交通工程总论补充习题(20210505003326)

1、补充习题2 1、某交叉口信号周期长为 90s,某相位的有效绿灯时间为45s,在有效绿灯时间内排队车辆 以1200辆每小时的流量通过交叉口。假设信号交叉口上游车辆到达率为400辆每小时，服 从泊松分布。求： (1) 一个周期内到达车辆不超过10辆的概率; (2)求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。 1.解： 1)由于车辆到达率为 400辆/h，所以一个周期内平均到达车辆数: 90 10辆 400 m 3600 所以一个周期内到达车辆数 X不超过10辆概率为: P(X=10)= 10 (10) 10 xe x! 0.5830 2 )由于到达车辆只能在有效绿灯时间内离开，所以一个周期内能离开最大

2、车辆数为 1200 45 15辆，如果某周期内到达车辆数X大于15辆，则最后到达的 X-15辆车就不 3600 能在本周期通过，而要在下个周期通过，以致二次排队。所以，不发生二次排队的概率为： P(x=15)= 15 (10) 10 xe x！ 0.9513 2、设有30辆车随意分布在6KM长的道路上，试求其中任意 500m长的一段，至少有 4辆车 的概率。 解：由题意知，由于 30辆车独立而随机地分布在 6km长的道路上，因此，500m长路段上所 包括的车辆平均数为： 30 m=500 2.5辆，故其上的车辆数服从泊松分布： 6 1000 P(X=x)= (2.5) xe x! 2 5 P(

3、x=0)= e . =0.082 由递推公式P(X=x) P(X x 1) x 得到：P(X=1)=0.205； P(X=2)=0.257； P(X=3) =0.214 0.082 0.205 0.257 0.2140.756 3 则 P( x 4)=1- P( x4)=1- P X x 1 0.7560.244 3、某交叉口最新的改善措施中，欲在交叉口入口设置一条左转弯候车道，为此需要预测一 个周期内到达的左转车辆数。经研究发现，来车符合二项分布，并且每个周期内平均到达 25辆车，有25%的车辆左转。求： (1) 求左转车的95%置信度的来车数； (2) 求到达5辆车中有一辆左转车的概率。

4、解：(1 )由于每个周期平均来车辆数位25辆，而左转车只占25%所以左转车x的分布为 二项分布 P (x x) C250.25x(1 0.25)20 x, 因此，置信度为95%勺来车数X0.95应满足： xo.95 P (x xo.95)C2oPi(1 p)20i 0.95 i 0 计算可得：P (x 9)0.928,P (x 10)0.970。 因此，可令X0.959。即左转车的95%置信度的来车数为9。 (2 )由题意知，到达左转车服从二项分布： P (x x) C；0.25x(1 0.25)5 x 所以 P (x 1) C50.251(1 0.25)5 10.3955 因此，到达5辆车有

5、1辆左转车的概率是 0.3955。 4、有一个无信号交叉口， 主要道路上的车流量为 Q辆/小时，次要道路上车辆横穿主路车流 所需要的时间为 秒，假设主要道路上车头时距服从负指数分布，求次要道路上车辆的平 均等待时间。 解：主要道路上车头时距为负指数分布，即分布密度为ft e t ,分布函数为 Ft 1 e t，其中 。 t3600 由于只有当主路上车头时距H2时，次要道路上车辆才可以穿越。 所以，主路上任意一个间隔可被接受的概率为： 拒绝的概率为：P H 21 e 可求任意一个被拒绝的间隔，其分布为Gt,即: Gt PH t H 2 P(H t，H 2) P(H 2) 由概率论的条件概率论部分

6、知识，可求得: (0 t 2) G(t)= t e (0 t 2) 1 e 0(其他) 所以被拒绝的间隔平均长度为: 2e h tdG(t) 0e (1 e ) 假设次要道路上的车辆接受了第i+1个间隔，则其前j个间隔都小于2,只有第j+1个间隔 不少于2。所以拒绝j个间隔的概率为： n jPj j(1 e j 0j 0 )je 车辆等待的时间为拒绝的平均间隔数 n与其平均长度h的乘积，故等待时间为 w，即: w n ?h e (1 e ) e 5、一个停车库出口只有一个门，在门口向驾驶员收费并找零钱。假设车辆到达服从泊松分 布，车辆平均到达率为 120辆/h，收费平均持续时间15s，服从指数

7、分布，试求收费空闲的 概率、系统中有n辆车的概率、系统中平均车辆数、排队的平均长度、平均非零排队长度、 排队系统中的平均消耗时间、排队中的平均等待时间。 解：由题意知，这是个 M/M/1系统，并且120辆/小时， 240次/小时。 15 120 0.5 1 240 系统稳定。 收费空闲的概率(系统中没有顾客的概率)： (0)110.5 0.5 系统中有n辆车的概率：p(n) (n)(1)0.5n 10.5n 0.5 系统中的平均车辆数: 0.5 11 0.5 0.52 1 0.5 0.5辆 _ 2 平均排队长度：q i 平均非零排队长度: 2辆 1 0.5 系统中的平均消耗时间： 1 1 d-0.5分钟 240 120120 排队中的平均等待时间： - 120 1 ()240 120240 1 nh 0.25min 240 6、拟修建一个服务能力为 120辆/h的停车场，只有一个出入通道。据调查每小时有 72辆 车到达，假设车辆到达服从泊松分布, 每辆车服务时间服从负指数分布, 如果出入通道能容 纳5辆车，问是否