巧用三余弦定理解题

1、论：.我们可以形象地把这个oooooo巧用“三余弦定理”解题“三余弦定理”的内容：如图，直线 ao 是平面 的斜线，aq 是 ao 在平面内的射影，直线 ap 在平面aao内. 设 oap =q,oaq =q, qap =q，有以下结1 2cos q=cos q cos q1 2aaq1q2qpq结论称为“三余弦定理”，应用“三余弦定理”可以使我 们的很多立体几何问题的解决变得简单.图应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影.2. 明确三角：斜线与“内线”所成为q，斜线与射影所成的角为q1，射影与“内线”所成的角为q .

2、23. 定理运算.例 1.如图 , 已知 ao 是平面 a的一条斜线 ,ob a,b 是垂足 ,ap 是 a内一直线 , oap=60 ,bap=45 ,求斜线 ao 与平面 a所成的角.分析：ap 是“内线”，ao 是斜线，ab 是射影，所o以oap =q,oab =q, bap =q12，直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略.略解：点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角， 明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解.alabp图变式 1：已知oab=45 ,bap=45 ,求直线 ao 与 ap 所成的角；分析：同例 1.变式 2：已知oab=45 ,bap=45 , l/ap, 求

3、直线 ao 与 l 所成的角；分析：因为 l/ap，直线 ao 与 ap 所成的角同 ao 与 l 所成的角相等.我们在解题时，只需 要明确“三线”，这时 l 是“内线”，ao 是斜线，ab 是射影，然后斜线 ao 与“内线”l所成为q，斜线 ao 与射影 ab 所成的角为q，射影 ab 与“内线”l 所成的角为 q , 问题1 2迎刃而解.例 2如图，在棱长为 1 正方体 abcd- a b c d 中，e、1 1 1 1f 分别是 b c 和 cc 的中点，求异面直线 a b 与 ef 所成角1 1 1 1的余弦值.a1d1eb1c1fdcab1o分析：直线 ba 是平面 bcc b 的斜

4、线，bb 是射影，ef 为“内线”，这样就明确是三线 ，1 1 1 1再明确三角，然后定理计算即可.解：由题意可知，直线 ba 是平面 bcc1b1 的斜线，1bb1 是 ba 在平面内的射影，ef 为平面内的直线，1所 以 ba 与 ef 所 成 的 角 为 q ， a bc =q1 11， ef 与 bb 所 成 的 角 为1q2图又因为cosq=cosq cos1q ， q21=45o ， q2=45o，所以cos q =12即异面直线 a b 与 ef 所成角的余弦值为112点评：只要明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为q，斜线与射影所成的角为q1，射影与“内线”所

5、成的角为q2，明确了“三角”，公式的应用水到渠成.变式：若 e、f 是 b c 和 cc 上的点，满足 ec =1 1 1 113，fc =133，求异面直线 a b 与 ef1所成角的余弦值.分析：明确“三线”，直线 ba 是斜线，bb 是射影，ef 为“内线”，然后按规则找出“三1 1角”，定理计算即可.apescadbbc图图练习：1.如图，s 是 abc 所在平面外一点，sa，sb，sc 两两垂直，求证： abc 是锐角三角形2. 如图，在四棱锥 p-abcd 中，底面 abcd 是一直角梯形， bad=90o，ad/bc， ab=bc=a,ad=2a,且 pa底面 abcd，pd 与底面成 30 ，且 aepd，e 为垂足,求异面直 线 ae 与 cd 所成角的大小“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位 置.但如果我们能够准确的理解