平面向量的数量积及其应用

1、06平面向量的数量积及其应用突破点(一)平面向量的数量积1.向量的夹角；2.平面向量的数量积；3.平面向量数量积的运算律考点平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可.2 根据定义计算数量积的两种思路(1) 若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算.(2) 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计

2、算求解.典例 设向量a= ( 1,2) , b= (m,1)，如果向量a+ 2b与2a b平行，那么a与b的数量积等于()B.A.(2)在等腰梯形 ABCD中，已知 AB/ DC AB= 2, BC= 1，/ ABC= 60 .点E和F分别在线段 BC和DC 2 1 一 一上，且 BE = 3BC , DF = DC，则 AE AF 的值为.解析(1)a+ 2b= ( 1,2) + 2(m,1) = ( 1+ 2m,4) ,2a b= 2( 1,2) (m,1) = ( 2 m,3),由题1 115意得 3( 1 + 2n) 4( 2 m = 0,贝U m= 2，所以 b= 2,1，所以 a

3、b= 1 x 三+ 2X 1= 3. 2 、 . 、 .取 BA , BC 为一组基底，则 AE = BE BA = 3 BC BA , AF = AB + BC + CF = BA+ BC + 12 BA =1272石 BA + BC , AE AF = 3 BC BA7 7 2石 BA + BC =匸|BA|2252厉BA BC + 31考点一平面向量的垂直问题2918BC |2= -x 4 25x 2X 1X 1 + 2= 29 答案(1)D112182318 1)易错提醒(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.(2)两向量a,

4、 b的数量积a b与代数中a, b的乘积写法不同，不能漏掉其中的”.L突破点 (二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、a丄b|、a -b |与| a| b|的关系1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题0即可.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为2 已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.例1(1) ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 a, b满足AB = 2a, AC = 2a+ b,则下列结论正确的是()A. | b| = 1 B . a丄

5、bC. a b= 1 D . (4a+ b)丄 BC 已知向量 a= (k, 3), b= (1,4) , c = (2,1)，且(2 a 3b)丄 c,则实数 k =()9A. 2 B . 0 C . 3解析(1)在厶 ABC中，由 BC = AC AB = 2a + b 2a = b,得 | b| = 2, A 错误.又 AB = 2a 且| AB | = 2,所以 | a| = 1,所以 a b= | a| b|cos 120= 1, B, C错误.所以(4a+ b) BC = (4 a+ b) b =4a b+ | b| 2= 4x ( 1) + 4= 0,所以(4a+ b)丄 BC

6、, D正确，故选 D. (2 a 3b)丄 c,. (2 a 3b) c = 0. v a= ( k, 3) , b= (1,4) , c = (2,1) , a 2a 3b= (2 k 3,6).(2k 3, 6) (2,1) = 0,即(2k 3) X 2 6 = 0. a k = 3.答案(1)D(2)C易错提醒X1y2 X2y1 = 0与X1X2+ y1y2= 0不同，前者是两向量a= (X1 , y , b= (X2 , y2)共线的充要条件，后者是 它们垂直的充要条件.耆点二平面向量模的相关冋题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1) a2= a

7、a= | a|2； (2)| a b| = ; a b 2= ja22 a b+ b2.n例2(1)(2017 衡水模拟)已知|a| = 1, | b| = 2 , a与b的夹角为,那么|4 a b| =()3A. 2B. 6 C . 2 ：3D. 121已知e1, e2是平面单位向量， 且e1 e2=-.右平面向量 b满足b & = b e= 1,则| b| =,解析(1)|4 a b|2= 16a2+ b2 8a b= 16X 1+ 4 8X 1X 2X cos = 12. |4 a b| = 2 3.312,a I e1| e2|cos12e1, e2 = 60 .又 v b e1 =

8、b e2= 1 0,b,eib, e2= 30 .由b ei= 1,得 | b| ei|cos 30=1, - | b|看爭答案2(1)C方法技巧厂一一一一一-一一-一-求向量模的常用方法一一-一一-一一-一一 !_ !(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式| a| =J x2+ y2.!(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的， 求向量a的模可应用公式|a|2 = a2= a a,或| a b| 2= (a土 b)2!=a22a b+ b2,先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解.考点三平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这

9、两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos a, b = -=Xty=.求解出这两个向量夹角的余弦1 a|1 b|#X1+ y1 p X2+ y值第四步根据两个向量夹角的范围是0 ,n 及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角例3(1)若非零向量a, b满足|a|=-|b|，且(a-b)丄(3a+ 2b)，贝Ua与b的夹角为()31 已知单位向量 e1与e2的夹角为 a,且cos a = 3 向量a= 3e 2e?与b= 3e e?的夹角为 卩,3贝 U cos 卩=.2 2解析(1)由(a-b)丄(3a+ 2b)，得(a- b) (3 a+ 2b) = 0,即卩 3a -

10、a b- 2b = 0.又 I a| =令弓 bl，设a, b = 0，即 3| a|2- | a| b|cos e - 2|b|2 = 0,- 3l b|22；2| b|2 cos e 2| b| 2= 0. - cos e .又00且向量a, b不共线.(2)向量a, b的夹角为钝角？ a b0且向量a, b不共线.I!突破点(三)平面向量与其他知识的综合问题厂平面向量集数与形于二体，是沟通代数、几何与三角函数的二种非常董要的工!一一在高考中，常将它 与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查考点一平面向量与三角函数的综合问题例 1已知函数 f(x) = a b,其中 a= (2

11、cos x, 3sin 2 x), b= (cos x, 1) , x R.(1)求函数y=f (x)的单调递减区间；(2)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,f(A)=1, a= .7,且向量m (3 , sin B)与n= (2 , sin C)共线，求边长 b和c的值.解(1) f (x) = a b= 2cos2x :3sin 2 x= 1 + cos 2 x ,;3sin 2 x = 1 + 2cos 2x + 才,n2k n2 x + 2 k n + nj nnk Z)，解得 k n x k n +(k Z),所以f (x)的单调递减区间为nnkn , kn+ (

12、k Z).nn(2) v f (A) = 1 + 2cos 2A+ = 1 , cos 2A+ = 1. nn 7 nnn又 0A n,故 0,则 AB AD = -x.又 AC BE = ( AD + AB ) ( AD 一 AB )1 1 1 1 =1 x2 + &x= 1,解得 x= 2,即 AB的长为 2一 . 一 1 由题意可得 AB AD = | AB | I AD |cos 120 = 2X 2X =2 ,在菱形 ABCD ,易知 AB = DC , AD = BC , 1所以 AE = AB + BE = AB + 3AD ,3AF = AD + DF =AB + AD ,4

13、，一 . 1 AE AF = AB + 3 AD吕 AB + AD入2 .在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD1平行四边形,AB = (1 , 2), AD = (2,1),则4 41= p + ; 2 1+= 1,解得 X = 2.答案入33人(1) 1 (2)2方法技巧i平面向量与几何综合问题的求解方法I!(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向i量运算，从而使问题得到解决.I(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.检验咼考能力一、选择题1已知向量 a=

14、 ( 3，1)，b= (0,1)，c= (k， . 3)，若 a + 2b与 c垂直，贝U k=()A. 3 B . 2 C . 1D. 1解析：选A因为a+ 2b与c垂直，所以(a+ 2b) c= 0,即a c+ 2b c= 0，所以.3k+ 3 + 2 3=0,解得 k = 3.AD AC =()A. 5 B. 4解析：选A由四边形ABCD1平行四边形，知 AC = AB + AD = (1 , 2) + (2,1) = (3 , 1)，故3 .若平面向量a= （ 1,2）与b的夹角是180,且| b| = 3 ；5，则b的坐标为（）A. (3 , 6) B . ( 3,6) C . (6

15、 , 3) D . ( 6,3)解析：选A由题意设b= Xa =(入，2入)(入v 0)，而| b| = 3,：5，则：入2+2入2= 35,所以 X = 3, b= (3 , 6)，故选 A.一 一 14. (2016 山东咼考)已知非零向量m n满足4|m| = 3| n| , cosm,n= 3,若n丄(tmFn)，则实39 -4数t的值为()A. 4 B . 4 C.解析：选B tn 丄(tmFn),二 n (tm+n)= 0,即 tm-n + |n|= 0，二 t|m| n| cos m n+ |n|3212=0.又 4| m = 3| n| , t x 4|n| x 3 + | n

16、| = 0,解得 t = 4.故选 B.25. （2016 天津高考）已知 ABC是边长为1的等边三角形，点 D, E分别是边AB BC的中点，连接DE并延长到点F,使得DE= 2EF,则AF BC的值为（）A.解析：选B如图所示,AF = AD + DF .又D, E分别为AB BC的中点，且DE=1(AC AB ) = 2 ABAC 1 AB 22EF,所以 AD = 2aB , DF =AC + 4 AC = 4 AC ,所以 AF = 1 AB +1 AC .又 BC- 1 3=AC AB ,贝V AF BC = AB + 4 AC+ 4 AC 2 4 AC AB = I AC 2 1

17、AB 2 AC AB .又 | AB | = | AC | = 1 , / BAC= 60 ,故一 3 1 11 1丄AF BC = -：x 1 x 1x=；.故选 B.4 2 42 86 .已知 ABC为等边三角形，AB= 2,设点P, Q满足AP = X AB , AQ = (1 X ) AC ,入 R3若 BQ CP = ,贝U X =()解析：选 AT BQ =AQ AB = (1 X)AC AB , CP = AP AC = X AB AC ,又3一一 一BQ CP = 2 ,| AB | =| AC | = 2 , A= 60 ,AB AC = | AB | I AC |cos 6

18、0 =2, (1X ) AC AB ( X AB AC ) = |,即 X | AB |2+ ( X 2X 1) AB AC + (1 X )| AC |2=| ,231所以4入+ 2（入一入一1） + 4（1 入）=2，解得 入=2二、填空题7.已知平面向量a= (2,4) , b= (1 , 2)，若 c= a (a b) b,则 | c| =解析：由题意可得a b = 2x 1+ 4x( 2) =- 6,. c = a (a b) b= a+ 6b = (2,4) + 6(1 , - 2)=(8 , 8) ,.|C| = ：82 + 8 2 = 8 2.答案：8 2&已知向量 a, b满

19、足(2a b) ( a + b) = 6，且| a| = 2, | b| = 1,贝U a与b的夹角为2 2解析： (2a b) ( a + b) = 62a + a b b = 6，又 | a| = 2, | b| = 1,. a b= 1 cosa,a - b 1., 2n “宀 2 nb= |-bf = 2，又a, b 0 ,n , a 与 b 的夹角为.答案：9 .已知a=（入，2入）,b= （3入，2），如果a与b的夹角为锐角，贝U入的取值范围是解析：a与b的夹角为锐角，则a b0且a与b不共线，则23入+ 4入0,22入一6入工0,解得41入 3或 0 入 3或入1，所以入的取值范

20、围是一o, 4 uu 1,+o.答案:OO10.如图，菱形 ABC啲边长为2,Z BAD= 60,M为DC的中点，若任意一点（含边界），则AM AN的最大值为解析：设AN =入AB + i AD，因为N在菱形ABCD，所以0WN为菱形内入 w 1,0 w 口1 10二 U 3,+ODC=2 AB + AD .所以 AM AN2 AB + AD (入 AB + i AD )=入+专AB入、1-AD + i AD =2x4+ 入 +21 X2X2X + 4 1= 4入 + 5 1.所以 Ow AM AN w9,所以当= 1时，AM AN有最大值9,此时，N位于C点.答案：9三、解答题11. 在平面直角坐标系 xOy中，已知向量m= -2,号,n= (sin x, cos x) , x 0,.(1)若mln,求tan x的值；（2）若m与n的夹角为求x的值.解:（1）