电力生产问题模型

1、【41】王能淼，杨华，谢伟电力生产安排的数学模型摘要本文研究的是电力生产中发电机的安排问题。电力生产的安排问题是国民生活中一个重要的实际话题，合理的安排有限的资源，能够有效地节约使用资金、节约成本。根据对问题的深入分析，建立了问题的动态规划模型，而针对模型的各个阶段采用非线性最优化模型求出各分阶段的最小总成本。针对问题一：问题要求确定每个时段的发电机的安排计划，使得每天的总成本达到最小。每天的总成本可转化为求各时段的总成本，而各时段的成本包括发电机的固定成本、功率超出部分的边际成本以及启动成本。模型根据不同时段，将问题划分为七个阶段，每个阶段以其前一个阶段得到的发电机启动数量作为状态，以启动成

2、本函数作为状态转移方程，以各个时段的总成本为目标函数，建立分阶段的非线性最优化模型，应用Lingo程序得到每个时段的全局最优解。最后得到的各个时段分别使用的各种型号的发电机数量以及工作时的发电功率见表1，最后得到每天的最小总成本为1468355元。针对问题二：与问题一的不同在于，问题二要求正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量。这可以通过增加发电机组各个阶段的发电量，将其中的80%用于满足每个时段的用电需求，剩下的20%以备于突发情况。模型求解得到各个时段分别启动的的各种型号的发电机数量以及输出功率见表2，最后得到每天的最小总成本为1885421元。本文所给的动态规划模型广泛的应用于实

3、际问题当中，在本文中得到了充分的体现，有效的解决了该实际问题。在得出问题的求解结果的基础上，分别画出了相应图形，从而更加形象地显现出了各个时段的最优使用方案和启动电机数的趋势走向。此外，本文还就模型求解结果展开深入的分析，结合实际情况，给出发电机安排的合理建议，以便于更好的指导实践（如在第4等时段可添加一些备用的发电机），使模型更具有理论指导意义。关键词：动态规划 电力生产 非线性最优化 边际成本 1. 问题重述这是一个电力生产的安排问题，在所给实际问题当中，给出了每日各个时段的用电需求(数据见附录一表1)以及可以使用的不同型号的发电机数量和其相应的运行参数、各项成本等数据(数据见附录一表2)

4、，问题的目标是如何合理的安排各个阶段的发电机的使用，使得每日的总成本最小。并且需要考虑用电需求的不确定性，以应对实际中用电需求突然上升的特殊情况，给出相应的问题解决方案。在这个生产规划问题中，受到一些条件的约束，为有约束的最优化问题。具体有如下约束：(1)每个时段的输出电量必须满足各阶段的用电需求；(2)各种型号的发电机数量是一定的；(3)各种型号的发电机的输出功率有一定的范围，在以最小输出功率运行时有一个固定成本，超出部分会产生边际成本；(4) 只能在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机，开启不同型号的发电机会产生不同的启动成本，而关闭发电机不需要付出任何代价。本文具体需要解决的问题有：问题

5、一：试分析使每天的总成本最小时的每个时段分别使用的发电机数。问题二：试在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量的条件下，分析每个时段分别使用的发电机数。2. 模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设1：题目所给数据是正确合理、不变的；假设2：只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价；假设3：在各个时段中每个型号的输出功率是一定的，而相同型号的发电机的输出功率是一样的；假设4：各种型号的发电机工作是彼此独立的,且工作过程中不会发生故障；假设5：总成本仅包括固定成本，超出部分的边际成本以及启动成本，不包括其他成本，如人工管理成本，

6、机器维护成本等。2.2符号说明符号符号说明第时段型号的发电机使用数量(17, 14)第时段型号的发电机输出功率每日的总成本第时段总成本第时段启动成本第时段固定成本第时段边际成本和第时段的持续时间第时段的总输出电量型号的发电机第时段与第时段启动数量之差第时段的用电需求第种型号的启动成本第种型号的固定成本第种型号每兆瓦的边际成本第种型号的最小输出功率第种型号的最大输出功率第种型号的可用数量3. 问题分析此题研究的是某电力生产的发电机安排的数学建模问题。要对每日每个时段的发电机作出合理的安排，就要根据给出的条件和实际情形建立相应的模型。对于问题一和问题二，均需要分两种情形进行讨论，即分每天的第7时段

7、末关闭所有发电机和不关闭所有发电机两种情况。若假设在每天的第7时段末关闭所有发电机，即每天的第一时段的状态是所有的电机是关闭的。因为后面的每个时段发电机的使用情况与前一时段相关，而前一时段发电机的使用情况与后面各个时段不相关，这符合动态规划问题模型。所以对于该问题的求解，我们将采用动态规划模型来求解。问题可以根据各个时段，将问题分为7个阶段。若能确定每个阶段发电机的使用情况，并使得各个阶段的总成本最小，那么显然综合各个阶段的结果，便可以保证每天的总成本最小。问题的关键是如何确定各个阶段间的关系，即如何确定各个阶段的状态和状态转移方程。当前阶段不仅需要确定需要关闭哪些型号的发电机及其数量，而且需

8、要确定在前一阶段有发电机开启的情况下，还需要开启哪些型号的发电机及其数量，因此启动成本的关系式是阶段状态的转移方程。若假设在每天的第7时段不关闭所有发电机，问题的关键是如何衔接前后两天的时段，确定各阶段的启动成本。在问题中假定发电机的安排处于稳定状态，每天的第1时段以前一天的第7时段作为状态，而不讨论发电机第一次投入使用时的特殊情形。问题二与问题一不同之处在于：问题二要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。这可以通过增加发电机组各个阶段的发电量，将其中的80%用于满足每个时段的用电需求，剩下的20%以备于突发情况。同问题一，也可以采用动态规划模型对问

9、题进行求解。4. 数据分析定义1 固定成本是指发电机工作在最小功率状态时的固定的每小时成本定义2 边际成本指的是发电机输出功率高于其最小输出功率的部分每兆瓦每小时存在的成本在这个电力生产安排问题中，需要确定各个时段的启动成本，固定成本以及超出的功率产生的边际成本，三者之和确定了各个时段的总成本。因为各时段的启动成本与前一时段和当前时段开启的发电机数量有关，需在求解问题中得出，故在此暂不对其分析。而对于各时段的固定成本和边际成本需对其进行初步讨论和确定。各时段的固定成本等于四种型号的发电机的固定成本之和，即有,各时段功率超出部分产生的边际成本等于四种型号的发电机产生的边际成本之和：问题中，所给的

10、资源是有限的，各个时段所能开启的发电机数量受到限制，对于各阶段均有。并且，各种型号的发电机的输出功率也有一定的范围，。5 问题一的解答5.1模型一的建立5.1.1确定目标函数该模型是为了解决电力生产问题，为了在满足电力需求的同时，保证每天的总成本最小，我们只需从每天的7个不同时段的电力需求情况分别进行动态分析，就能得出每个时段应使用的发电机数，每天的总成本即为每个时段的成本之和，即问题的指标函数总成本： (式5.1)那么问题的最优值函数，也即目标函数为：为了求出每日的总成本，有必要分别对每天的7个时段作出如下分析：根据每天发电的7个不同时段，采用动态规划模型，建立七个阶段的动态规划模型。对于各

11、个阶段的指标函数为: () (式5.2)那么阶段目标行数为： 其中为第阶段启动成本，为第阶段固定成本，为第阶段边际成本。5.1.2确定约束条件均有如下约束条件(称为公共条件)： (式5.3)每日需求电量约束：。 (式5.4)若设第时段的状态为已开启的四种型号的发电机的台数分别为，第时段实际需要开启的四种型号的发电机的台数分别为，。设，因为启动成本与前一阶段有关，若，则型号1的发电机的启动成本为0，若，则型号1的发电机需增加启动的数量，产生启动成本，其它型号的发电机类似。于是状态转移方程为： (式5.5)5.1.3综上所述，得到问题一的数学模型(动态规划模型) 其中：的表达式见（式5.5），5.

12、2模型一的求解5.2.1求解结果通过对各阶段的状态的动态分析，可以编写分阶段的Lingo程序(见附录二)求解出各个阶段不同型号的发电机的启动数量以及相应的输出功率如下表所示： 表1时段型号0-66-99-1212-1414-1818-2222-241台数0212110输出功率01750120017501200175002台数4444444输出功率15001500150015001500150015003台数3888886输出功率20002000200020002000200020004台数0313130输出功率0216718003500180020830各阶段成本176620270400184

13、11520100024554030520085480注：根据所求得的结果然后结合实际情况，记0台电机启动时的输出功率对应为0。每天的最小总成本为：C=176620+270400+184115+201000+245540+305200+85480=1468355(元)5.2.2结果的图形表示图15.2.3结果分析如图1所示，每个时段使用电机的最优方案结果很直观地表现了出来，从图中我们还能很形象地看出型号2和型号3的电机在各个时段基本上都被开启了，型号1和型号4的电机启动台数在不同时段有很大的波动性，有些发电机长期处于闲置状态。并且第4时段，此时处于用电高峰期，型号2、3、4的发电机全部投入运行，

14、且均以最大功率运行，这无疑对设备的要求过高，容易产生故障，应及时准备备用型号发电机。模型求解结果和相应的图形表明，型号为2的发电机在每天的7个阶段都保持4台开启状态并且满负荷工作状态，型号为3的发电机在第2到6阶段也都是保持8台开启状态。以上结果充分说明型号2和型号3的电机在保持电力需求的基础上，对每日的最小总成本有很大贡献作用。原因在于，型号2的启动成、和固定成本和边际成本都相对较低，型号3的发电机一旦启动，输出功率可以保持在较高水平但超出部分的边际成本最低。接下来，针对型号2和型号3的发电机进行灵敏性分析（具体实现代码见附录），可知如果多增加一台型号2的电机，可节约26275元的成本，如果

15、多增加一台型号3的电机，可节约10590元的成本。这告诉我们，如果购进一台型号2的发电机的成本小于26275元，购进一台型号3的发电机的成本小于10590元，在短期内就可以收到很好的效益。所以如果可能的话，可以多购买一下型号2和型号3的电机。同时对在某些阶段处于闲置状态的电机可以对其进行检查维修，以此来保证发电机不发生故障，并且可以少购进型号1、4的发电机，以减少维修成本。6. 问题二的解答6.1模型建立(动态规划模型)基于第一问的基础上，我们考虑在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升的情况，那么通过分析，可知问题（2）是在问题（1）的基础上，将原来每个

16、时段启动的发电机的输出功率改为实际输出的功率的80%来用于满足电力需求，即只需将问题（1）中的约束条件改为则模型应为： 其中：的表达式见（式5.5），。6.2模型的求解6.2.1求解结果通过对各阶段的状态的动态分析，可以编写分阶段的Lingo程序(见附录二)求解出各个阶段不同型号的发电机的启动数量以及相应的输出功率如下表所示： 表2时段型号0-66-99-1212-1414-1818-2222-241台数1778661输出功率10001750807175075016837502台数4444444输出功率15001500150015001338150014383台数4888888输出功率1800

17、2000200020002000200020004台数0323330输出功率0191718003000180018000各阶段成本226800355600232340245500304310378460108621每日的最小总成本为：=1885421元6.2.2结果的图形表示图26.2.3结果分析和问题1的分析一样，图2清晰明白的显示了各阶段发电机的使用情况，型号2、3型号的发电机也几乎是在全天中全部投入并以满负荷运行，这对设备的要求过高。型号1、4的发电机在用电需求高时，投入运行的数量高，而在夜晚左右，运行数量减少。在用电需要紧张，尤其在第四时段，型号2、3、4的发电机也是全部投入运行，并且

18、输出功率达到机器的最大功率，这些是管理人员需要谨慎小心的时候，需特别留意电机的工作情况。另外接下来，针对型号2和型号3的发电机进行了灵敏性分析（具体实现代码见附录），可知如果多增加一台型号2的电机，可节约32111元的成本；如果多增加一台型号3的电机，可节约10921元的成本，所以如果可能的话，可以多购买一下型号2和型号3的电机。这告诉我们，如果购进一台型号2的发电机的成本小于26275元，购进一台型号3的发电机的成本小于10590元，在短期内就可以收到很好的效益。所以如果可能的话，可以多购买一下型号2和型号3的电机。这告诉我们，如果购进一台型号2的发电机的成本小于32111元，购进一台型号3

19、的发电机的成本小于10921元，在短期内就可以收到很好的效益。所以如果可能的话，可以多购买一下型号2和型号3的电机。7. 模型的评价、改进及推广7.1模型评价优点：（1）利用我们建立的模型一，可根据每个时段不同的电力需求和每个型号的发电机情况，确定每个时段应该使用的最佳发电机数（具体结果见摘要），从而保证了每天的总成本最小。而这个从经济和能源的角度上讲，具有一定的实际意义。 （2）根据题目给出的数据和解题的需要，我们为此做出了一些合理的假设，从而大大地简化了模型的复杂度，也是实现程序不至于那么冗杂。（3）利用我们建立的模型二，加入在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防

20、用电量突然上升约束，再来得出每个时段应该使用的最佳发电机数（具体结果见摘要），从而使得我们的模型更具实际意义，也更符合现实。缺点：由于所给数据太少以致得到的结果带有自身的局部性，又由于计算机软件求解带有一定的随机性和近似性，以致得到模型的结果不是很让人满意。7.2模型改进（1）在模型的假设中，假设所讨论的一天是独立的一天，即在第一时段的开始状态是所有的发电机都处于关闭状态。若能将问题探讨的时间范围扩大，结合组合规划和动态规划模型思想进行求解，从而得到问题的长期稳定模型，可以使得问题的结果更具有实际的意义。（2）在模型的假设中，为了简化问题计算，假设了在同一阶段同一种型号的发电机的输出功率是一定

21、的，但在实际情况下，同一种型号的发电机的输出功率可以设置为不同的值，只是这个时候，功率的假设会很困难，因为实际需要启动的发动机在解决阶段问题之前是未知的。（3）对于问题二的求解，因为不能知道发生电力突然上升的概率，若有充分的数据，可以得到各阶段末在满足实际需求后的剩余电量，剩余电量可以留为下阶段使用，这样也更符合实际情形。以上所述，也是模型完成后，我们后续工作需要努力对模型进行改进的地方。7.3模型推广我们建的模型不仅可用于电力生产问题，也可用于其它资源的安排，还可用于诸如营业人员分配、电视节目分时段收视率等其它相似整数规划和组合规划类型的问题。参考文献1 宋来忠，王志明,数学建模与实验,北京

22、：科学出版社,2005。2 谢金星， 薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2006。3 王庚， 王敏生，现代数学建模方法，北京：科学出版社，2008。4 陈光亭，裘哲勇，数学建模，北京：高等教育出版社， 2010。附录附录一：表1：每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000表2：发电机情况可用数量最小输出功率（MW）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号110750175022502.75000型号

23、241000150018002.21600型号381200200037501.82400型号431800350048003.81200附录二 问题一模型求解程序!第一时段的模型求解;min=fixedCost+marginalCost+StartupCost; !确定第一时段的目标函数;x11=10; !x11、x12、x13、x14的取值范围;x12=4;x13=8;x14=12000; ! 问题二模型一时改为：(x11*y11+x12*y12+x13*y13+x14*y14)*0.8=12000;StartupCost=5000*x11+1600*x12+2400*x13+1200*x14

24、; !启动成本;fixedCost=2250*6*x11+1800*6*x12+3750*6*x13+4800*6*x14; !固定成本;marginalCost=2.7*6*(y11-750)*x11+2.2*6*(y12-1000)*x12+1.8*6*(y13-1200)*x13+3.8*6*(y14-1800)*x14; !边际成本;Gin(x11);Gin(x12);Gin(x13);Gin(x14);!第二时段的模型求解;min=fixedCost+marginalCost+StartupCost; !确定第二时段的目标函数;x21=10; !x21、x22、x23、x24的取值范

25、围;x22=4;x23=8;x24=32000; !每时用电量小于发电机的输入量;! 问题二模型一时改为：(x21*y21+x22*y22+x23*y23+x24*y24)*0.8=32000;StartupCost=5000*x21+1600*(x22-4)*if(x22-4)#LT#0,0,1)+2400*(x23-3)*if(x23-3)#LT#0,0,1)+1200*x24; !启动成本;fixedCost=2250*3*x21+1800*3*x22+3750*3*x23+4800*3*x24; !固定成本;marginalCost=2.7*3*(y21-750)*x21+2.2*3*

26、(y22-1000)*x22+1.8*3*(y23-1200)*x23+3.8*3*(y24-1800)*x24; !边际成本;Gin(x21);Gin(x22);Gin(x23);Gin(x24);!第三时段的模型求解;min=fixedCost+marginalCost+StartupCost; !确定第三时段的目标函数;x31=10; !x31、x32、x33、x34的取值范围;x32=4;x33=8;x34=25000; !每时用电量小于发电机的输入量;! 问题二模型一时改为：(x31*y31+x32*y32+x33*y33+x34*y34)*0.8=25000;StartupCost

27、=5000*(x31-2)*if(x31-2)#LT#0,0,1)+1600*(x32-4)*if(x32-4)#LT#0,0,1)+2400*(x33-8)*if(x33-8)#LT#0,0,1)+1200*(x34-3)*if(x34-3)#LT#0,0,1); !启动成本;fixedCost=2250*3*x31+1800*3*x32+3750*3*x33+4800*3*x34; !固定成本;marginalCost=2.7*3*(y31-750)*x31+2.2*3*(y32-1000)*x32+1.8*3*(y33-1200)*x33+3.8*3*(y34-1800)*x34; !边

28、际成本;Gin(x31);Gin(x32);Gin(x33);Gin(x34);!第四时段的模型求解;min=fixedCost+marginalCost+StartupCost; !确定第四时段的目标函数;x41=10; !x41、x42、x43、x44的取值范围;x42=4;x43=8;x44=36000; !每时用电量小于发电机的输入量;!问题二模型一时改为：(x41*y41+x42*y42+x43*y43+x44*y44)*0.8=36000;StartupCost=5000*x41+1600*(x42-4)*if(x42-4)#LT#0,0,1)+2400*(x43-5)*if(x4

29、3-5)#LT#0,0,1)+1200*(x44-3)*if(x44-3)#LT#0,0,1); !启动成本;fixedCost=2250*2*x41+1800*2*x42+3750*2*x43+4800*2*x44; !固定成本;marginalCost=2.7*2*(y41-750)+2.2*2*(y42-1000)+1.8*2*(y43-1200)+3.8*2*(y44-1800); !边际成本;Gin(x41);Gin(x42);Gin(x43);Gin(x44);!第五时段的模型求解;min=fixedCost+marginalCost+StartupCost; !确定第五时段的目标

30、函数;x51=10; !x51、x52、x53、x54的取值范围;x52=4;x53=8;x54=25000; !每时用电量小于发电机的输入量;!问题二模型一时改为：(x51*y51+x52*y52+x53*y53+x54*y54)*0.8=36000;StartupCost=5000*(x51-2)*if(x51-2)#LT#0,0,1)+1600*(x52-4)*if(x52-4)#LT#0,0,1)+2400*(x53-8)*if(x53-8)#LT#0,0,1)+1200*(x54-3)*if(x54-3)#LT#0,0,1); !启动成本;fixedCost=2250*4*x51+1

31、800*4*x52+3750*4*x53+4800*4*x54; !固定成本;marginalCost=2.7*4*(y51-750)*x51+2.2*4*(y52-1000)*x52+1.8*4*(y53-1200)*x53+3.8*4*(y54-1800)*x54; !边际成本;Gin(x51);Gin(x52);Gin(x53);Gin(x54);!第六时段的模型求解;min=fixedCost+marginalCost+StartupCost; !确定第六时段的目标函数;x61=10;!x61、x62、x63、x64的取值范围;x62=4;x63=8;x64=30000; !每时用电量

32、小于发电机的输入量;!问题二模型一时改为：(x61*y61+x62*y62+x63*y63+x64*y64)*0.8=30000;StartupCost=5000*(x61-1)*if(x61-1)#LT#0,0,1)+1600*(x62-4)*if(x62-4)#LT#0,0,1)+2400*(x63-8)*if(x63-8)#LT#0,0,1)+1200*(x64-1)*if(x64-1)#LT#0,0,1); !启动成本;fixedCost=2250*4*x61+1800*4*x62+3750*4*x63+4800*4*x64; !固定成本;marginalCost=2.7*4*(y61

33、-750)*x61+2.2*4*(y62-1000)*x62+1.8*4*(y63-1200)*x63+3.8*4*(y64-1800)*x64; !边际成本;Gin(x61);Gin(x62);Gin(x63);Gin(x64);!第七时段的模型求解;min=fixedCost+marginalCost+StartupCost; !确定第七时段的目标函数;x71=10; !x71、x72、x73、x74的取值范围;x72=4;x73=8;x74=18000; !每时用电量小于发电机的输入量;!问题二模型一时改为：(x71*y71+x72*y72+x73*y73+x74*y74)*0.8=36000;StartupCost=5000*(x71-1)*if(x71-1)#LT#0,0,1)+1700*(x72-4)*if(x72-4)#LT#0,0,1)+2400*(x73-8)*if(x73-8)#LT#0,0,1)+1200*(x74-3)*if(x74-3)#LT#0,0,1); !启动成本;fixedCost=2250*2*x71+1800*2*x72+3750*2*x73+4800*2*x7