数学物理方法知识点归纳

1、 标准实用u u v v第一章 复述和复变函数1.5 连续(i)、 、 不仅存在而且连续。x x yy(ii)c-r 条件在该点成立。1.8 解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数： u u(x)若函数 f在z 的领域内（包括 z 本身）00( )f z( )，已经单值确定，并且 lim=f z0zz0则称 f(z)在z 点连续。022+=01.6 导数xy22若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足 cr 条件。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导

2、数存在的条件u u v v(i)、x 、x y在点不仅存在而且y当知道 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的 u(x,y)时，如何求 v(x,y)?连续。(ii)c-r 条 件 在该 点成立 。 c-r 条件 为通过 cr 条件列微分方程u(x, y) v(x, y)=xv(x, y)y第二章 复变函数的积分u(x, y)y= - 2.2 解析函数的积分x1.7 解析柯西定理：若函数 f(z)在单连区域 d 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数 f(z)=u+iv 在点 z 的u u

3、v v公共端点 a 与 b 的那些曲线来讲，积分b f(z)dz的值均相等。a领域内(i)、x 、x y存在。柯西定理推论：若函数 f(z)在单连区域 d 内y(ii)c-r 条件在该点成立。解析，则它沿 d 内任一围线的积分都等于解析的充分条件：函数 f(z)=u+iv 在领域内文案大全 标准实用零。 ( ) = 0f z dz(ii)由它们的 m 阶导数组成的级数c二连区域的柯西定理：若 f(z)在二连区域 d ( ) (z)在区域内也收敛，而且它们的和mkuk=0解析，边界连续，则 f(z)沿外境界线(逆时针等于 f (z)。(m)方向)的积分等于 f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分

4、。3.3 幂级数阿贝尔(abel)定理：如果幂级数n+1 连区域柯西定理：c (z - a) 在点 z0处收敛，则在任一圆kf (z)dz = f (z)dz +f (z)dz +.+f (z)dzkk=0gegi1gi2gin推论：在 f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。|z-a|=p|z -a|，0p1 内，幂级数一致收0敛，并且绝对收敛。2.3 柯西公式达朗贝尔(dalembert)判别法:对于幂级| c (z - a) |若 f(z)在单连有界区域 d 内解析，在闭区域d 的边界连续，则对于区域 d 的任何一个k+1数，计算下列极限limk+1| c (z - a) |k

5、kk(i)当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对收敛(ii)当极限值大于 1 时，幂级数在点 z处发散(iii)当极限值等于 1 时，敛散性不能判断。1 f (z)g其中 是内点 a，有 ( ) =f adz2 i z - apg境界线。2.5 柯西导数公式n! f (x)柯西判别法：计算极限lim | ( - ) |c z ak(z) =dxkfn( )k2pi (x - z)kn+1c当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对收敛;而当极限值大于 1 时，幂级数在点 z 处发散；极限值等于 1 时，不能判断3.4 解析函数与幂级数第三章 级数3.2 复变函数项级数外尔斯特拉斯定理：

6、如果级数( )u z 在境kk=0g界 上一致收敛，那么定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为 f(z)文案大全 标准实用( ) (a)n3.9 奇点分类ftaylor 级数： ( ) = f zz a( - )nn!n=0z2zne = 1+ z + + .+ .z2!n!不含负幂项z3z5z2n+1sin z = z - + -.+ (-1)+ .+ .n3! 5!(2n +1) !极点limf(z)=含有限个负幂项z2z4z2ncos z =1+ . + .2! 4!(2n)!z2z3zn+1本性奇点limf(z)=无定值含无限个负幂项ln(1+ z

7、) = z - + -.+ (-1)n23n +13.5 解析函数与双边幂级数无穷远点 极限性质可去奇点 limf(z)=有限值洛朗级数定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析不含正幂项函数。环形区域内的解析函数可展成双边幂级数极点limf(z)=含有限个正幂f (z) =c z a( - )kk项k=-1f (x)xd本性奇点 limf(z)=无定值含无限个正幂项c =k称为 laurant 系数2pi (x - a)g3.8 孤立奇点第四章 留数非孤立奇点：若函数 f(z)在 z=a 点的无论多么小的领域内，总有除 z=a 以外的奇点，则 z=a 是 f(z)的非孤立奇点。孤立奇点：若函数在

8、 z=a 不可导(或无定义)，而在去心领域 0|z-a|解析，则 z=a 是 f(z)的一个孤立奇点。4.1 柯西公式的另一种形式一阶极点留数：若 g(z)在单连区域 d 内解析，a 在 d 内，在 d 内作一环绕点 a 的围线 c。令 f(z)=g(z)/(z-a)则有：文案大全 标准实用f (z)dz = 2 i re sf (a)2pp(cosj,sinj) jd 型积分第一种类型：r0cre sf (a) = lim(z - a) f (z)令 = jz ei= /dj dz izza11cos = (z + z ) sin = (z - z )一阶极点留数的一种算法:jj-1-122

9、2pj jf( )f( )j(cos , sin )d =f (z)dz =zar如果 ( ) =f zf ares ( ) =那么y( )y( )0|z|=1za在单位圆内各个奇点的留数之和f x dx 型积分( )第二种类型：m 阶极点的留数公式-lim ( ) 0注意，需要满足条件=1d(z - a) f (z)|zf zm-1re sf (a) =mz(m -1) ! dzm-1z=af (x)dx = 2pi在上半平面的奇点留数之4.2 用级数分析来分析留数定理-和 （界限上的乘以 0.5）f (z) =c (z - a)kkk=-第三种类型： ( )f x e dx 型积分imx则

10、有 res ( ) =f a c-1-lim ( ) 0注意需要符合条件=f z多连区域的柯西定理:如果在围线 c 的内部z包含 n 个孤立奇点，利用多连区域的柯西定 f(x)e dx = 2 if(z)e 在上半平面的pimzimx-f z dzn理就有 ( ) = 2pisf are ( )奇点留数之和kk=1c4.3 无限远点的留数4.7 围线积分方法1re sf () = -f (z)dz = -c1p2 ip泊松积分： e cosbxdx=-1-ax2e-b2 / 4a2 a0定理 1：如果当 z时，若 zf(z)0,则菲涅尔积分：resf()=01 sinpcosxdx=xdx=2

11、2resf(a ) re ( ) 02 2n定理 2：+ =00sfkk=1第六章 积分变换6.1 傅里叶级数4.4 留数定理计算型积分文案大全 标准实用三角函数系的正交性2周期-展开定理：f(k) = f f (x)f (x) = f f (k)-16.3 傅立叶变换线性定理f (x) = c + (c cosmx + d sin mx)0mmm=11p (x) x-pf c f + c f = c f f + c f f c =f d2p01 12211221p (x) cos x xc =fm d导数定理p1m-pp-pm df (x) sin x xf f x ( ) = ( )ikf

12、 f xd =pm任意周期 2l-展开定理：d f (x)nf = (ik) f f (x)ndxnppf (x) = c + (c cosm x + d sin m x)积分定理0mlmlm=111lc =f(x)dxf f (x)dx = f f (x)x2l1ik0-lx0mpcf (x) cosx xd延迟定理=lllm-l1mpd=f (x) sinx xdf f x - x = e f f (x) ()l-ikx0ll0相似定理1 km-l6.2 傅立叶积分f (x) = c(k)coskx + d(k) sin kxdkf f ax ( ) =f( )a a01p1卷积定理c(k

13、) =f (x)coskxdxf (x) sin kxdx- f (x) ( -x) x = 2p ( ) ( )ff x d f k f kd(k) =1212p-6.4 拉普拉斯变幻c(k)是偶函数，d(k)是奇函数f ( )p =f( )t e dt- pt0傅里叶公式f( )注意当 t0 时， t =0f k12 ( )c k id k( )令 ( ) -f ( )f ( ) f( ) f( )p p =l t t =l-1则 f (x) =f (k)e dkikx-f( )f ( )t p1f (k) =f e x d(x)xik2p-线性性质：文案大全 标准实用f ( ) f (

14、) f ( ) f ( )a t + b t = a p + b pf ( )pdn(-t) f(t) 1212ndpn导数的象函数：积分公式：f( )d tf ( ) f(0) p p -f( ) tdtf ( ) =p dpdtt00f( )d tnf ( )p - pf(0)n-1f(0) -.-f (0) p- pnn-2n-1dtn积分的象函数第八章 数学物理方程的导出f ( )p ( , )22f( ) t t dt 0=a2pt2n!u=弦的横向位移t npn+12t象函数的位移定理：f =张力tf( ) f (e t p - aat)由此可得=单位长度弦的质量u=弦的纵向位移p

15、 - ae cos t wat( p - a) +w22弦的纵振动方程we sin t wat( p - a) +w22e=杨氏模量p - awe ch t at2( p - a) -w2=单位长度弦的质量wwe sh t （用来求逆变换）at2( p - a) -w2vr22延迟函数的象函数扩散方程u=离子浓度，a =d2f( ) ( ) f ( )t h t pd=扩散系数f( t) ( t)f ( )t - h t - e- ptp热传导方程u=温度，a =k/c2卷积定理k=导热系数，=质量密度c=比热容lf (t)f ( t) t f ( ) f ( )t-d=l t l tt121

16、20象函数的导数文案大全 标准实用v u(r,t)r定解问题 ( , ) ( , )22u x t2u x t= a u(r,t)=a222ttx222u| =f(x),u | =y(x)000分离 u(x,t) = x (x)t(t)0变量e 电场强度 b 磁场强度解本证方程pn2ln稳恒状态扩散方程稳恒状态传导方程静电场方程npxxnl解非本征方程定解的通解为nu=静电势npanpat(t) =t (t) =c cos t +d sin tllnnn线性算符与解的叠加初始条件nnn=1问题 pn(c cos t +d sin t)sin xr(r,t) | = （已知函数）ulllnnn=

17、1的解由初sinxnn=1始条件和rp波动方程uxr=0llt tnu(r, t)n=1| = （已知函数）y2tt=0f(x) sin x x=ld傅里 culln=已知函数0+边界条件 ab u2nsy(x) sin x x=ld叶级 dln0第九章 本征函数法数确文案大全 标准实用1f(x) x定系数件和 c =ld00npf(x) cos x xldlln0叶级数确定系数热传导方程第二类边值问题定解问题22t( ) + ( ) = 0x x l x x本征值和本征函数系u | = 0,u | = 0xx=0u(x,0) =f (x)本征函数系分离 u(x,t) = x (x)t(t)p

18、nx(0)=x(l)=0sin=x变量22lnpxncos解本证方程xllnx11n p( + )pnpn22l =n sin2本征值 = =x2lllnnp第一类边界条件齐次化的一般方法(x) = x (x) = cos x本征函数xnl(0,t) = m (t)u1解非本征方程定解问题的解由初始条( , ) = m ( )的通解为u l ttn2an 2lu(x,t) = v(x,t) + m (t) +nn齐次化方法1m (t) - m (t)210anlxlnn=1非齐次方程按本征函数系展开的解法22txcosx220nl问题n=1文案大全 标准实用系数的递推公式，从而求出方程的解x=

19、0t=0本征函数非齐次项按本征函数展开npxnm2y = 022lnn=1d2ydy2npx2f(t) =f (x,t) sindxdx2lln0001 1l(l +1)(l -2)l(l +1) (l +3)y (x) =1-x+x242!4!0k定解问题试解np2klnn=1ll23!5!t (tkn2lnn/(2k +1) !+.1)的n t=0n t=0系数递推关系p ( -t)n a tl(t) =f (t) sinndt确定 t tpn aln0c =c第十章 勒让德多项式微分方程的幂级数解法二阶齐次线性常微分方程n+2( + 2)( +1)nnn勒让德多项式对 y (x)或 y

20、(x)乘以适当常数，使得 x 的最l01d2y(z)dy(z)(2l)!+ p(z)+ q(z)y(z) = 0高项系数为c =时的多项式称为勒dz2dz2 (l!)2ll让德多项式，此时相应的 c为将试解 ( ) = y z( - )c z z代入方程，求kl-2nk0k=0文案大全 标准实用ddy(2l - 2n)!2(1- x ) + l(l +1)y = 0dx dxc = (-1)nn!2 (l - n)!(l - 2n)!l-2nl权函数：w(x)=1kmxkl-2k1p (x)p (x)dx = 0,l kl正交性： lk=0k-1l221=nll-11 dl+1( ) ( )f

21、 x p x dxl2 l! dxl( ) =f x2llll-1l=0(cosq)v = g p(cosq),lll=01 1 (x -1)2ldxg =ld2pi 2 (x - z)ll+12cl0定积分表达式1p+ icosq sinq cosj jd母函数lp0性质r p (cos r 1lpl+1 r=0l(2 )!n2n1l=l=0 1 2r 1+lll=0l| p (cos ) |1ql递推公式勒让德方程的本征方程刘维尔方程( )=(n+1)0-(2n+1)x+nnddyk(x) - q(x)y - w(x)y = 0( )p (x) = p x -2x p x + p (x)nn+1nn-1勒让德方程 ( ) ( )( )np x =x p x +(n+1) p xn+1n文案大全 标准实用k ( )( )- p x =n p xxj2nn-1nmk=0 ( ) ( )( )p x - p x =(2n+1)