全等三角形常见的辅助线作法例题精讲

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平

2、分线上的某一点向角的两边作垂线，禾U用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目。 6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。 、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）

3、已知，如图 （一）例题讲解 ABC中，AB 5，AC 3，求中线AD的取值范围。 分析：本题的关键是如何把 AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。 解：延长AD到E，使DE DA，连接 BE 又 BD CD， BDE CDA BDE CDA SAS， BE AC 3 AB BE AE AB BE （三角形三边关系定理） 即 2 2AD A E F 经验总结：见中线，延长加倍。 例2、如图， ABC中，E、F分别在AB、AC 上, DE DF，D是中点，试比较 BE CF与EF的大小。 证明：延长 FD到点G，使DG DF，连接BG、EG BD CD， FD DG， BDG CDF B

4、DG CDF BG CF DE DF EF EG 在 BEG 中，BE BG EG / BG CF , EF EG BE CF EF 例3、如图， ABC中，BD DC AC , E是DC的中点，求证：AD平分 BAE. 证明方法一：利用相似论证。 证明： BD DC AC 1 - AC BC 2 E是DC中点 ECDCAC ,ACEBCA 2 2 BCA s ACE ABC CAE AC DC ADC DAC , ADC ABC ABC BAD DAECAE BAD DAE AD平分 BAE BAD 即 证明方法二: 利用全等论证。 证明：延长 使EM AE , 连结DM 易证 DEM CE

5、A C MDE, AC DM 又 BD DC AC BD DM ,ADC CAD 又 ADB C CAD , ADM MDE ADC ADM ADB M ADM ADB BAD DAE 即AD平分 BAE （二）实际应用: 1 、 ( 2009 BAD CAE (1)如图1 是 崇文二模）以 90，连接DE, 当ABC为直角三角形时, ABC的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和 等腰 Rt ACE , M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。 AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系 （2）将图1中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转

6、如图2所示，（1） 理由。 图1 图2 ( 解：（1）ED 2AM， 证明：延长AM到G， AM ED ; 使MG AM，连BG,则ABGC是平行四边形 AC BG, ABG 又T DAE BAC BAC 180 180 ABG DAE 再证： DAE ABG DE 2AM , BAG 延长MN交DE于 EDA BAG DAH 90 HDA DAH 90 AM ED （2 ）结论仍然成立. 证明：如图，延长 CA至 F,使AC FA , FA交DE于点P,并连接BF DA BA, EA AF BAF 90 在 FAB和 DAF EAD中 EAD FA AE BAF EAD BA DA FAB

7、EAD (SAS) BF DE F AEN FPD APE AEN 90 F FB DE 又 CA AF , CM MB AM /FB，且 AM 1 FB 2 AM DE, AM Ide 2 BAC，且 AD BD，求证：CD AC D 、截长补短 （一）例题讲解 例1、如图， ABC中，AB 2AC , AD平分 证明：过D作DM AB，垂足为M AMDBMD 90 又 AD BD , DM DM ADMBDM AM BM T AB 2AC AC AM t AD平分 BAC BAD CAD 在ADC和 ADM中 AC AM BAD CAD , AD AD ADM ADC ACD ADM 90

8、 即：CD AC 例 2、如图，AC/ BD , EA, 证明：在AB上截取AF AC , 在CAE和 EB分别平分 连接EF AC AF CAB , DBA, CD 过点 E,求证：AB AC BD FAE中 FAE CAE FAE CEA FEA CEA BED 即 FEB DEB 在 DEB 和 FEB中 FEA FEB DEB CAE AE AE BE BE FEB 90 FBE DBE DEB FEB (ASA) 二 BD BF 二 AB AF BF AC BD 例3、如图，已知在 ABC 内, ABC的角平分线。求证: BAC BQ 60 AQ 40， P, Q分别在BC, CA上

9、，并且 AP, BQ分别是 BAC , AB BP PD .贝U BAC - 1 2 30 , ABC 1806040 - QB QC 又 D 5 3 4 80 D 40 在 APD与 APC 中 AP AP , 1 2, DC 40 APD APC (AAS) AD AC 即AB BD AQ QC BQ AQ AB BP 、如图, 在四边形 ABCD 中, BC BA, 求证： A C 180 证明：延长AB到 D,使 BD 连接 BQ分别是 / AP, BAC , 80 例 AD BP, ABC的角平分线, C 60 , 40 3 CD , BD 平分 ABC . 解：过点D作DE BC于

10、E, BD 平分 ABC 过点D作DF AB交BA的延长线于F DE DF , F DEB 90 在 Rt CDE 和 Rt ADF 中 AD CD DE DF 二 Rt CDE Rt ADF (HL) FAD C BAD C BAD FAD 180 例5、如图，在 ABC 中，AB AC , BAD CAD , P为AD上任意一点。 求证：AB AC PB PC 证明：如图，在 AB上截取AE,使AE AC，连接PE 在 AEP和ACP中 AE AC BAD CAD AP AP AEP ACP (SAS) PE PC 在 PBE 中，BE PB PE，即 AB AC PB PC （二）实际应

11、用 如图，在四边形 ABCD中，AD/BC，点E是AB上一个动点，若 B 60 , AB BC，且 DEC 60，判 断AD AE与BC的关系并证明你的结论。 分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明 三角形全等解决它们的问题。 解：有 BC AD AE 连接AC,过E作EF / BC并AC于F点 则可证 AEF为等边三角形 即 AE EF , AEF AFE 60 CFE 120 又 AD / BC , B 60 BAD 120 又 DEC 60 AED FEC 在ADE与FCE中 EAD CFE , AE EF , AED FEC

12、ADE FCE AD FC BC AD AE 点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。 、平移变换 （一）例题讲解 例1、AD为 ABC的角平分线，直线MN AD于A. E为MN上一点， ABC周长记为Pa , EBC周长记为Pb . 求证：PB PA. 证明：延长 BA到F,使AF AC,连接EF AD为ABC的角平分线 BAD CAD MN AD - FAE 90 BAD 90 CAD CAE AF AC, AE AE AFE ACE EF EC BE EF BF BE EC AB AF AB AC BC+BE+CEAB+AC+BC BE

13、 EC BC AB AC BC ABC的周长小于 EBC的周长，即PB PA 例2、如图，在 ABC的边上取两点 D、E,且BD CE，求证：AB AC AD AE . 解析：先连接AF并延长至G,使FG AF ,其中F是BC的中点，连接GB，GC, GD，GE.可知四边形 ABGC, 四边形ADGE是平行四边形，延长 AD至H，交BG于H 运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可 进行证明。 证明：连接 AF并延长至G,使FG AF ,其中 F是BC的中点，连接 GB, GC, X? 1 # i GD , GE A BD DF CE EF 四边形 ABGC, 四边形 ADGE是平行四

14、边形 / BG AC , DG AE / ! 延长AD至H，交 BG于 H z. 厶 Ji B D F E C AB BH AD DH , DH HG DG * ir 4.F / H tf 1 1 f * J f AB BH DH HG AD DH DG Lf 、k# * AB BG AD DG - J * 即AB AC AD AE G 点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键本 题借助辅助线DH起枢纽作用。 方法2：取BC中点M，连AM并延长至 N,使MN AM，连BN, DN N BD CE DM EM DMN EMA (SAS) DN

15、AE 同理BN CA 各减去DP，得：BN AB DN AD 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN BP PN , DP PA AD 相加得：BN BP DP PA PN AD AB AC AD AE 四、借助角平分线造全等 （一）例题讲解 例1、如图，已知在 ABC中, 求证：OE OD B 60 , ABC的角平分线 AD, CE相交于点O. 证明：在AC上取点F，使AF / AD是A的平分线 AE，连接OF EAO FAO AO AO AEO AFO EO FO , AOE AOF CE是 C的平分线 DCO FCO B 60 BAC ACB 120 COD CAO OCA 1 -BA

16、C 2 ACB COF 180 COD AOF 180 60 COF COD 60 60 60 OC OC OCD OCF 二 OD OF 二 AC AF CF AE CD , OE OD 即：AC AE CD 例2、如图，ABC中，AD平分 BAC , DG BC且平分 的理由；（2）如果AB a , AC b，求 （1）证明：连接DB , DC AE、BE的长。 DG BC且平分BC T DE AB, DF AC , AD 平分 BAC DE DF Rt DEB Rt DFC BE CF (2)解：/ DE DF , AD AD Rt AED Rt AFD AE AF AB AC AE B

17、E AF CF AE AB AC AE BE AF CF 2BE DC 二 DB AF 2AE，即 a 2BE ,BE BC, DE AB于 E, DF F b 2AE, AE 2 AC 于 F. (1)说明 BE CF （二）实际应用 1、如图，OP是 这个作全等三角形的方法， （1）如图，在 ABC中， ACB是直角，B 60 , AD、 MON的平分线, 解答下列问题： 请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考 CE分别是 BAC、 BCA的平分线，AD、CE相 交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系; （2）如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角

18、，而（ 1）中所得结论是 否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 FE与FD之间的数量关系为 （1）中的结论 FE FD仍然成立。 解：（1） （2）答: 1）中的其它条件不变，请问，你在（ 图 证法一：如图1,在AC上截取AG AE，连结FG 12, AF为公共边， AEF AGF AFE AFG , FE FG B 60 ,AD、 CE分别是 BAC、 BCA的平分线 23 60 AFE CFD AFG 60 CFG 60 34及FC为公共边 CFG CFD FG FD 图1 FE FD 证法二： 如图2，过点F分别作FG AB于点G , FH BC于点H 图2 B 60 ,

19、AD、CE分别是 BAC、 BCA的平分线 二可得 23 60 , F是ABC的内心 GEF 601, FH FG 又 HDF B 1 GEF HDF 可证 EGF DHF FE FD 五、旋转 （一）例题讲解 BE DF EF，求 G E C B 例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点, 解：将 ADF绕点A顺时针旋转90，至 ABG EAF的度数。 GE GB BE DF BE EF 又 AE AE , AF AG AEF AEG EAF GAE BAE GAB BAE DAF 又 EAF BAE DAF 90 EAF 45 例2、D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，D

20、M （1 ）当 MDN绕点D转动时，求证：DE DF （2）若AB 2，求四边形DECF的面积。 DN , DM , DN 分别交 BC, CA 于点 E, F。 分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到 CD平分 ACB， CD AB， A 45，CD DA， 则 BCD 45， CDA 90，由 DM DN 得 根据全等三角形的判定易得DCE ADF， EDF 90 即可得到结论; ，根据等角的余角相等得到 （2 ）由 DCE ADF， CDE 则 S dce ADF， S ADF , 于是四边形DECF的面积 S acd，由而AB 从而得到四边形DECF的面积。 解：（1）连CD

21、，如图， / D为等腰Rt ABC斜边AB的中点 2可得CD DA 1，根据三角形的面积公式易求得 S ACD ， CD 平分 ACB , CD AB , BCD 45 , CDA 90 DM DN - EDF 90 - CDE ADF 在 DCE和ADF中 DCE DAF DC DA CDE ADF DCE ADF A 45 , CD DA DE DF (2 )T DCE ADF S DCE S ADF 四边形DECF的面积 A ACD 而AB 2 CD DA 1 四边形DECF的面积 S acd -CD DA - 2 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线

22、段相等，对应点与旋转中心的连 线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。 例3、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 120，以D为顶点做一个60 角，使其两边分别交 AB于点M，交AC于点N,连接MN，求 AMN的周长。 解： BDC是等腰三角形，且BDC 120 BCD DBC 30 ABC是边长为3的等边三角形 ABC BAC BCA 60 DBA DCA 90 顺时针旋转 BDM使DB与DC重合 DM DM MDN NDM 60 DN DN DNM DNM MN M N NC BM AM AN MN NC 在 DMN和 D

23、M N中 AMN的周长为6 BM AN AB AC 6 (二)实际应用 1、已知四边形 ABCD 中，AB AD，BC CD，AB BC， ABC 120， MBN 60， MBN 绕 B 点旋 转，它的两边分别交 AD、DC (或它们的延长线)于 E、F. (1 )当 MBN绕B点旋转到 AE CF时(如图1),易证AE CF EF . (2)当 MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予 证明；若不成立，线段 AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 BC , AE2 CF A ABE CBF (SAS); ABE CB

24、F ,BE BF ABC 120 , MBN 60 - ABE CBF 30 , BEF为等边三角形 BE EF BF , CF 1 AEBE 2 AE CF BE EF (2)图2成立，图 3不成立。 解：(1)v AB AD图 BC CD , AB K N 图2 证明图2，延长DC至点K，使CK AE ,连接BK 则 BAE BCK BE BK , ABE KBC FBE 60 , ABC 120 FBC ABE 60 FBC KBC 60 KBF FBE 60 KBF EBF KF EF KC CF EF 即AE CF EF 图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE CF EF 2、(西

25、城09年一模)已知：PA .2 , PB 4，以AB为一边作正方形 ABCD，使P、D两点落在直线 AB的两侧。 (1) 如图，当 APB 45时，求AB及PD的长； (2) 当 APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应 分析：(1)作辅助线，过点 A作AE PB于点E,在Rt PAE中，已知 APB的大小。 APE , AP的值，根据三角函数可将 AE, PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根据勾股定理可将 AB的值求出；求PD的值有 两种解法， 解法一：可将 PAD绕点A顺时针旋转90得到 P AB，可得 求P B的长，在 Rt APP中，可将 PP的值求

26、出，在 Rt 解法二：过点P作AB的平行线，与 DA的延长线交于F，交 进而可知PG的值，在 Rt PFG中，可求出 PF，在Rt PAD PPB 中， PB 于 G, PAB，求PD长即为 根据勾股定理可将 P B的值求出； 在Rt AEG中，可求出 AG, EG的长, PDF中，根据勾股定理可将 PD的值求出; (2 )将 PAD绕点A顺时针旋转90 , 三点共线时，PB取得最大值，根据 解：(1)如图，作AE PB于点 得到 P AB , PD的最大值即为PB的最大值，故当 P、P、B P B PP PB可求P B的最大值，此时 APB 180 APP 135 . Rt PAE 中， A

27、PB 45 , PA PE PB PB PE 3 BE 在 Rt ABE 中， AEB C 90 AB AE2BE2 .10 解法一：如图，因为四边形 ABCD为正方形，可将将 PAD绕点 90得到 PAB ,，可得 PAD PAB, PD PB , PA PA PAP 90 , APP 45 ,P PB 90 二 PP 2, PA PB222 42 2. 5 ； 解法二：如图，过点 Rt AEG 中, P作AB的平行线，与 DA的延长线交于 -.10 A顺时针旋转 C DA的延长线交 F，设 PB 于 G. AE AE 2 可得 AG EG EG 在 在 PD PG PE 1 PB , PP

28、 .2PA 2 , PB 4且P、D两点落在直线AB的两侧 PPB 中，P B PP 当P、P、B三点共线时，P B取得最大值(如图) P 此时P B PP A D P PB PB 6，即P B的最大值为6 BD DC .探究：当 M、N分别在直线 AB、 边ABC的周长L的关系。 60 , BDC 120 , AMN的周长Q与等 此时 APB 180 APP 135 3、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N,D为 ABC外一点，且 MDN AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 C C C 图3 MN之间的数量关系是 （1）如图1,当点M、 图1 N 边 AB、

29、AC 上, 且DM 图2 DN时, BM、NC、 此时Q L （2）如图 加以证明； 2, N边AB、AC上，且当DM DN时, 猜想（1） 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并 （3）如图3,当 M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若 AN x，则Q （用x、L表示）. 分析 :(1 )如果DM DN ,DMN DNM ,因为 BD DC ,那么 DBC DCB 30 , 也就有 MBD NCD 60 30 90，直角三角形 MBD、 NCD 中， 因为 BD DC , DM DN ，根据HL定理，两三 角形全等。 那么BM NC , BMDDNC 60 ,三角形NCD 中, NDC 30

30、 ,DN 2NC ,在三角形 DNM 中, DM DN ,MDN 60 , 因此三角形DMN 是个等边三角形，因此 MN DN 2NC NC BM，三角形 AMN的 周长Q AM AN MN AM AN MB NC ；AB AC 2AB，三角形 ABC的周长L 3AB，因此 Q:L 2:3 （2）如果DM 中我们已经得出，MBD NCD 此两三角形全等，那么 DN,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。 90，那么三角形 MBD和ECD 中, DM DE , BDM CDE , EDN BDC 延长AC至E,使CE 有了一组直角，MB MDN 60 三角形 BM CE， MDN ，连接 DE. ( 1) DC，因 BD 和EDN中，有 DM DE, E