奥林匹克训练题库_约数与最大公约数

1、137 12345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？ 138 将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字， 所得到的两 个数都是 78的大于 1 的约数。求这个两位数。 139 有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数 之和是 100，求这个自然数。 140有一个自然数， 它的最大的两个约数之和是 123，求这个自然数。 141求只有 8 个约数但不大于 30 的所有自然数。 142给出一个自然数n, n的所有约数的个数用T(n)表示。(1)求 T(42);求满足T(n)=8的最小自然数n； (3)如果T(n)=2，那么n是 怎样的数？ 143在1100中

2、，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？ 144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么axb能 否恰好有 10 个不同的约数？ 145少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗， 十分有趣。这 200 个灯泡按 1200 编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗； 第三秒，凡编号为 3 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态， 即亮的变暗， 暗的变亮； 一般地，第 n 秒凡编号为 n 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。 这样继续下去，每 4 分钟一个周期。问：第 200秒时，明亮的灯泡有 多少个？ 146100 以内约数个数最多的

3、自然数有五个，它们分别是几？ 147一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字 9 误看成 7，得出的乘积是 756。问：正确的乘积是多少？ 148给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和 S(36) 。 149对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数 的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？ 150 一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和， 则称此数为完全 数。已知 30 以内有两个完全数，请将它们找出来。 151 某商店把几十个单价原为 0.2 元的转笔刀降价后全部售出， 共卖 得 2.53 元。问：降价后单价多少元？ 152 有一瓶 44

4、0毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。如果将酒倒 入甲种杯，则倒满若干杯后，还剩 35毫升酒(不足一杯 ) ；如果将酒倒入 乙种杯，则倒满若干杯后也剩 35毫升酒(不足一杯 ) 。已知甲、乙两种酒 杯的容量都不超过 100 毫升，求甲、乙酒杯的容量。 153把 21，26，65，99，10，35，18，77分成若干组，要求每组中 任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？ 154a, b两数的最大公约数是12,已知a有8个约数，b有9个约数， 求a和bo 155用19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数， 求这些数的最大公约数。 156 用 17 这七个数码组成两个三位数和一个

5、一位数，要求三个数 中任意两个都互质。已知其中一个数为 714，求另两个数。 157现有三个自然数， 它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数 最大可以到多少？ 158100个正整数之和为 6666，它们的最大公约数的最大可能值是多 少？ 159A，B是两个奇数，它们的最大公约数是 3,求(A + B)和(A B)的 最大公约数。 160 甲、乙两数的最大公约数是 37，两数的和是 444，这样的自然数 有哪几组？ 161 有一个大于 1 的自然数，用它除 498， 447和 379得到相同的余 数，求这个自然数。 162两个小于 150的数的积是 2028，它们的最大公约数是 13，求

6、这 两个数。 163 写出三个小于 20 的自然数， 使它们的最大公约数是 1，但两两均 不互质。 164 试用 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 六个数码组成两个三位数，使这两 个三位数与 540 的最大公约数尽可能大。 16518八个数字，按右图所示的次序排成一个圆圈， 请你在某两个 数字之间沿直径剪开，这时按顺时针次序形成两个四位数（例如，在1和 5之间剪开，得到的两个数是5483和6721）。如果要使剪开后所得到的两 个数的最大公约数最大，那么应从何处剪开？最大公约数是几？ 2 1 T4 166有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是 1,长有200格，宽 有120格（如下图）

7、。纵横线交叉的点称为格点，连结 A, B两点的线段共 经过多少个格点（包括A，B两点）？ f i 167在右图中，以0为一个端点，以A，B, C, D, E, F，G H为另 一个端点，共可以连出8条线段。在这8条线段中，不经过图中任何一个 格点的有几条？ 168有三根钢管，分别长200, 240和360厘米。现在要把这三根钢 管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？ 169两根铁丝分别长65米和91米，用一根木尺分别去丈量它们，都 恰好量完而无剩余。这根木尺最多有多长？ 170有三根铁丝，分别长300厘米、444厘米、516厘米。把它们截 成同样长且尽可能长的整厘米小段（不许剩余）

8、，每小段折成一个小正方 形。然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形（每拼一次都必须全 部用上这些小正方形），这样可能拼成的长方形有几种？ 171有336个苹果、252个桔子、210个梨，用这些果品最多可分 成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 172将22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结 果橡皮多1块，铅笔少2支，参加打扫卫生的同学有多少名？ 173如右图所示，街道ABC在 B处拐弯，在街道一侧等距装路灯， 要求A，B, C处各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？ T15 米 E 立0米 17496个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行115报数。如果 报数一圈一圈地循环进行下去，那么有没有人115这15个数都报过？ 第一个小朋友报过哪几个数字？ 17578个小朋