并说明理由; (3) 探究：当：为多少度时， AOD是等腰三角形? 9. 如图， ABC中，E、F分别是 AB AC上的点.AD平分Z BACDEI AB, DF 丄ACADLEF.以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即 ？，？，？. 试判断上述三个命题是否正确，并证明你认为正确的命题. 10.已知：如图， ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG / BC，交AC于点G ,

11、 在GD的延长线上取点E，使DE二DB，连接AE, CD . (1) 求证： AGE DAC ; (2) 过点E作EF / DC，交BC于点F ,请你连接AF ,并判断 AEF是怎样的三角形, 是等边三角 E A C 试证明你的结论.N (1) AN=BM; 11. 如图所示，已知点C为线段AB上一点， ACM4 BCN M 形.试说明： CD=CE 连接DE猜想：厶CDE的形状DE与AB的位置关系。 若把原题中“ ACMfy BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图所示),AN 与BM的关系如何？请说明理由. 12、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，/ AOB是一个任意

12、角,在边OA OB上分别取0M=0移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与 M N重合. 过角尺顶点P的射线OP便是/ AOB勺平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、 证明. 13、操作：如图， ABC是正三角形， BDC是顶角/ BD X I y (2) 如果点M N分别在线段AB AC上移动,在移动中保持AN二BM请判断 OMN的形 状，并证明你的结论. 2、如图，已知Z 1=Z 2,Z C=Z D 3、 已知：如图，AB/ CD Z 1 = Z B, / D.求证：BE! DE 证明：Z A=Z F 4、 如图，AB/ CD 求证：/ A+Z C+Z 5、 之 7、 如图，若AB/ CD

13、猜想Z A、Z E、Z D之间的关 女口图，平行四边形 ABC冲，AB/ CD AD/ BC 点，在不添其他字母和线段的情况下，回答下列问题: 系，并证明 E C D AEC=360 为AD的中 分别求出图 (1)图中哪一个三角形的面积与三角形 ABE的面积相等? (2)图中哪些三角形的面积与三角形 ABC的面积相等? (3) 如果平行四边形ABC的面积为8平方厘米, 中所有三角形的面积。 D Sadab=6, 求 Sa oab 8、 如图，已知ab(=5, Sabc=,9 , Scd/=10, 的值 10、如图所示，AE/BD / 1=3/2, / 2=25,求/C的度数。 15、已知：如图，AC/ DE DC/ EF, CD平分/ BCD 求证：EF平分/ BED D E C F F E D B 陵：世；:；:； A ；* A : b* 只；识:二 J T 卢: X t