平行四边形知识点总结及对应例题,推荐文档

1、第十八章平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.11 / / 平行四边形的性质: (1): 平行四边形 对边相等 (即: AB=CD,AD=BC )； (2): 平行四边形 对边平行 (即: AB/CD,AD/BC )； (3): 平行四边形 对角相等 (即: / A= / C, / B= / D)； (4): 平行四边形 对角线互相平分 (即：OA=OC , OB=OD )； 判定方法：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法) 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等 的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分 的四边形是平行四边

2、形； 5. 两组对角分别相等 的四边形是平行四边形； 考点1特殊的平行四边形的性质与判定 1. 矩形的定义、性质与判定 (1) 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2) 矩形的性质：矩形的对角线 ;矩形的四个角都是 角。矩形具有 的一切性质。矩形 是轴对称图形，对称轴有 条，矩形也是中心对称图形，对称中心为 的交点。矩形被对角 线分成了 个等腰三角形。 (3) 矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是 的四边形是矩形；对角线 的平行四边形是矩形。 温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角 形；在判定矩形时，

3、要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角 或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。 2. 菱形的定义、性质与判定 (1) 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2) 菱形的性质 菱形的都相等；菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角；菱形也具有平行四边形 的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有 条。 (3) 菱形的面积 1 菱形的面积=底乂高，菱形的面积=ab,其中a, b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的 直角三角形。 (4) 菱形的判定： 都相等的四边形是菱形；对角线 的平行四边形是菱形；有一组邻 边相等的

4、平行四边形是菱形。 温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证 明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。 3. 正方形的性质及判定方法 (1)正方形的性质：正方形的四个角都是 ，四条边都 ; 正方形的两条对角线 ，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心 对称图形。 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 (2)正方形的判定方法：有一组邻边相等的 正方形；对角线互相 的矩形是正方形；有一个角是直角的 菱形是正方形；对角线 的菱形是正方形。

5、温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这 个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平 分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。 考点2梯形的概念及判定方法 1. 梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 (1 )等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； (2)直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。 2. 等腰梯形的性质与判定 性质：(1)等腰梯形中，同一底上的两个角相等；(2)等腰梯形的对角线相等； 判定：(

6、1)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(2)对角线相等的梯形是等腰梯形；(3)有两个腰相等的梯形 是等腰梯形。 3. 梯形中常用的辅助线 梯形的辅助线 分割后的图形 图形示意 1.平移一腰 将梯形分割成一个平行四边形和一个 三角形 2.平移两腰 将梯形分割成两个平行四边形和一个 三角形 r zz 1 3.平移对角线 将梯形分割成一个平行四边形和一个 三角形 ZZA : 4作双高 将梯形分割成一个矩形形和一个三角 形 5.延长两腰 将梯形分割成两个三角形 6.连接一顶点和一腰 中占 1八、 将梯形分割成一个三角形 温馨提示：在涉及梯形的题目中，通常要添加辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四

7、边形题，然后再利用这两种 图形的性质解题，所以掌握常用的辅助线对解决梯形问题，至关重要，所以平时要注意搜集或留意辅助线的作法，使 它们变成自己的东西。 中考热点难点突破 例1:如图，菱形 ABCD中, Z B= 60 , AB= 2, E、F分别是 BC CD的中点，连接 AE、EF、AF, 则厶AEF的周长为（ A. 2 一 3 B . 3 3 C . 4 3 D . 3 () 例2:如图，把矩形 ABCD沿EF对折后使两部分重合，若 A. 110 B . 115C . 120 D . 130 、选择题（每题 3分，共30 分） 1. （09年河北）如图，在菱形 ABCD中, AB = 5,

8、Z BCD = 120，则对角线 AC等于（） A. 20 B. 15 C.10 2. （09年广西南宁）如图，将一个长为 10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚 线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ 2 A . 10cm 2 B. 20cm 2 C. 40cm D. 80cm 3. （09年宁波市）如图，菱形 ABCD 中, 对角线 AC、 BD相交于点 O, AD的中点, 连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ A. AOM和厶AON都是等边三角形 B.四边形 MBON和四边形 MODN都是菱形 C .四边形AMON与四边形 ABCD是位似图形 D.

9、四边形 MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D 如图，在菱形 ABCD 4. （09年杭州） 中, C . 50 D . 55 B . 45 5.将矩形纸片 ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF若AB= 3,贝U BC的长为（） A. 7.正方形 C B .2 .帀 D . 10 A.8 则等腰梯形的周长为（？） A . 11 B . 16 C . 17 D . 22 9.如图， 口ABCD的周长是28 cm, ABC的周长是22 cm, 则AC的长为 （） A . 6 cm B.12 cm C. 4 cm D .8 cm 11. cm2 . 12 . 13 . 第11题 （09

10、年南充）如图，等腰梯形 （09年甘肃庆阳）如图，菱形 ABCD的边长为10cm, DE丄AB , DE=6，则这个菱形的面积 C 第13题图 ABCD 中，AD / BC , B 60, AD 4, BC 7 则梯形 ABCD 的周长是 （09白银市）如图，四边形 ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 D. ,3 ABCD勺边长为8, M在DC上，且 DM=2 N是AC上一动点，贝U DN+MN勺最小值为（） 14（ 09年济宁市）在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AD = 3cm, AB= 4cm, / B= 60 ,则下底BC的长为 cm. AC与BD相交于O, E A D

11、 第24题图 25.(本题8分)(09年杭州市)如图，在等腰梯形ABCD 中, 的延长线上，且 DE=CF , AF、BE交于点P. (1) 求证：AF=BE; (2) 请你猜测/ BPF的度数，并证明你的结论. / C=60 AD / BC, 且 AD=DC, E、F 分另U在 AD、DC 三、解答题(共60分) 21.(本题6分)(09肇庆)如图，ABCD是菱形，对角线 ACD 30 BD 6 . (1)求证： ABD是正三角形； (2 )求AC的长(结果可保留根号). 22. ( 09年宜宾)已知：如图，四边形 ABCD是菱形，过 AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长

12、 线于点F. (1)求证：AM=DM ; (2 )若DF=2，求菱形ABCD的周长. 24 .如图：已知在 ABC中，AB AC , D为BC边的中点，过点D作 DE丄AB, DF丄AC，垂足分别为E, F . (1) 求证： BED CFD ； (2) 若 A 90求证：四边形 DFAE是正方形 第26题图 26.如图，在梯形 ABCD 中，AB / CD, BD丄 AD, BC=CD，/ A=60, CD=2cm. (1) 求/ CBD的度数；(2)求下底AB的长. 27.（本题10分）如图， ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点 B重合）, 连结AD，作

13、BE AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF CE，交BD于F .求证：BF FD ； 28.（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60。得到BN连接 求证： AMBA ENB 当M点在何处时，AW CM的值最小； 当M点在何处时，AW BW CM的值最小，并说明理由； 当AW BW CM的最小值为,31时，求正方形的边长. 【答案】解： ABE是等边三角形， BA= BE,/ ABE= 60 . / MBN= 60, / MBN-/ ABN=/ ABE- / ABN即卩/

14、BMAfZ NBE. 又 MB= NB,.A AMBA ENB （ SAS . 当M点落在BD的中点时，AW CM的值最小. 如图，连接 CE当M点位于BD与CE的交点处时， AW BW CM的值最小.9分 理由如下：连接 MN.由知， AMB2A ENB - AM= EN. / MBN= 60, MB= NBBMN是等边三角形 BM= MN/. AW BW CM= EW MW CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN+ MW CM= EC最短 当M点位于BD与 CE的交点处时，AW BM CM的值最小，即等于 EC的长 过E点作EF丄BC交CB的延长线于 F,/ EBM 90 - 60= 3

15、0 . 设正方形的边长为 x，则BF=亠x, EF=-. 2 2 在 Rt EFC中， EF2 + FC=EC,/（ 2 ） 2+（-23x + x）2 =.、3 1解得，x=2（舍去负值）.正方形的边长为.2. 1、在平行四边形 ABCD中，过点C的直线CE丄AB,垂足为E,若/ EAD=53 则/ BCE的度数为( A.53 B.37 C.47 D.127 2、(2011江苏省无锡市，21，8)如图，在口ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且 BE=CF。求证：/ BAE=Z CDF. 3、( 2012浙江省湖州市，20，8分)已知，如图，在 BC于点E。 (1) 说明 DC

16、EFBE的理由； (2) 若EC=3，求AD的长。 ABCD中，点F在AB的延长线上，且 BF=AB，连接FD交 4、如图，四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点 0,且 BD 平分 AC，若 BD=8，AC=6，/ BOC=120 ，则四边 形ABCD的面积为 .(结果保留根号) 6cm,射线AG / BC，点E从点A出发沿射线 AG以1cm/ s的 5、(2013河南省)如图，在等边三角形 ABC中，BC 速度运动，同时点 F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为 t(s) (1)连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：VADE VCDF 证明: (2)填空：当为

17、 s时，四边形 ACFE是菱形; 6、（ 2013?宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线， 这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形. （1）如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , / BAD=120 / C=75 BD平分/ABC .证：BD是梯形 ABCD的和谐线; （2）四边形 ABCD中，AB=AD=BC , / BAD=90 AC是四边形 ABCD的和谐线，求 / BCD的度 数. 解答：（3） / AC是四边形ABCD的和谐线， ACD是等腰三角形. AB=AD=BC，如图 4,当 AD=AC 时， AB=AC=BC , / ACD= / ADC ABC 是正三角形， / BAC= / BCA=60 / Z BAD=90 / CAD=30 Z ACD= Z ADC=75 Z BCD=60 +75=135. 如图 5，当 AD=CD 时， AB=AD=BC=CD . / Z BAD=