微分几何试题库(选择题)

1、单项选择题-k(s) = + (s)-(s) 是曲线在P点的曲率。则下面 不等于叫s1。 k(to) | 九| (to) 2. 曲线r=r(s)在p点的基本向量为t ， o在P点的 S为弧PR的长，为曲线在P点和Pi点的切向量的夹角，k(s) P点的曲率 k(s)，挠率为(s)，则下式 不正确。 仁 I -k(s) “=-k(s)彳 1 1 + (s)T 仁 k(s) “ 1 =- (s) 5.曲线r(s)在p( S)点的基本向量为 片44 ? ? 4.曲线r(s)在p(s)点的基本向量为4，o在 (s)，贝U k(s)= 在P点的曲率k(s)，挠率为 - 6曲线 r =,(s)在 p( s

2、则下式不正确。 仁 F = -3 * +2彳 1 P(to)是曲线3 = ,(t)上一点，R是曲线上P点附近的一点, 曲率k(s)，挠率为(s)，贝U I = 。 k(s) *-k(s)*+(s)彳 -(s)彳 k(s) 4- (s) 4 3曲线r=r(s)在p(S)点的基本向量为t,彳。在p I 点的曲率k(s)，挠率为(s)，则* =. 仁2 k(s)(s) 7曲线r=r（s）在p（S）点的基本向量为4, 在P点的曲率k（s），挠率为（S），贝U （s） = io设曲线（C）: r =r（t），以下 不是（C）为平面曲 t4 8.曲线r=r（t）在p点的曲率k,挠率为，则下式 正确。 k

3、t k，挠率为 9.曲线彳=r（t）在p点的曲率 ，则下式 线的充要条件。 （C）的密切平面固定；（C）的副法向量彳二常矢 （C）的曲率k=o；（C）的挠率 =0。 11. 已知曲线r=r（t）在,心点的挠率为，则是 时，曲线在i （to）点附近是右旋的。 2 2 一一I 2 2 12. 若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是 正确。 攀 k2 直线； 球面曲线; 平面曲线; 圆柱螺线。 13若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线 面曲线; 平面曲线；球面曲线； 圆柱螺线；直线。 14. 平面曲线(C)的法线和它的渐缩线(C )在对应点 处 。 相交；相离； 相切；关系不确定。 15. 平

4、面曲线(C)上两点的曲率半径之差 渐缩线 上对应点之间的弧长。 等于；大于； 小于； 不等于。 16. 曲线(C)是一般螺线，则以下命题 不正确。 (C)的切线与一固定方向成固定角； (C)的副法线与一固定方向成固定角； (C)的主法线与一固定方向垂直； (C)的副法线与一固定方向垂直。 17. 曲线(C)在条件 下不- 定是一 -般螺线。 其切向量与一固定方向成固定角； 其主法向量与一固定方向成固定角； 其副法向量与一固定方向成固定角； 其曲率与挠率之比为常数。 18. 若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题 _不 正确。 曲线的主法线与固定方向垂直； 曲线的副法线与固定方向成定角；

5、曲线的副法线与固定方向垂直； 曲线的曲率与挠率之比为常数。 19. 下述命题不正确的是。 若曲线(C)的密切平面固定，则(C)是平面曲线； 若曲线(C)的密切平面垂直于某条固定直线，则(C)是平 若曲线（C）的挠率（s）=o,则（C）是平面曲线； 若曲线（C）的从切平面平行于固定直线，则（C）是平面曲 线。 20 .对曲面的第一基本形式 Edu2 2Fdudv Gdv2 , 2 b dudv b dudv “ u2 b2 u2 b2 (u2 b2)du2 dv2 du2 (u2 b2)dv2 24. 对于圆柱面 r Rcos ,Rsin ,z, 以下结论 不止 EG F2 0 ; 0;0 ；w

6、 0。 21 .球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rs in 的第一基本形 式1： = 。 R2d 2 R2cos2 d 2 ； R2 cos2 d 2 R2d 2 ； R2d 2R2sin2 d 2； R2sin2 d 2 R2d 2。 22 .正螺面 r u cosv,u sinv, bv的第一基本形式是 o000nnnn du (u b )dv(u b )dudv u2du2 dv2 du2 u2dv2 23.正螺面r ucosv, usinv,bv的第二基本形式是 确。 坐标网是正交网；沿同一直母线的切平面是同一个； 其上高斯曲率为零；其上没有抛物点。 25. 以下

7、量中，不是曲面的内蕴量。 曲面上两曲线的夹角；曲面上曲线的弧长； 曲面上曲面域的面积；曲面上一点沿一方向的法曲率 26. 曲面r r（u,v）,n是其单位法向量。下列第二类基本量的 计算中是不正确的。 L W，u ; L，uu n ； L； L u ru 27. 曲面r r（u,v）, n是其单位法向量。下列第二基本量的计 算中是不正确的。 mrUv 28. 曲面h(s,t),n是其单位法向量。下列第二基本量的计 算中是不正确的。 N rtt n ; N 29. 以下说法正确的是。 法曲率是法截线的曲率；法曲率大于等于零； 法曲率是曲率向量r在主法向量上的投影； 法曲率的绝对值是法截线的曲率。

8、 30. 曲面r #(u,v)在P点的第一第二基本形式分别为 过P点的曲线(C)在P点的曲率为k，曲面在P点沿(C)的方向(d) 的法曲率为kn, (C)在P点的主法线与曲面的法向n的夹角为， 则下式正确。 kn; kn kcos ； | kn | ; kn ksin 。 31. 在曲面的椭圆点处，。 LN M 2 0 ； LN M 20 ； LN M 20 ； L=M=N=0 . 32. 如果曲面上一点P处有LN M20 ,则点P是 椭圆点；双曲点； 平点； 抛物点。 33. 圆环面上的点是。 椭圆点；双曲点； 抛物点； 或或或。 34. 条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点 椭圆

9、点；双曲点；抛物点； 或或或。 35. (C)是曲面S上的曲线，(C)上的点满足时，不一 定是渐近线。(其中n是沿(C)的法曲率， 是第二基本形式，g 是测地曲率) Kn 0 ;0 ; K=0 ; Kg=0 . 椭圆点；双曲点；平点; 抛物点 36. 椭圆抛物面上的点是 。 37 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 。 E=G=O; L=N=O ; F=0 ; M=0 . 38. 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是 。 F=0 ; M=0 ; L=N=O ; F=M=O . 39. 曲面上的曲纹坐标网是正交网的充要条件是 。 F=0 ; M=0 ; E=G=0 ; L=N=0 . 40

10、. 曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是 。 F=0 ; M=0 ; F=M=0 ; L=N=0 . 41. 设L、N是曲面的第二类基本量，L=N=0是曲面的曲纹坐 标网为网的充要条件。 正交网；渐近网；曲率线网；半测地坐标 网. 42. 曲面在一点的单位法向量是n ,在该点的一个方向d,是 主方向的充要条件是。（其中r是另一方向） d, d, 0 ;,使 n d, 0 ； r使d, ,0 ;,使,d, 0且 d, r 0. 43. 曲面在一点的单位法向量是 玄,在该点的一个方向d；是 主方向的充要条件是。（其中彳是另一方向） d, d, 0 ；,使, di 0 ； III r使di , 0

11、;彳使di , 0且erf ?0。 44. 曲面在一点的单位法向量是2 ,在该点的一个方向d；是 主方向的充要条件是。（其中i是另一方向） d, dr 0 ； 使, di 0 ； I r 使 di r 0; d,d,。 45. 曲面在一点的单位法向量是% ,在该点的一个方向d,是 主方向的充要条件是 。（其中是另一方向） d, dr 0 ；7 使, di 0 ; I r 使 d, r 0; d, II d,。 46. 曲面在一点的单位法向量是,在该点的一个方向是d, 则d,d,的充要条件是。（其中i是另一方向） ! ; d, r 0 ;：使川：0 ； 沿dd有 n0 ； ,使dW i ,0 且

12、 d,0。 47. 下列 不是d, du: :dv 与, u: v共轭的充要条 件。 1 d, o ；n 1 d, 0 ； d, d, 0 5 Ldu u M (du v dv u) Ndv v 0。 48. F = M = 0是曲纹坐标网为 网的充要条件。 正交网； 共轭网； 曲率网； 渐进网。 49. 以下说法不正确的是。 球面上的每个点都是圆点；平面上的每个点都是平点 双曲抛物面上的点都是双曲点；球面上也可以有双曲 点。 50. 以下结论不正确的是。 球面上的每一条曲线是曲率线； 平面上的每一条曲线是曲率线； 圆柱面上的圆柱螺线是曲率线； 旋转曲面上的纬圆是曲率线。 51. 以下结论不正

13、确的是 (其中%是曲面的单位法向量)。 在等距变换下，曲面的第一、第二基本量是不变的； 如果dWd,，则(d)是主方向； 曲面上的直线既是渐近线又是测地线； 曲面上的两方向d,共轭dW r 0。 52. 对于球面 r Rcos cos ,Rcos sin , Rsin ,以下说 法不正确。 坐标网是正交网；其上任何曲线是曲率线； 高斯曲率为常数；其上没有测地线。 53. 若曲面S上曲线(C)是平面曲线，则一定有(C)的恒 等于零。 法曲率；挠率；侧地曲率g ；曲率k . 54. 球面上的大圆不可能是球面上的 。 测地线； 曲率线；法截线；渐近线。 55. 在圆柱面上，圆柱螺线是 。 平面曲线；

14、曲率线；测地线；渐近线。 56 .对于球面 X Rcos cos ,Rcos sin , Rsin ，以下说 法正确。 其上也有渐近线；其上曲率线也是测地线； 其上测地线也是曲率线；曲纹坐标网不是曲率网。 57 .对于球面 X Rcos cos , Rcos sin , Rsin ,以下说 法不正确。 沿其上任何曲线的法线曲面是可展曲面； 大圆上每一点处的测地曲率为零； 高斯曲率是正常数； 只有大圆是曲率线。 58.以下各项中不一定是测地线。 球面上的大圆；圆柱面上的圆柱螺线； 旋转曲面上的经线；旋转曲面的纬线。 59.球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin 的坐标曲线

15、构 不成。 正交的渐近网； 共轭网； 曲率线网； 半测地坐标网。 60.下列曲面对所选参数，的坐标网是曲率线网。 旋转曲面 r (t)cos , (t)sin , (t) , ( (t) 0）； 正螺面r u cos ,usin ,b ； 抛物面z a（x2 y2)； 1 直纹面r a（u） vb（u）。 61.对于圆柱面r Rcos , Rsin ,z，以下说法 不正确。 坐标网是正交网； 坐标网是共轭网； 坐标网是曲率网； 坐标网是渐近网。 62.对于正螺面r ucosv,u sin v,bv,以下说法 不止 曲面的法线与的主法线重合 确。 坐标网是正交网；坐标网是共轭网； 坐标网是半测地

16、坐标网；坐标网是渐近网。 63. 对于正螺面r ucosv, usinv,bv,其坐标网不是 正交网；曲率网； 渐近网；半测地坐标网。 64. 曲面上有直线，则直线不一定是 。 渐近线；曲率线； 测地线；法截线。 65. 曲线 是曲面S上非直线的渐近线，则在的每一点, 以下说法不正确。 曲面的法线与的副法线重合； 曲面的法线与的主法线垂直； 曲面的切平面是曲线的密切平面； 66. 对给定曲面r i(u,v),在给定点沿方向du:dv的法曲率 为n,第一基本量为E、F、G第二基本量为L、M N,则以下 条件中不是du:dv为渐近方向的充要条件。 n = 0； Ldu2 2Mdudv Ndv20

17、； II = 0； Edu2 2Fdudv Gdv20。 67. 曲面在每一点处的主方向 。 只有一个；至少有两个；只有两个；也可能没有。 68. 若曲面上的曲线恒有法曲率为零，则曲线一定是 - 渐近线； 平面曲线； 曲率线； 测地线。 69. 曲面上使n g 0的曲线不一定是。 直线；渐近线；曲率线；测地线。 70 .以下曲面中，上的直线是渐近线，也是测地线， 同时又是曲率线。 柱面；双曲抛物面； 单叶双曲面；任意直纹面。 71 曲面上曲线的方向都是主方向，且在每点的主曲率 kN =0,则沿的每点。 一定曲率k=0； 不可能 一定有法曲率n=0；一定有测地曲率g =0 72.曲面在一（非脐）

18、点的主曲率是曲面在这点 沿主方向的法曲率； 所有方向法曲率中的最大值; 所有方向法曲率中的最小值；所有方向法曲率的平均值。 73 .由方程L E M F=o解得的k是 M F N G 高斯曲率；一般法曲率；测地曲率；主曲率。 74 .由方程L E M F =o求得的k是 M F N G 高斯曲率；主曲率；一般法曲率； 平均曲率。 75 .在曲面上一点处高斯曲率 K 0，则LN M2 0; 0;=0 ；符号不确定。 76 .若在曲面上一点 LN M 2 0 ，贝U在该点的咼斯曲率 K 0 ; 0 ;=0 ；符号不确定。 77 .若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为 2,-，贝U这 2 点是曲面的

19、 椭圆点； 双曲点； 抛物点；圆点。 78 .若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为 2,，则这点 2 是曲面的 椭圆点； 双曲点； 抛物点；脐点。 79 .若在曲面上一点处有丄-，则这点是曲面 E F G 的 椭圆点；平点；圆点；脐点。 80.在双曲点，曲面的两个主曲率 K1与K2 同号； 异号；同号或异号；可能是零。 81 .在抛物点，曲面的两个主曲率 K1与K2 同号； 异号；至少一个为零；不全是零 82曲面H r（u,v）,n是其单位法向量。则下列 项不是 曲面的第三类基本量。 u ； Ru lv ； 83 曲面r p（u, v）, n是其单位法 edu2 2 fdudv gdv2。则下

20、列第三基本量的表示中 是正 确的。 nu g nv nv 。 84.以下曲面上的点总有高斯曲率K 0。 椭球面； 圆环面；双曲面；圆柱面 85.下列曲面中，不一定是可展曲面 锥面；曲线的切线曲面；柱面；曲线的主法线曲面 86.下列曲面中，不一定是可展曲面。 柱面; 曲面上沿曲率线的法线曲面; 87. 下列直纹曲面中，是可展曲面。 锥面；挠曲线的主法线曲面； 单叶双曲面；双曲抛物面。 88. 下列直纹曲面中，是可展曲面。 单叶双曲面；挠曲线的副法线曲面； 挠曲线的切线曲面；双曲抛物面。 89. 下列曲面中，不一定是可展曲面。 任意曲线的切线曲面；曲面沿曲率线的法线曲面； 平面曲线的副法线曲面；圆

21、柱螺线的主法线曲面。 90. 下列曲面中，不与平面等距对应。 锥面；正螺面；柱面；可展曲面。 91. 下列曲面中，不与平面等距对应。 可展曲面；高斯曲率为零的曲面； 单参数平面族的包络；圆柱螺线的主法线曲面。 92. 曲面i r（u,v） 上,曲线（C）在P点的基本向量为T， 某曲线的切线曲面；曲线的副法线曲面 曲面在p点的单位法向量为n，则测地曲率kg 。 III J n ；（tJ,n）；（r，r，n）；（汽“）。 93. 曲面r r（u,v）上，曲线（C）在p点的基本向量为t, I I曲面在p点的单位法向量为n，彳n *。则曲线（C）在p点 的测地曲率kg=。 II k * ； J n ；

22、 k* t ； J T。 94. 曲面r r（u,v）上,曲线（C）在p点的基本向量为彳， t曲面在p点的单位法向量为n，彳n I则曲线（C）在p点 的测地曲率kg= 。 寸；J n ；j n ；讣t 。 95. 曲面r r（u,v）上,曲线（C）在p点的基本向量为t, I I.I t曲面在P点的单位法向量为n，” n 4。则曲线（C）在P点 的测地曲率kg=。 甘；kfl n ；r n ；$ -。 96. 对于曲面上曲线（C） ,为零时，（C）不一定是测地线。 （C）的曲率； 沿（C）的高斯曲率； （C）的测地曲率； 沿（C）的法曲率和曲率。 97. 曲面S上曲线（C）在P点的曲率为k ,主

23、法向量为，曲 面（S）在p点的单位法向量为n，与n的夹角为，则曲线（C） 在p点的测地曲率kg=。 kcos ； ksin ； ksin ； kcos 。 98. 曲面上曲线（C）在其上一点的以下曲率中， 一定不 变号。 曲率；高斯曲率K；法曲率.；测地曲率g。 99. 对于曲面上非直线的曲线，不可能 。 既是曲率线，又是渐近线；既是曲率线，又是测地线； 既是测地线，又是渐近线；既是法截线，又是测地线。 100. 两曲面沿一曲线 相切，则以下结论中 不成立。 同为（或同不为）两曲面的曲率线； 同为（或同不为）两曲面的测地线； 同为（或同不为）两曲面的渐近线； 两曲面同为（或同不为）可展曲面。

24、101 下列曲线（C）中，的曲线（C）不一定是曲面上的 测地线。 不可展直纹面上的直母线；圆环面上的最大圆（C）； 旋转曲面上的经线（C）；旋转曲面上的纬圆（C）。 102. 下列曲面中，的坐标网不是半测地坐标网。 圆柱面 r Rcos , Rs in , z； 旋转曲面 r （t）cos , （t）sin , （t）； 正螺面 r u cosv, u sin v, bv； 椭圆抛物面r x,y,a（x2 y2）。 103. 下列曲面中，的坐标网不一定是半测地坐标网。 圆柱面 r Rcos , Rs in , z； 旋转曲面 r (t)cos , (t)sin , (t)； I 直纹面r a(

25、u)vb(u)； 球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin 。 104.下列曲面中， 的坐标网不是半测地坐标网。 球面r Rcos cos , Rcos sin , Rsin ； 旋转曲面 r (t)cos , (t)sin , (t)； 双曲抛物面 u,v,u v ）；平面在极坐标系下。 105.下列曲面中, 的坐标网不一定是正交网。 圆柱面r Rcos , Rsin , z； 旋转曲面r (t)cos , (t)sin, (t)； 直纹面r a（u） vb(u)； 球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rsin 。 106. 下列曲面中，的坐标网是渐近网。 圆柱面 r Rcos , Rsin , z； 旋转曲面 r (t)cos , (t)sin , (t) 球面 H Rcos cos , Rcos sin , Rs in ; 正螺面 r