导数各类题型方法总结(绝对经典)

1、第一章 导数及其应用 一，导数的概念 1.已知f（X）-,则lim 卫2的值是（） x x 0 x A. -B. 2 C.- D. 2 44 变式 1 ： 设 f 3 4,贝H lim 丄3h f 3 为 （） h 02h A. 1B. 2C. 3D. 1 变式2：设f x在沧可导，则lim丄上一X一f Xo 3 x等于（） X 0 x A.2 fx0B. f x0C.3 fx0D.4fx0 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的

2、关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以 及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f（x）0得到两个根; 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0, 3 则 f (1) 1 (m 3) m 6 0;，

3、 m 3. 1. 2 例9、已知函数f(x) -x3 3 有且仅有3个极值点，求a 1 2 x 2 的取值范围. (a R,a 0) (1)求f (x)的单调区间; (2)令 g(x) = -x4+ f (x) (x R) 4 解: (1) f(x) ax2 x x(ax 1) 当a 0时，令f (x) 0解得x 1或x 0,令f(x)0解得 a 所以f (x)的递增区间为( ,丄)(0, a 1 )，递减区间为(丄,0). a 0时，同理可得 1 f (x)的递增区间为(0,)，递减区间为 a ,0) ). (2) g(x) x2有且仅有3个极值点 2 g(x) ax 方程x2 ax 1 0

4、有两个非零实根，所以 a240, 而当a 2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点 其它例题: 1、(最值问题与主元变更法的例子) .已知定义在R上的函数 f (x) ax3 2ax2 b( a 0)在区间 2,1上的最大值是5，最小值是一 11. (I)求函数f (x)的解析式; (n)若 t 1,1时，f (x) tx0恒成立，求实数x的取值范围. 2 f (x) 3ax4ax ax(3x 4) 4 令 f(x)=o,得Xi 0,X2 32,1 因为a 0，所以可得下表: x 2,0 0 0,1 f(x) + 0 - f (x) / 极大 2), 因此 f(0)必为最大值， f

5、(0 5 因此 b 5 , Qf( 2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 即 f( 2)16a 511 , a 1, f(x) x312 f (x) x x 3x 1 2 2x2 5. 22 () f (x) 3x4x, f (x) tx 0等价于 3x 4x tx 0, x的取值范围, 令g(t) xt 3x24x，则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时，求实数 为此只需g( 1) 0，即3x2 5x 0， g(1)0 x x 0 解得0 x 1,所以所求实数 x的取值范围是0，1. 2、(根分布与线性规划例子) 2 (1)已知函数 f(x)x3 ax2 bx c 3

6、3x y 0平行，求f (x)的 (I )若函数f(x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线 解析式； (b 2, a 1)所在平面区域 (n )当f(x)在x (0,1)取得极大值且在 x (1,2)取得极小值时，设点M 为S,经过原点的直线 L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程. 解：(I ).由f (x) 2x2 2ax b ,函数f (x)在x 1时有极值, 2a b 2 0 - f (0)1 c 1 又 f (x)在(0,1)处的切线与直线3x y 0平行, 1 f (0) b 3 故 a 1 2 .7分 2 x (n)解法一：由 f (x) 2x

7、 2ax b及f (x)在x (0,1)取得极大值且在x (1, 2)取得极小值, f (0) f (1) f b 即 2a 4a 令 M (x, y), 易得A( 2, 0), 2y 4y B( 2, 同时DEABC的中位线, 所求一条直线L的方程为： 故点 M所在平面区域S为如图 ABC, 1), C(2, 2),D(0, 1),E(0,2) S ABC 2 S DEC 3 S四边形 ABED 分别交于 F、 G, 则 k 0, S四边形DEGF 1 由 y kx 得点 F的横坐标为：xF 2y x 2 0 由 y kx 得点 G的横坐标为：xG 4y x 6 0 另一种情况设不垂直于 x

8、轴的直线L也将S分为面积比为 二 乐边形 DEGF S OGE S OFD 1:3的两部分，设直线L方程为y kx ,它与AC,BC 1 3旦1 1丄 2 2 4k 12 2k 1 1 即 16k2 2k 5 0 1 解得：k - 2 (舍去) 故这时直线方程为 综上,所求直线方程为： .12分 (n)解法 f (x) 2x22 ax f (x)在x (0,1)取得极大值且在x (1,2)取得极小值， f (0) f (1) f 2a 4a x 令 M (x, y),贝U y 易得A( 2, 0), 2y 4y B( 2, 1), 故点M所在平面区域 S为如图 ABC, 3 C(2,2),D(

9、0,1),E(0,3) S ABC 2 2 同时ABC的中位线，S DEC s四边形ABED所求一条直线L的方程为：x 0 3 11 另一种情况由于直线 B0方程为: y 1x,设直线BO与AC交于H , 2 由y 2y 1 x 2 x 2 得直线 1 L与AC交点为：H ( 1,) 2 -S ABC 2, S DEC Sabh 2 S ABO 所求直线方程为 3、 (根的个数问题) 已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d (a 0)的图象如图所示。 由图可知 函数f (x ) 3 2b c 依题意 f 2 = - 3 得da 解：由题知: (i)求c、d的值; (n)若函

10、数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为 3x y 110 ,求函数f (出) (x )的解析式; 3a (川)若X。 5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数 f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b 的图像过点(0,3 )，且f 1 = 0 2b 0 c a的取值范围。 12a 4b 3a 2b 3解得a = 1 , 8a 4b 6a 4b 3 5 所以 f ( x ) = x3 - 6 x2 + 9 x + 3 依题意 32 f ( x ) = ax + bx - ( 3 a + 2 b ) x + 3 (a0 ) 2 f x = 3 ax + 2 bx -3a -2b 由

11、 f 5 = 0 b = -9a 若方程f ( x ) = 8 a有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 )v 8av f ( 1 由 1 得-25 a + 3 v 8av 7a + 3v av 3 x 2 (2,1) 1 此时,8a 20, a 0，有一个交点；9分 (X) 一 (X) 8a I a 1 所以 当丄v av 3时，方程f ( x ) = 8 a有三个不同的根。 12分 11 4、(根的个数问题)已知函数f(x) - x3 ax2 x 1(a R) 3 2，求a的值及f(x)的单调区间; (1 )若函数f (x)在x X1,X X2处取得极值，且 X1 X2 115 (2)

12、若a，讨论曲线f (x)与g(x)x2 (2a 1)x( 2 x 1)的交点个数. 解：(1) f(x) X2 2ax 1 x1 x22a, x1 x21 % x2x2)2 4%x2V4a2 4 2 a 0 2分 2 2 f (x) X 2ax 1 X 1 令 f (x) 0得 x1,或x 1 令 f (x)0 得 1 x 1 f (x)的单调递增区间为( 1), (1,)，单调递减区间为(1,1) 结论 2： X1 a,b, X2 C,d,f(X1)g(X2)f(x)max g(x)min ；【如图二】 (2)由题 f (x) g(x)得-x3 ax2 x 1- x2(2a1)x- 3 26

13、 即一 x (a )x 2ax 0 326 人13121 令(x) x(a )x 2ax( 2x 1) 6 分 326 (x)X2(2a1)x 2a (x2a)(x1) 令 (x)0得x 2a或x 1 7分 当2a 2即a 1时 1 当2a 2即1 a 时, 2 X 2 (2,2 a) 2a (2a,1) 1 (X) + 0 一 (X) 8a 9 2 / 2 2 1 a (3 2 a) 36 a Q2a2(3 2a)-0, 36 99 当8a 0即1 a时，有一个交点； 216 99 当8a0,且a 0即a 0时，有两个交点; 216 1 9 当0 a 时，8a 0,有一个交点. 13分 2

14、2 91 综上可知，当a或0 a 时，有一个交点； 162 9 当a 0时，有两个交点. 14分 16 3 5、(简单切线问题) 已知函数f (x) 笃图象上斜率为3的两条切线间的距离为一,函数 a5 g(x) f(x) 3b2X 3. a (I) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式； (n) 若函数g(x)在区间1,1上为增函数，且bmb 4 g (x)在区间1,1上都成立，求实数m的取值范 围. 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳 探究 一、相关结论： 结论 1：X1 a,b, X2

15、c,d, f(X1) g(X2)f(x)min g(x)max ；【如图一】 结论 5：Xi a,b, X2 c,d, f(Xi) g(X2) f (x)的值域和g (x)的值域交集不为空；【如图五】 结论 3：Xi a,b, X2 c,d, f(Xi) g(X2)f(x)min g(X)min ；【如图三】 f(X) max g(X) max ； 【如图四】 结论 4：Xi a,b, X2 c,d, f(Xi) g(X2) a上胃 fl-9 s s- fi-V)/* ffi- I 1 d?何 / 區五 232 【例题 1 】：已知两个函数 f(x)8x 16x k, g(x) 2x 5x 4

16、x,x 3,3, k R； (1) 若对x 3,3,都有f(x) g(x)成立，求实数k的取值范围； (2) 若x 3,3,使得f(x) g(x)成立，求实数k的取值范围； (3) 若对人必3,3,都有仁捲)g(X2)成立，求实数k的取值范围； 32 解：(1)设 h(x) g(x) f(x) 2x 3x 12x k,( 1)中的问题可转化为：x 3,3时，h(x) 0 恒 成立，即h(X)min 2 h (x) 6x 6x 126(x 2)(x 1)； I 当x变化时，h(x), h(x)的变化情况列表如下: X -3 ) (-3,-1 1 (-1,2 ) 2 ) (2,3 3 h (x )

17、 + 0 0 + h(x) k-4 5 增函数 极 大值 减函 数 极 小值 数 增函 k- 9 因为 h( 1) k 7,h(2) k 20,所以，由上表可知h(x)mink 45，故 k-45 0，得 k45,即 k 45,+ oo ) 小结：对于闭区间 I，不等式f(x)k 对x I时恒成立f(x)maxk 对x I时恒 I. 此题常见的错误解法：由f(x)max wg(x)min 解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)max w g(x)min ”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价 (2) 根据题意可知，(2)中的问题等价于h(x)= g(x) f(x) 0在

18、x -3,3时有解，故h(x)max 0. 由(1)可知h(x)max= k+7 ，因此 k+7 0,即卩 k 7,+). (3) 根据题意可知，(3)中的问题等价于f(x)max w g(x)min , x -3,3. 由二次函数的图像和性质可得，x -3,3时，f(x)max=120 k. 仿照(1),利用导数的方法可求得x -3,3时，g(x)mi n= 21. 由 120 k 21 得 k 141,即 k 141,+). 说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量 从上面三个问题的解答过程可以看出，对于一个不等式一定要看清是对“ x”恒成立，还是“ x”使之成立， 同时还要看清不等

19、式两边是同一个变量，还是两个独立的变量，然后再根据不同的情况采取不同的等价条件，千万 不要稀里糊涂的去猜. 二、相关类型题： 一、a f(x)型； 形如a f (x), a f (x)型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“a f (x)在 x D上恒成立，则af (x)max(x D); a f (x)在x D上恒成立，则a f (x) min(x D); ”.许多复杂的恒 成立问题最终都可归结到这一类型. 2 例1 :已知二次函数f(x) ax x，若 x 0,1时，恒有I f(x)| 1，求实数a的取值范围. 解: Q | f (x) | 1 ,1 ax2 x 1 ；即 1

20、 x ax21 x ； 当x 0时，不等式显然成立， a R. 当 0 x1 时，由 1 x ax21 x得： 1 1 1 1 1 2a2，而(一2 -)i 0 x xx xx x CE11 a 0.又T ()max 2, a2,2 a 0，综上得 a的范围是a 2,0。 二、f (x1)f (x) f(x2)型 x 例2已知函数f (x) 2si n()，若对 x R，都有f(xj f (x)f(X2)成立，则|为x?|的最小 25 值为. 解对任意x R,不等式f(xj f(x)f(x2)恒成立， 二f(Xi), f(X2)分别是f (x)的最小值和最大值. 对于函数y sin x ,取得

21、最大值和最小值的两点之间最小距离是n,即半个周期. x 又函数f(x) 2sin()的周期为4, | x, X21的最小值为2. 25 三、.f(xi_)f(Xi) f(X2)型 2 2 2 例3 :(2005湖北)在y 2x, y log2 2x, y x ,y cosx这四个函数中，当0 x, x21时，使 f (Xl X2) 丄凹 恒成立的函数的个数是() 2 2 解：本题实质就是考察函数的凸凹性, 即满足条件f(彳X2)丄凶的函数，应是凸函数的性质, 2 2 画草图即知y log 2 2x符合题意; 四、f(Xi) f(X2) X, x2 0型 例4已知函数f (x)定义域为1,1,

22、f (1) 1，若m,n 1,1, m n 0时，都有一回 0, m n 若f(x) t2 2at 1对所有x 1,1, a 1,1恒成立，求实数t取值范围 解：任取1x1 X21，则 f(xj f(x2) f(X1) f(X2)(X X-IX? x2),由已知丄凶一 X1 g 0 ,又 X2 x1x20 , f (X1) f (X2) 0f, 即f (x)在 1,1上为增函数. - f(1) 1 , X 1,1,恒有 f(x) 1; 要使f(x) t2 2 at 1对所有 X 1,1, a 1,1恒成立，即要 t2 2 at 11恒成立, 故 t2 2at 0恒成立，令g(a) 2at t2

23、, 只须g( 1)0且g(1) 0 , 解得t 2或t 0或t 2。 评注：形如不等式0或 一0恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表 X1 X2X1 x2 现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息 五、 f (x)g(x)型： 1 例 5:已知 f (x) lg(x 1), g(x) lg(2x t)，若当 x 0,1时，f(x) g(x)恒成立，求实数 t 的取 值范围. 解：f(x) g(x)在x 0,1恒成立，即.厂2x t 0在x 0,1恒成立2x t在0,1上的 最大值小于或等于零. 令 F(x) ,.n 2x t, F(x)1 4 x 1，: x 0,1 2 1 F(

24、x) 0 ,即F(x)在0,1上单调递减，F(0)是最大值. f (x)F(0)1 t 0,即 t 1。 六、f(G g(X2)型 1 3249x c 例 6：已知函数 f(x) x x 3x , g(x)，若对任意 X1,X2 2,2，都有 f(xj g(X2), 332 求c的范围. 解：因为对任意的x1, x2 2,2，都有f (x1) g(x2)成立， - f(x) max g(x) min , f (x) x2 2x 3，令 f (x)0得 x 3,x 1x 3 或 xv -1 ； f (x)0 得 1 x 3 ; f(x)在2, 1为增函数，在1,2为减函数. :f(1) 3,f

25、6， f(叽 33詈， c 24。 七、I f (Xj f (X2)| t ( t 为常数)型； 1 例7 :已知函数f (x) x4 2x3，则对任意t| ,t2 ,2 (t1 t2)都有 |f(xj f(X2) | 恒成立，当且仅当t1=, t2 =时取等号. 解：因为| f (x1) f (X2) | | f(x)max f(x)min | 恒成立， 由 f (x)X4 1 32715 2X3,X ,2,易求得f(X)max f( ),f(x)min f() 2 216216 |f(X1) f(X2)| 2。 1 和 1; (3)过 f(x) 例8 :已知函数y f(x)满足：(1)定义域为1,1； 方程f(x) 0至少有两个实根 证明|