弹性力学概念

1、共享知识 分享快乐 力学： 研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。 弹性力学的研究对象 ：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。 （是各种弹性体， 包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。 弹性力学研究的对象比较广泛， 可以适用于土木、 水利、机械等工程中各种结构的分析。 ） 弹性力学的任务 在边界条件下， 从平衡微分方程、 几何方程和物理方程求解应力、 应变和位 移等未知函数 研究方法 已知条件 ：1物体的几何形状，即边界面方程 2物体的材料参数 3所受外力的情况 4 所受的约束情况。求解的未知函数：应力、应变和位移。解法：在弹性体区域内，根据微 分体上

2、力的平衡条件建立平衡微分方程； 根据微分线段上应变和位移的几何条件， 建立几何 方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程 弹性体边界上，根据面力条件，建立 应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内 的微分方程，得出应力、形变和位移 弹性力学的基本假设 （即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的） （1）均匀性假设 即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同 的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E,不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性 假设 即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。（用处：弹性体的所用物理量

3、均可用连续的函数去表示） （ 3）完全弹性假设 即当我们撤掉作用于物体的外力后， 物体可以 恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处： 可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（ 4）各向同性假设 即物体内任意一点处， 在各个方向都表现出相同的材料性质。 （用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形 假设 即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的 推导中略去位移和形变的高阶微量。即简化几何方程，简化平衡微分方程） 上述这些假定，确定了 弹性力学的研究范畴： 研究理想弹性体的小变形状态 外力 是其他物体作用于研究

4、对象的力（ 分为体力和面力 ） 体力 是作用于物体体积内的外力 （如重力和惯性力） 面力 是作用于物体表面上的外力 （如 液体压力和接触力） 内力 假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力 切应力互等定理 作用于两个互相垂直面上， 并且垂直于该两面交线的切应力是互等的 （大小 等正负号相同） 形变就是物体形状的改变。 在弹性力学中， 通过任一点作 3 个沿正坐标方向的微分线段， 并 以这些微分线段的应变来表示该点的形变 所谓位移 就是位置的移动应力 单位截面积上的内力 成为平面应力问题条件 1 等厚度薄板 2 面力 只作用于板边，其方向平行与中面（ xOy 面）， 且沿厚度（ z 向

5、）不变 3体力 作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变 4约束 只作 用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变 归纳起来讲， 所谓平面应力的问题 ，就是只有平面应力分量存在，且仅为 x， y 的函数的弹 性力学问题 成为平面应变问题条件 1 常截面长住体 2 面力 作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿 长度方向不变 3 体力 作用于体积内， 其方向平行于横截面， 且沿长度方向不变 4 约束作用于 柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变 归纳起来讲， 所谓平面应变问题 ，就是只有平面应变分量存在，且仅为x， y 的函数问题 平衡微分方程 表示区域内任一点（X, y）的微分体的平衡条

6、件 平衡问题中一点应力状态 1 求斜面应力分量（ Px， Py） 2 由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力 3 求一点的主应力及应力方向 4 求一点的 最大和最小的正应力和切应力 几弹性何方程 表示任一点的微分线段上,形变分量与位移分量之间的关系式 形变与位移的关系 1 如果物体的位移确定, 则形变完全确定 2 当物体的形变分量确定时, 位 移分量不完全确定 边界条件 表示在边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。可分为：位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件 位移边界条件 实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式 应力分量和正的面力分量的正负号规定不同 在正坐标面上,应力分量与面力

7、分量同号；在 负坐标面上,应力分量与面力分量异号 应力边界条件 两种表达方式： 1 在边界点取出一个微分体, 考虑其平衡条件 2 在同一边界上, 应力分量应等于对应的面力分量（数值相同,方向一致） 圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力, 变化为分布不同但静力等效的面力 （主矢 量相同, 对于同一点的主矩也相同） 那么近处的应力分布将有显著的改变, 但是远处所受的 影响可以不计 特别注意圣维南原理只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界 和次要边界） 圣维南原理推广 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系 （主矢量及主矩都等于零） , 那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远

8、处的应力可以不计 应力边界条件上应用圣维南原理 就是在小边界上将精确的应力边界条件式,代之为静力等 效的主矢量和主矩的条件 形变协调条件的物理意义 1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件 是形变对应的位移存在且连续的必要条件 应力求解考虑的条件 1体力为常量 2全部边界上均为应力边界条件3 弹性体为单连体 应力分量和剪切力必然与弹性常数无关,由此可得 应力解法与模型材料无关；平面应力与 平面应变问题可互换； 求应力分量 =平衡微分方程 =非齐次特解 +齐次通解 按应力函数求解， 应当满足的条件是 1相容方程式2应力边界条件式。其中假设全部为 应力边界条件 3 对于多连体,还

9、须满足位移的单值条件 逆解法步骤1先找出满足相容方程的解答 2由得出应力分量 3在给定的边界形状下，根据 应力边界条件,由应力反推出相应的面力 半逆解法步骤 1 假设应力分量的函数形式 2推求应力函数的形式 3由相容方程求解应力函数 4由应力函数求应力分量 5 考察边界条件 几何方程 表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 空间问题物理方程两种形式 1 应变用应力表示用于按应力求解方法 2 应力用应变表示, 用于 按位移求解方法 解的唯一性定理 符合线弹性和小变形假定的弹性体， 无初应力和初应变的作用， 只受到给定 的体力， 边界上的面力和边界上的约束位移的作用， 则弹性体在平衡状态时， 其

10、体内的应力、 应变的解是唯一的 解的叠加定理 在线弹性和小变形假定下， 作用于弹性体上几组荷载产生的总效应 （应力和变 形），等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关 虚位移原理 假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中， 没有温度的改变， 也没有速度的改 变，即没有热能和动能的改变， 则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减 少，也就等于外力所做的功，即所谓虚功 虚位移 1 所谓虚位移，是指满足协调条件 （位移边界条件和几何方程）的。 在平衡状态附近 可能发生的微小位移改变 2 不仅适用于弹性体， 也适用于一般的可变形体 3 虚位移是位移状 态即位移函数的微小改变。 虚位移在数

11、学上称为位移的变分， 因此虚位移原理式又称为位移 变分方程 4 注意微分和变分是不同的概念，两者的自变量和因变量是不同的。 虚功方程 处于平衡状态的弹性体， 当发生虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功， 等于应力 在相应的虚应变上所做的功 最小势能原理 在给定的外力作用下， 在满足位移边界条件的各组位移中间， 实际存在的一组 位移应使弹性体的总势能成为极值。 考虑到二阶变分可以得出对于稳定平衡状态， 这个极值 是极小值 外力功的互等定理 符合线弹性和小变形假定的弹性体， 若受到两组不同的外力作用， 则第一 组外力在第二组外力引起的位移上所做的功， 等于第二组外力在第一组外力引起的位移上所 做的

12、功 三种数值解法 变分法、差分法和有限单元法 有限单元法的两种导出方法 1 结构力学方法： 首先将结构离散化， 把连续体变换为离散化结 构，再应用结构力学方法求解 2 变分方法： 同样将连续体变换为离散化结构， 再将连续体中 的变分原理推广应用到离散化结构，从而导出有限单元法 有限单元法特点 1 具有极大的可解性 2 具有极大的通用性 3 只要适当的加密网格， 就可以达 到工程要求的精度 有限单元法 用结构力学方法求解弹性力学问题 有限单元法主要内容 1结构离散化 将连续体变换为离散化结构 2 对离散化结构应用结构力 学方法求解a.单元的位移模式b.单元的应变和应力列阵 c.单元的节点力列阵d

13、.单元的结点荷 载列阵 离散化结构构成 将连续体划分为有限多个、 有限大小的单元， 并使这些单元仅在单元边界上 的一些结点处用铰连接起来 保证有限单元法收敛性，位移满足条件 1 位移模式必须能反映单元的刚体位移 2 位移模式 必须能反映单元的常量应变 3 位移模式应尽可能反映位移的连续性 移置原则 1 刚体静力等效原则： 使原荷载与移置荷载的主矢量相同， 对同一点的主矩也相同 2 变形体静力等效 ：在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等 整体劲度矩阵 由单元劲度矩阵的元素集合合成，因此，K也具有对称性。又由于列每一结点 K矩阵具有高度的稀疏性 1绕结点平均法：把环绕某一结点的各单 2两

14、相邻单元平均法：把两个相邻单元的 的方程时，只涉及此结点周围的一些结点，所以 提高应力精度，解决应力波动性问题，两种方法 元的常量应力加以平均， 用来表征该结点出的应力 常量应力加以平均，用来表征公共边中点处的应力 应力波动性 在相邻的两单元中，如果一个单元的应力比真解低，则相邻单元的应力会比真解 高 一、概念 1 弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。 2固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材 料力学。 3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、 形变和位移及其分布情况等。 4研究对象是完全弹性体，包括

15、杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围 更为广泛 5弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法 6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界 上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答;. 7弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。 8几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。 9. 物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。 10. 平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。 11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。 12

16、. 边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界 条件、应力边界条件和混合边界条件。 13. 圣维南原理主要内容： 如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不 同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应 力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。 14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都 等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因 为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的， 只能在近处产生显著的应

17、力。 15求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。 16. 弹性力学的基本原理：解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理。 会推导两种平衡微分方程 17. 逆解法步骤：（1）先假设一满足相容方程（2-25）的应力函数 （2）由式（2-24），根据应力函数求得应力分量 （3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主 要边界上的面力边界条件 （2-15）或次要边界上的积分边界条件，分析这 些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可 以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表 达式中的待定系数 18半逆解法步骤： （1）对于给定的弹性

18、力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形 的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部 分或全部应力分量的函数形式 （2）按式（2-24），由应力推出应力函数 f的一般形式（含待定函数项）； （3）将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达 形式； （4）将应力函数f代入式（2-24），由应力函数求得应力分量 （5）根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全 部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要 重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。 19. “小孔口问题”应符合两个条件：（1）孔口尺寸远小于弹性体的尺寸，

19、这使孔口的存在 所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内；（2）孔边距离弹性体边界比较远（约大于1.5 倍的孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。 20. 在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象，它具有两个特点：（1）孔附近的应力 高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。（2）应力集中的局 部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍的孔口尺寸（如圆也直 径）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。 21. FEM （有限元法）分析的主要步骤： （1）将连续体变化为离散化结构。 （2）对单元体进行分析 a. 单元的位移模式 b. 单元的应变列阵

20、 c. 单元的应力列阵 d. 单元的结点力列阵 f.单元的等效结点荷载列阵 （3）整体分析 二、公式 1.已求出应力分量，求位移分量的步骤: （1）将应力分量 M Ty 代入物理方程 xy E( x x xy y） x）求出应变分量 M El 2(1 ) M EI xy xy 4在将平面应力问题的物理方程变换到平面应变问题的物理方程时，只需将 可。 (xl xym)s fx(s) 5平面问题的应力边界条件为 (xyl ym)s fy(s) 6.平面问题的位移边界条件为 (U)s u(s), ()s (s) h/2 h/2 ( x )x idy 1 h/2- fx(y)dy 1 h/2 x 7圣

21、维南原理的三个积分式 h/2 h/2 ( x )x i ydy 1 h/2- h/2 fx(y)ydy 1 h/2 h/2 ( xy )x idy 1 h/2 fy(y)dy 1 h/2八 (2)将应变分量带入几何方程 求出位移分量 2极坐标中的边界条件是： M El y, M El y, xy 3. 应 力分量由 直角坐标 2 .2 x cos ySi n .2 2 xSi n y cos (y x)cos sin 应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式 2 .2 x cos sin .2 2 y sin cos xy ( )cos sin 向 xy si n2 xySi n2 xy cos 2 sin2 si