平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

1、05平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量考点平面向量的有关概念典例(1)设a, b都是非零向量，下列四个条件中，使1 a| 1 b|a b成立的充分条件是(A. a=- bB. a/ b C. a= 2b D . a/ b且| a| = | b| 设ao为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a=|a| a。；若a与ao平行,则a=|a|a。；若a与a。平行且|a|= 1,贝Ua= ao.假命题的个数是()A. 0B. 1 C . 2D. 3解析因为向量合的方向与向量baa相同，向量而的方向与

2、向量b相同，且|a|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项 A,B, D.当 a= 2b 时，|a|2b|b|a 2b b，故a= 2b是吕=寻成I a| b|立的充分条件.(2)向量是既有大小又有方向的量，a与| a| ao的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=- | a| ao，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3.答案(1)C(2)D易错提醒厂石)两个向量不能比较大小，只可以判判断它们是否相等但它们的模可以比较大小;一_一大小与方向是向量的两个要素 分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由

3、平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.突破点(二)平面向量的线性运算1.向量的线性运算：加法、减法、数乘使得b=入a.2.平面向量共线定理：向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数入，考点一平面向量的线性运算例 1(1)在厶 ABC中, AB = c,AC = b.若点 D满足 BD = 2 DC，则 AD =(2b+ 3c2 1c3b b 3c1b + 3c在厶ABC中, N是AC边上一点且2+ 9 AC，则实数 1 亠 AN = ?NC , P 是 BN上一点，若 AP = mABm的值是22解析(1)由题可知 BC = AC AB = b c, T BD 2 2 1（2）

4、如图，因为AN = 2nC，所以AN=AB + BD = c+ 3(b c) = 3b + 3C,故选 D.=3 AC，所以 AP = mAB + 9 AC = mAB + f AN .因为 B,2 1P, N二点共线，所以m-F 3= 1，则m= 3.答案(1)D(2) 1方法技巧三平面向量的线性运算技巧:_一（订不含图形的情况:可直接运用相相应运算法则求解解（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解.!2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.（2

5、）利用平行四I边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.（3）比较，观察可知所求.夸点二平面向量共线定理的应用例2设两个非零向量 a和b不共线.（1）若 AB = a+ b，BC = 2a+ 8b，CD = 3（ a b）.求证：A, B, D三点共线. 试确定实数k，使ka+ b和a+ kb共线.解（1）证明：因为 AB = a+ b， BC = 2a+ 8b， CD = 3（ a b），所以 BD = BC + CD = 2a + 8b+ 3（ a b） = 5（ a + b） = 5 AB，所以 AB ， BD 共线.又AB与BD有公共点B,所以A，B, D三点共线. 因为ka

6、+ b与a+ kb共线，所以存在实数入，使ka + b=入（a+ kb）,k=入,即解得k= 1.即k = 1或1时，ka+ b与a+ kb共线.1 = Xk,方法技巧平面向量共线定理的三个应用i（1）证明向量共线：对于非零向量a, b,若存在实数 入，使a= Xb则a与b共线.（2）证明三点共线：若存在实数I_ _j X ,使AB = X AC , AB与AC有公共点A,则A B, c三点共线.（3）求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的 条件列方程（组）求参数的值. 提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.突破点（三） 平面向量基本定理平面向量基本定理： 如果8, e2是同一平面

7、内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 X 1,入2,使a= X 18+ X 2e2.其中，不共线的向量 e1, e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底.考点一基底的概念例1如果ei, e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的 一组基底的是（）A. ei 与 ei+ e2B. ei 2e?与 ei+ 2e? C. ei+ e2与 ei e2 D . ei+ 3e2 与 6a + 2ei解析 选项A中，设ei+ e2=入ei，则入，i= 0无解；选项 B中，设ei 2e2=入（ei + 2氏），则i 入， 无解；选项2 = 2

8、 入C 中，设 ei + e2 =入(ei e2),则i_， 无解；选项i =入D 中，ei+ 3e2 = 2(6 e2+ 2ei），所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底.答案D易错提醒考点二平面向量基本定理的应用某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量.AC = b,例2（20i6 江西南昌二模）如图，在厶ABC中，设AB =的中点为QBQ的中点为R CR的中点恰为P,贝U AP =()i242a+应a+ 3ba+ 7ba + 7b解析如图，连接BP,则 AP = AC + CP = b+ PR，a,AP = AB + BP = a+ RP RB，+

9、，得 2 AP = a+ b RB， i i i i 又 RB = QB = 2( AB AQ ) = 2 a q AP ，i i 将代入，得2AP = a+ b a AP解得AP = |a + 4b.答案C方法技巧厂-一一平面向量基本定理的实质及解题思路-一- !j （i）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量|基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解1决.i突破点（四）平面向量的坐标表示（2）向量坐标的求法1 .平面向量的坐标运算：（i）向量加法、减法、数乘

10、的坐标运算及向量的模;2 .平面向量共线的坐标表示考点一平面向量的坐标运算例1已知 A 2,4) , B(3 , 1) , q 3, 4).设 AB = a,BC = b,CA = c,且 CM = 3c,CN = 2b, (1)求3a+ b 3c； (2)求满足a= mb nc的实数 m n； (3)求M N的坐标及向量 MN的坐 标.解 由已知得 a= (5 , 5) , b= ( 6, 3) , c = (1,8).(1)3 a+ b 3c = 3(5 , 5) + ( 6, 3) 3(1,8) = (15 6 3, 15 3 24) = (6 , 42).m= 1, 解得n= 1.6m

11、 n= 5 ,/ mb nc= ( 6耐 n , 3m+ 8n), /3m+ 8n = 5 ,即所求实数 m的值为一1 , n的值为一1.设0为坐标原点,CM = OM OC = 3c , OM = 3c + OC = (3,24) + ( 3, 4) = (0,20),即 M0,20).又 CN = ON OC = 2b , ON = 2b+ OC = (12,6) + ( 3, 4) = (9,2),即 N(9,2) . MN = (9 , 18).方法技巧平面向量坐标运算的技巧1(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量

12、的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考点二平面向量共线的坐标表示例 2 已知 a= (1,0) , b= (2,1).(1)当k为何值时，ka b与a+ 2b共线;若AB = 2a+ 3b , BC = a+ mb且代B, C三点共线,求 m的值.解(1) T a= (1,0) , b= (2,1) , ka b= k(1,0) (2,1) = (k 2, 1),1a+ 2b = (1,0) + 2(2,1) = (5,2) , / ka b与 a+ 2b共线, 2(k 2) ( 1) x5= 0, k =-.(2) AB = 2a+ 3b

13、= 2(1,0) + 3(2,1) = (8,3) , BC = a+ mb= (1,0) + n(2,1) = (2 m+ 1, n).3/ A, B, C三点共线, AB / BC , 8m- 3(2m+ 1) = 0, m=勺方法技巧I向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式: :i (1)若a = (X1 , yj, b= (X2 , y?),则a / b? xy x?y1= 0,这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需i要引入参数“入”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.(2)当X2y2工0时，: :I a b? X1 = yi,即两个

14、向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误.（3）公式xw X2yi= 0无条件x20的限制，X2 y2777Xi y i便于记忆；公式一=1有条件X2y2工0的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式.X2 y2检验咼考能力、选择题i “是 ABC所在平面点，且MB + 3ma + 3mc = 0，D是AC的中点，则 罰的值为C. 1解析：选A / D是AC的中点，如图, 1 1 为平行四边形， MD =ME = 2( MA333 I mD | | BM |I mD| |3 MD |13，故选A.3L2 MA + 2 MC = 0， MB = 2( MA2 在 A

15、BC中, BD = 3 DC，若 AD = X 1 AB + 入 2 AC，则入 1 入 2 的值为(解析：3 313选 B 由题意得，AD = AB + BD = AB + - BC = AB + ( AC AB ) = AB +； AC ，4 444入 1=4，33入2=4，入1入2=16.3.设 D, E，F 分别是 ABC勺三边 BC CA AB上的点，且 DC = 2 BD， CE = 2EA，AF = 2 FB，则 AD + BE + CF 与 BC （）B .同向平行D .既不平行也不垂直A.反向平行C.互相垂直1 - 1解析：选 A 由题意得 AD = AB + BD = AB

16、 + - BC，BE = BA + AE = BA + AC，CF =331 1 2 1CB + BF = CB + 3BA，因此 AD + BE + CF = CB + ( BC + AC AB ) = CB + 3 BC =-BC，故AD + BE + CF与BC反向平行.4.已知点0为厶ABC外接圆的圆心，且 OA + OB + CO = 0，则 ABC勺内角A等于（）A. 30B . 45C . 60 D . 90解析：选A 由OA + OB + CO = 0,得OA + OB = OC，由0为厶ABC外接圆的圆心，可得| OA | = | OB | =| OC |.设OC与AB交于点

17、D,如图，由OA + OB = OC可知D为AB的中点，所以 OC = 2OD , D为OC的中点.又由| OA | = | OB |可知OD丄AB即OCX AB所以四边形 OACB菱形，所以 OAC为等边三角形，即/ CA（= 60，故 A= 30.5.已知点6是厶ABC的重心，过点G作一条直线与 AB, AC两边分别交于 M N两点，且AM = x AB ,AN = yAC，则缶的值为（）A. 3 C . 2解析：选B由已知得MGN三点共线，所以AG =入AM + （1 入）AN = Xx AB + （1 入）y AC .点G是厶ABC的重心,L 2 1 1 LAG = 3X 2( AB

18、+ AC ) = 3( AB + AC ),Xx=311入 y=3,X= 3X1入13y，得 3x + 3y = 1，11x+ y即x+ y= 3,通分得莎=3，xy 1x+ y= 36.若点M是厶ABC所在平面内的一点，且满足 5 AM = AB + 3 AC，则 ABMW ABC的面积的比值为（）MD MC 由 5 AM = AB + 3 AC ,32 3 亠一+ 7 AC，即匚+匚=1，故C, M D三点5555DM = 3 DC，即在 ABMW ABC解析：选C设AB的中点为D,如图，连接 2得 5 AM = 2 AD + 3 AC ，即 AM =-AD5共线，又AM = AD + D

19、M ，联立，得3 3中，边AB上的高的比值为；，所以 ABM ABC的面积的比值为-.55、填空题7在 ABC中，点 P在 BC上，且 BP = 2 PC，点 Q是 AC的中点，若 PA = (4,3) , PQ = (1,5),贝y bc =解析：AQ = PQ PA = (1,5) (4,3) = ( 3,2),二 AC = 2 AQ = 2( 3,2) = ( 6,4) . PC =PA + AC = (4,3) + ( 6,4) = ( 2,7),二 BC = 3 PC = 3( 2,7) = ( 6,21)答案：（6,21）&已知向量 AC , AD和AB在正方形网格中的位置如图所示

20、，若AC = X AB + 口 AD ,U X 口AD = (1,0)，由题2= X + a , 意可知(2 , 2) = X (1 , 2) + a (1,0)，即2=2X ,解得X= 1,a = 3,所以Xa = 3.答案：一 39. P= a|a= ( 1,1) + m(1,2) , m R, Q= b| b= (12) + n(2,3),是两个向量集合，则 Pn Q等于1|1 m Ab * *番4卡 4p7 ；.Xi.、二3? 邑.“丁节;11- 1n R1 + m= 1 + 2n, 解析：P 中，a= ( 1 + m,1+ 2m) ,0中，b= (1 + 2n, 2+ 3n).则1 + 2m= 2+ 3n.m= 12, n = 7.此时 a= b= ( 13, 23) 答案：( 13, 23)10.在梯形ABC中,已知AB/ CD AB= 2CD M N分别为CD BC的中点.若AB = X AMAB解析：由AB = X AM +X a2+2 ac = 0,a -+ - AD = 0.口 AN，得 ABABAB14X+ 4a-1 = 0,4X = 5,解得aX + -2 = 0,8 口 =5.1 =X 2( AD + ACXX a+ _2 ad + y+_2AD不共所以X +)+ 口