2015年全国高中数学联合竞赛一试解答（A卷）

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2十ax十b满足f(a)=f(b)，则f(2)解：由条件知，cos2α=sinα,反复利用此结论，并注意到cos2α十sin2α=1，得2α)=2十sinαcos2α=2.表示zn的共轭复数，则z2015的值为.答案：2015十1007i.解：由已知得，对一切正整数n，有nn于是z2015=z1十1007×(2十i)=2015十1007i.4.在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异解：设正方体为ABCD—EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有=220种.不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为.6.在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)(x十3y—6)(3x十y—6)≤0}所对解：设K1={(x,y)x十3y—6≤0}．先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x十3y≤6，故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.同理，设K2={(x,y)3x十y—6≤0}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1、K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.7.设w为正实数，若存在a,b(π≤a<b≤2π)，使得sinwa十sinwb=2，则w的取值件等价于：存在整数k,l(k<l)，使得①当W≥4时，区间[Wπ,2Wπ]的长度不小于4π,故必存在k,l满足①式.(i)≤2Wπ,此时W≤且W≥,无解；8.对四位数abcd(1≤a≤9,0≤b,c,d≤9)，若a>b,b<c,c>d，则称abcd为P类数；若a<b,b>c,c<d，则称abcd为Q类数．用N(P)与N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)—N(Q)的值为.解：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为A0，个位数不等于零的P类数全体记为A1.A0A0及b<c≤9知，a和c分别有9—b种取法，从而因此，N(P)—N(Q)=285.或演算步骤.解：将2a,2b,2c分别记为x,y,z，则x,y,z>0.由条件知，x+y2=z,x2+y=z2，故z2y=x2=(zy2)2=z22y2z+y4．…8分当2y2=即由于c=log2z，故c的最小值为log2=log23—…16分10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得2 aiaj(1≤i<j≤4)中最小的与次小的两个数分别是a1a2及a1a3，最大与次大的两个数分别是a3a4及a2a4，从而必须有结合a1检验知这两组解均满足问题的条件.234=右焦点．设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A、B，焦点F2到直线l的距离为d．如果直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.设直线l的方程为y=kx十m，点A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则x1,x2满2=(2k2222)=0即2k22而此时m,k满足②,故l与椭圆有两个不同的交点A