微积分基本操作

1、如有帮助，欢迎支持。 第5章微积分的基本操作 5.1极限 5 Mathematica计算极限的命令是 Limit它的使用方法主要有: Limitexpr,x-x 0 Limitexpr,x-x o,Direction-1 Limitexpr,x-x o,Direction-1 趋向的点可以是常数，也可以是 当x趋向于x0时求expr的极限 当x趋向于xo时求expr的左极限 当x趋向于xo时求expr的右极限 -g例如: 1求lim兰2 F 3x 6 In 1:=LimitSqrtxA2+2/(3x-6),x-l nfinity 1 Out1= 3 .2 sin x 2.求 lim l T x

2、2 In 2:=LimitSi n xA2/xA2,x-0 Out2=1 亠广Inx 3.求 lim - T x In 3:=LimitLog x /x,x-0,Directio n-1 Out3= - g 5.2微分 1函数的微分 在Mathematica中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为Df,x,表示对x求函 数f的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种 Df,x 计算导数或兰 dxex Df,x 1,X2, J f 计算多重偏导数f一 Df,x, n d n f 计算n阶导数n dxn Df,x,NonConstants-v 1,V2,计算导数，其中 V1,v2依赖于 x d

3、x 例如： (1) 求函数sinx的导数 In 1:=DSi nx,x Out1=Cosx (2) 求函数 e x sinx 的 2 阶导数 In2:=DExpx*Sinx,x,2 x Out2=2e Cosx (3) 假设 a 是常数，对 sinax 求导 In3:=DSina*x,x Out3=aCosax (4) 二元函数 f(x,y)=x 2 y+y 2 求 f 对 x,y 的一阶和二阶偏导 In 4:=fx_,y_=xA2*y+yA2 2 2 Out4= x 2 y+y 2 In5:=Dfx,y,x Out5=2xy In6:=Dfx,y,y 2 Out6=x 2 + 2y In7:

4、=Dfx,y,x,y Out7=2x In8:=Dfx,y,x,2 Out8=2y In9:=Dfx,y,y,2 Out9=2 Mathematica 可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。 例如： In10:=Dx*gx,x Out10=gx+xg x In11:=Dx*gx,x,4 Out11=4g (3)x+xg (4)x 对复合函数求导法则同样可用： In12:=Dghx,x Out12=g hx h x 如果要得到函数在某一点的导数值，可以把这点代入导数如： In13:=DExpx*Sinx,x/.x-2 22 Out13=e 2 Cos2+e 2 Sin2 In1

5、4:=N% Out14=3.64392 2.全微分 在Mathematica中，Df,x给出f的偏导数，其中假定 f中的其他变量与x无关。当f为 单变量时，Df,x计算f对x的导数。函数Dtf,x给出f的全微分形式，并假定f中所有变量 依赖于x.下面是Dt命令的常用形及意义 Dtf求全微分 df Dtf,x求f对x的微分 Dtf,x 1,X2，求f对Xi多重全微分 Dtf,x,Constants-c 1,C2,.求全微分 df,其中 C1 ,C2.是常数 下面我们求 x 2 +y 2 的偏微分和全微分 In 1:=DxA2+yA2,x Out1=2x In 2:=DtxA2+yA2,x Out

6、2=2x+2yDty,x 可以看出第一种情况y与x没有关系，第二种情况y是x的函数。再看下列求多项式 x 2 +xy 3+yz的全微分并假定z保持不变是常数。 In 3:=DtxA2+x*yA3+y*z,Co nsta nts-z 3 Out3=2Dtx,Constantsz+y Dtx, Constantsz 2 +3xy Dty,Constantsz+zDty, Constantsz 如果y是x的函数，那么y被看成是常数 In 4:=DtxA2+x* y x+yx*z Out4=2xDtx+Dtxyx+Dtzyx+xDtxyx+zDtx y x 5.3计算积分 1不定积分 在Mathema

7、tica中计算不定积分命令为lntegeratef,x,当然也可使用工具栏直接输入不 定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。 例如若求.sinsinxdx Mathematica就无能为力: In 1:=I ntegrateSi nSi n x,x Outi=si nsi nxdx MatheMatica还是能轻易求得，例如求 但对于一些手工计算相当复杂的不定积分, u 1,ln tegratex -1+p p ,x,1, g ,Assumptions Rep 1时，积分值为，否则不收敛。在Integrate中可加两个参数 -1+p Assumptions 和 Ge

8、nerateConditions 例如上例中，只要用Assumptions-Rep1就可以得 到收敛情况的解： In 12:=l ntegrate1/xAp,x,1,I nfin ity,Assumptio ns-Rep1 1 Out12= -1+p 3.数值积分 数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解。特别是对于用 Integrate命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用。 它的命令格式为： Nintegratef,x,a,b在a,b上求 f 数值积分 Nintegratef,x,a,x 1 ,X2,b以X1,x2为分割求a,b上的数值积分 Ni nteg

9、ratef,x,a,b,MaxRecursio n- n求数值积分时指定迭代次数n 下面我们求 Sinsinx在0, n 上的积分值，由于这个函数的不定积分求不出，因此使用 Integrate命令无法得到具体结果，但可以用数值积分求： In 13:=Ni ntegrateSi nSi n x,x,0,Pi 1 Jx| Out13=1.78649 如果积分函数存在不连续点，或存在奇点我们可对积分进行分段求解。例如函数 在-1,1上，显然x=0点是一个无穷间断点。因此若要求其数值积分，必须在其中插入点0。 In 14:=NI ntegrate1/SqrtAbsx,x,-1,1 1 Nintegra

10、te: inum: Integrand is not numerical at x = 0 . jAbsx 1 Out14=Nintegrate,x, -1,1 /Absx In 15:=NI ntegrate1/SqrtAbsx,x,-1,0,1 Out15=4 . 对无穷积分，也可求数值积分，例如： In16:=NintegrateExp -xA2,x,0,Infinity Out16=0.886227 5.4多变量函数的微分 通过分析下面的例 下面是计算多变量函数的偏导数及全微分的命令与单变量基本相同, 子我们可以我们可以轻松掌握。 Df,x 1, X2 ,xn 计算偏导数 下面是实际的

11、例子： 求函数sin(xy 2)对x的偏导数： In 1:=DSi nx*yA2,x 2 2 Out1=y Cosxy 求函数sin(xy 2)对x的二阶偏导数: 如有帮助，欢迎支持。 In 2:=DSi nx*yA2,x,x 42 Out2= -y Sinxy 上述命令也可写成如下形式： In 3:=DSi nx*yA2,x,2 42 Out3= -y Sinxy 求函数sin(xy 2)对x的二阶对y的一阶混合偏导数： In 4:=DSi nx*yA2,x,x,y 5232 Out4= -2x y Cosxy - 4y Sinxy 上述命令也可写成如下形式： In 5:=DSi nx*yA

12、2,x,2,y 5232 Out5= -2x y Cosxy - 4y Sinxy f (2)Df,x,NonConstants-c 1 ,c 2, 一 中 C 依赖于 x 下面是实际的例子： ln6 :=DxA2+yA2,x,No nCon sta nts-y Out6=2x+2yDy,x,NonConstantsy 注意：Dy,x,NonConstantsy表示丄，其中y是x的函数。 ex (3 ) Dtf计算全微分df 下面是实际的例子： 计算 d(x 2 y 3) In7:=DtxA2*yA3 322 Out7=2xy Dtx+3x y Dty其中 Dtx为 dx, Dty为 dy 定

13、义z为一个二元函数，求z的全微分，并提出 Dtx和Dty: In8:=z=xA3*y+xA2*yA2- 3x*yA2;CollectDtz,Dtx,Dty Out8=(3x y -3y 2 +2xy )Dtx+(x 3 -6xy+2x y)Dty 将上式表示成的标准形式： In 9:=%/.Dt x-dx,Dty-dy 32222 Out9= dy(x-6xy+2x y)+ dx(3x y - 3y +2xy ) 求z对x的导数： In 10:=Dtz,x 22232 Out10=3x y -3y +2xy +x Dty,x - 6xyDty,x+2x yDty,x Dty,x 因为Mathe

14、matica不知道y是否为x的函数，所以保留Dty,x。用置换运算将 置换成0即可求得z对x的导数： In 11:=Dtz,x/.Dty,x-0 2 2 2 Out11=3x y -3y +2xy (4)求隐函数的导数 下面是实际的例子： 求隐函数5y 2 + siny= x 2的导数： In 12:=Dt5*yA2+Si ny=xA2,x Out12=10yDty,x+CosyDty,x =2x In 13:=Solve%,Dty,x Out13=Dty,x 2x f (5 ) Dtf,x,Constants-c 1 ,c 2,计算全微分 df ,其中 c 是常数 下面是实际的例子： In

15、14:= DtxA2+yA2+zA2,x,Co nsta nts-z Out14=2x+2yDty,x,Constantsz (6 ) Dtf, x 1, X2 ,Xn 计算f对xi的多重全微分 下面是实际的例子： In15:= z=xA3*y+xA2*yA2 - 3x*yA2; In 16:=Dtz,x,y 2 2 2 Out16=3x-6y + 4xy + 6xyDtx,y + 2y Dtx,y -6xDty,x + 2x Dty,x 2 + 3x Dtx,yDty,x -6yDtx,yDty,x + 4xyDtx,yDty,x 5.5多变量函数的积分(重积分) 多变量函数的积分类似于一元

16、函数的积分，可以利用Integrate函数来完成。命令如下： b d n Integratef,x,a,b,y,c,d,z计算重积分 fafm f (x,| ,z)d| dydx Nin tegratef,x,a,b,y,c,d,数值积分或重积分的数值解 下面是具体的例子： 1 计算重积分dxdy x y 1 In 1:= 1 x2+y+1dxdy Out1= 2j1+yArcTan二+xLog1+x 2+y j1+y 我们也可以直接输入Integrate命令进行积分，但要注意x与y的顺序: In 2:=I ntegrate1/(xA2+y+1),y,x Out2= 2 _ 1+yArcTan

17、 x +xLog1+x ,1+y +y 8 a b 22 计算二重积分I I (x y )dxdy : In 3:= In tegratexA2+yA2,x,0,a,y,0,b 122 Out3= -ab(a +b ) 3 y的积分限也可以是x的函数： In 4:= In tegratexA2+yA2,x,0,a,y,0,xA2 Out4= a5 a7 521 以下是数值积分的例子： 在重积分中，无法求出某个变量的积分值，会求出可积的部分，再输出运算结果。 ln5:= lntegrateSqrtx+y,x,0,2,y,0,Sqrtx+2 1 _ Out5=(7692-4622 4 -024 渥-4602 3/4 E430Log3+1215Log1+22 1/4 +2 血) 960 将上式转换成数值解： In 6:=N% Out6=4.65