极坐标和参数方程基础知识及重点题型

1、 高中数学回归课本校本教材24 (一)基础知识参数极坐标 1. 极坐标定义：M是平面上一点，表示0M勺长度，是 MOx，则有序实数实数对(，), 叫极径，叫极角；一般地，0,2 ) ,0。 2. 常见的曲线的极坐标方程 (1) 直线过点M( , ),倾斜角为 常见的等量关系： 正弦定理 OP sin OMP OM sin OPM OMP 0 OPM 2 4cos 表示的曲线 y y。即x x0 yy0t， x x?cos sin 即 x x0 tcos y y0 t sin 注:cos xx0 t ， sin - 也据锐角三角函数定义，T几何意义是有向线段MP的数量 t 1 (3)直线过点M(

2、x0,y。)，倾斜角为 的参数方程：tan 其中t表示直线I上以定点M0为起点，任意一点M(x, y)为终点的有向线段M0M的数量M0M， 当点M在M0的上方时，t 0;当点M在M0的下方时，t 0. 4抛物线y2 2px p 0的参数方程为: ;加为参数). (2) 圆心P( 0, 0)半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理; (3) 圆锥曲线极坐标：ep一，当e 1时，方程表示双曲线；当e 1时，方程表示抛物线；当0 e 1 1 ecos 时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程 是_双曲线 3.参数方程：(0 圆(x a)2 (x b)2r

3、2 的参数方程：x a r cos ,x b r sin 2 2 (2)椭圆 冷 1的参数方程：x acos , x bsin a2 b2 由于y 1,因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数. x t 如：将参数方程 2 sin2 sin2 (为参数)化为普通方程为 y x 2(2 x 3) 将y sin2 代入x 2 sin2即可，但是 0 sin21 ; 4.极坐标和直角坐标互化公式: cos sin 2 或 tan 2 2 x y y (x 0) x ，B的象限由点(x,y)所在象限确定 (1)它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与 x轴正半轴重合 (2)将

4、点(，)变成直角坐标(cos , sin ),也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。 5.极坐标的几个注意点: （1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点（极点）如：已知圆c的参数方程为 x 3 2cos y 2si n 为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以圆心 C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点 P的圆C的切线 5 的极坐标方程。cos（ - ） 2 6 2 如：已知抛物线y 4X，以焦点F为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即 cos （2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足 如：已知椭圆的长轴长为 6,焦距F

5、iF2 4 2,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点 M N,设 F2FM (0 何值时，MN与椭圆短轴长相等或L 6 6 （3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：女口：已知某曲线的极坐标方程为2 2 2 sin(-) 4 （1）将上 2 2 2,2 2 2 述曲线方程化为普通方程；（2）若点P（x,y）是该曲线上任意点，求 x y的取值范围。 （二）基本计算 M的极坐标为 1.求点的极坐标：有序实数实数对 （，），叫极径，叫极角；如：点 M的直角坐标是（1,.3），则点 2 2 （2,）提示：（2,2 k ）,k Z都是点M的极坐标. 33 2.求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2

6、）在曲线上取一点 P（ , ） ；（3）写出等式；（4）根据,几何意义用 , 表示上述等式，并化简 （注意：x ,y ）；（5）验证。女口：长为2a的线段，其端点在 Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从 原点作这条线段的垂线，垂足为 M，求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴），再化为直角坐标方程. 解：设点m的极坐标为（，），_则 OBM AOM ，且 |OA| 2asin 的轨迹的极坐标方程为asin2 （0 3 （x2 y2）2 2axy其直角坐标方程为（/ ).由 asin2可得 3 23 2 y )2 2axy(x 0, y 0). 2a 2 sin cos 3.求轨迹方程的常用方法： 直

7、接法：直接通过建立 x、y之间的关系，构成 F （x, y） 0 ,是求轨迹最基本的方法 2asin cos asin2 ，二点 A Mg a A | OA | cos 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程 ,再由条件确定其待定系数，代回方程 代入法（相关点法或转移法）.女口：从极点作圆 2acos的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点 M的极坐标 为（，），圆 2acos上的动点的极坐标为（1, 1）由题设可知 将其代入圆的方程得 acos (). 2 2 定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义，则可由曲线定义直接写岀方程 交轨法（参数法）：当动点P（x, y）坐标之

8、间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中 间变量（参数）表示,得参数方程，再消去参数得普通方程. 4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；T几何意义是有向线段 MP的数量；如：已知过点P（9, 3）的直线I与x 轴正半轴、y轴正半轴分别交于 A B两点，则AB最小值为 8 3提示：设 AB=| ti | ti ,t2 cos ，则 |()丄！，l() sincos sin x 9 tcos y 3 tsin 9sin 3cos 2 cos 倾斜角为 ，贝U AB t1 t2或 .2 sin 33 9sin3cos 令l( ) 0， 2 . 2 cos sin

9、tan3 (.3)3所以, tan 1 3,150，l( )min l(150) 9 cos150 sin150 角为 如过抛物线y2 8x的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于 4 e 1,p 4，所以抛物线的极坐标方程为 |FB| 4(1 cos5 4) 4(2 .2)， | AB | | FA | FB | 16 .线段 AB的长度为16. 5.参数方程的应用-求最值: 如:已知点P（x, y）是圆x2 .3 A, B两点，求线段 8.3注意：本题可以取 倾斜角的补 AB的长度.解：对此抛物线有 恒成立，求实数 a的取值范围。 51, 5 1. (2) x ，A, B两点的极坐标分别为_和

10、 4 |FA| 4(1 cos 4) 4(2 辽)， y2 2y上的动点，（1 ）求2x y的取值范围; y a cos sin 1 a 0 21,). (2)若 x y a 0 2 2 如：在椭圆 L 壬1上找一点，使这一点到直线 16 12 x 2y 12 0的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为 4cos 2 3sin 4cos 4 3sin 12 45 Icos 5 3 T2cos(2)3 当cos( 3) 1，即 dmin 时所求点为（2, 3）. C.选修4 4参数方程与极坐标 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与x轴的正半轴重合。若曲线C的方程为 2 8 sin 1

11、5， x 2 x/2 cos 曲线C2的方程为x_2cos ,(为参数)。 y .2 sin （1 ）将G的方程化为直角坐标方程; （2）若C2上的点Q对应的参数为 3 ，P为O上的动点，求PQ的最小值。 4 提示：（1 ） x y2 8y 15 0. (2)当 3 时，得 Q( 2,1)， 4 点Q到G的圆心的距离为 用 所以PQ的最小值为1 . 在极坐标系中, 求经过三点Q0，0），A（2，- ），B（ 2、2，-）的圆的极坐标方程. 24 解：设P（,）是所求圆上的任意一点，则 OP OBCos（-），故所求的圆的极坐标方程为 4 2.2賦). 4 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重

12、合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线I的极坐标方程为 sin( （1）把直线I的极坐标方程化为直角坐标系方程; C的参数方程为 x 4cos X os，为参数，）求P到直线I的 y 3si n 2 x (2)已知P为椭圆C : 16 2 1上一点（已知曲线 9 距离的最大值 解：（1）直线I 的极坐标方程 sin 432，则 -I sin 2 cos 32， 即 sin cos 所以直线 I的直角坐标方程为 （2）P为椭圆C： 2 x 16 2 y_ 9 1上一点， 设 P(4cos , 3sin 其中 0,2 则P到直线I 的距离d |4cos 3sin 6| |5cos( g，其中cos 所

13、以当cos（ )1时, d的最大值为 11 .2 2 在极坐标系中，圆 C的方程为 22s in( ），以极点为坐标原点，极轴为 4 x轴的正半轴建立平面直角坐标 系，直线I的参数方程为 t, （t为参数），判断直线I和圆C的位置关系. y 1 2t 解：消去参数t，得直线 I的直角坐标方程为 y 2x 1 ； 2 2(sin )即 2(sin cos ), 4 两边同乘以 2( sin cos ），得O C的直角坐标方程为：（X 1）2 （x 1）2 2, 圆心C到直线I的距离d 22打昔，所以直线 I和O C相交. 已知曲线C的极坐标方程是 x 2sin ，直线I的参数方程是 y 右2,

14、5( t为参数). 4t 5 （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; （2）设直线I与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点，求MN 的最大值. 解：（1）曲线C的极坐标方程可化为 22 sin 又 x2 y22 , x cos , y sin 所以曲线C的直角坐标方程为 x2 y2 2y 0 (2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y 4(x 2) 3 令y 0 ,得x 2 ,即M点的坐标为(2,0). 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径r 1，则MC , 5 所以 MN MC r 51 在极坐标系中，已知点AG2o到直线I: sin( -) m m 0的距离为3. 4

15、 1, 1求实数m的值；2设P是直线I上的动点，Q在线段OP上，且满足 求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形. 解析：1以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则点 A勺直角坐标为(、2o), 直线1的直角坐标方程为x y . 2m 0.因为A到直线啲距离d | 2 , m| 1 m 3,所以m 2. 2由1得直线1的方程为 1 1 sin(-) 2设P( 0, ),Q(,),贝900. 40 0 1 因为点P（ 0,0）在直线l上，所以rsin（ 0） 2将代入，得 丄sin（ ）2, 44 1 即-sin（）.这就是点Q的轨迹方程. 化为直角坐标方程为（x ）2 （y ）2 因

16、此点Q的轨迹是以（丄,）为圆心，丄为半径的圆. 88164 44 变式训练 （2010浙江卷）如图，在极坐标系Ox中，已知曲线: G：4sin ( 14 C2：4cos ( 4 2 )； C3：4（0 1求由曲线C1, C2，C3围成的区域的面积; 2 设M（4，），N 2,0，射线 （0，-）与 242 曲线C1，C2分别交于A，B（不同于极点O）两点.若线段 AB的中点恰好落在直线 MN上，求tan的值. 解析：1由已知，0形OSP 4 故所求面积S 1421 42 22 1 22 2 2所以S阴影部分 22 2(2) 4， 2 2464. 2设AB的中点为G（，）， ONG 2sin 1 ON OG OGN 1? sin OGN sin ONG 2si n 2cos sin sin 2 si n( )sin 2cos ，由题意知， 2 sin - ,cos 即2 si n() 所以 sin co