大一上学期微积分期末试卷及答案

1、微积分期末试卷 1 1设f(x) 2cosx,g(x)(l)sinx在区间(0, )内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数 2、 x 0时，e2x cosx与 sinx相比是() D同阶但不等价无价小 D无穷型间断点 A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1n A X n ( 1)B Xn sin - n2 11 C X n n (a 1) D Xn cos

2、 an 5、 若f (x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)oBf /(X。)o Cf /(X。)0且f( Xo)BC( 15 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 lim x ex x 0 1 e 解：原式=lim x 01 x x2 lim ex2 ( 2x x 0 2x 3 34 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim ex x 0 3322 f (x)4(x 10) 3x 12x (x 332322 f (x)24x (x 10)12x 3 (x 10) 3x 24x f (x)0 10)3 3. .334 ,3 (x 10)

3、108 x (x 10)2 4 r t I 八2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 2 4 Incosx lim / ex 0 4 , 2I ncosx 解：原式=lim ex x 0 2 Q lim p Incosx x 0 x2 原式e2 I 解：In y 5ln3x 1 1 Jx 1 cosx I y y 15311 y 2 x 2 1 2(x 1) 1 2(x 2) 1 cosx (sin x) tanx lim lim x x x 0 x x 0 x 2 2 2 5 tan3xdx 解：原式=tan2xtanxdx 2 (sec x 1)tanxdx 2 =sec x ta

4、n xdx tan xdx =tan xd tan x =tan xd tan x sin x , dx cosx 1 . d cosx cosx = -ta n2x In cosx c 6 求 xarctanxdx x2d arctanx) = 1(x2 arcta nx 2 x21 1 1 x2 dx) x2 arcta nx 1 (1 厂Rdx 解：原式=1 arcta nxd(x2)1 (x2 arcta nx 2 2 2 arcta nx 四、证明题。 1、证明方程x3 x 1 0有且仅有一正实根。 证明：设f(x) x3 x 1 Q f (0)1 0, f (1) 10,且f (x

5、)在 0,1 上连续 至少存在(0,1),使得f ()0 内至少有一实根 即f(x)在(0,1)内至少有一根，即f(x) 0在(0,) 假设f(x) 0在(0,)有两不同实根X1,X2,X2为 Q f (x)在x2,x2上连续，在(x2,x2)内可导 且 f(xjf (x2) 0 至少(x2,x2), s tf ( ) 0 而f ( )3 2 1 1与假设相矛盾 方程x3 x 1 0有且只有一个正实根 2、证明 arcsinx arccosx -( 1 x 2 证明：设 f (x) arcsinx arccosx 0,x 1,1 f (x) c f (0) arcsinO arccosO f

6、(1) arcsin1 arccos1 一 2 f ( 1) arcsin( 1) arccos( 1) 1,1 综上所述，f(x) arcsinx arccosx 五、应用题 1、描绘下列函数的图形 解：1.Dy=(- ,0) (0,+ ) 2.y=2x-4 x 2x3 x 4补充点(2,7).(-, 2 2 9 (1,2).(2,2 3. X (-8 广1) -1 (-1,0) 0 （o?Ws） （疵亦） Y1 不存 在 + Y + 0 + + y l凹 捋点 t-1. /凸 匹 极小 /凹 5lim f(x) ,f (x)有铅直渐近线x 0 x 0 6如图所示: 2.讨论函数f(x) x2 Inx2的单调区间并求极值 解：Df (x) R 22(x 1)(x 1). f (x) 2x(x 0) xx 令f(x) 0,得X!1,X2 1 X (-8“) -1 (40) 0 (0.1) 1 (