初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

1、v1.0可编辑可修改 (2) 个点在内侧，一个点在外侧: m n 初中几何中线段和(差)的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：(对称轴为：动点所在的直线上) 一) 、已知两个定点： 1、在一条直线 m上，求一点 P,使PA+PB最小; (1 )点A B在直线m两侧: (2)点A B在直线同侧： A 4 B : m A A是关于直线m的对称点。 2、在直线 m n上分别找两点 P、Q,使PA+PQ+Q最小。 (1 )两个点都在直线外侧： n 22 （3）两个点都在内侧: : n A * B （4 ）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求

2、点D、E点，使得 围成的四边形ADEB周长最短. 填空：最短周长= 变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m n分别上求点P、Q点PA+PQ+Q周长最短. A 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B在直线n上运动，在直线 m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B） 1、两点在直线两侧： m :m ?A 2、两点在直线同侧: m （二）动点在圆上运动 点B在O O上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B） 1、点与圆在直线两侧: 2、点与圆在直线同侧: A 三）、已知A B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，

3、且PQ间长度恒定， 在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。（原理用平移知识解） （1 ）点A、B在直线m两侧: Ao A- 过A点作AC/ m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P 点，此时P、Q即为所求的点。 （2）点A B在直线m同侧： B 练习题 1.如图，/ AOB45。，P是/ AOB一点，P（=10, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR 周长的最小值为 2、 如图1,在锐角三角形 ABC中，AB=4拒，/ BAC=45，/ BAC的平分线交 BC于点D, M,N分别是 AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为 . 3、 如

4、图，在锐角三角形 ABC中，AB=5j2，/ BAC=45 BAC的平分线交 BC于D, M N分别 是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值是多少 4、如图4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC边上 的中 的最 5、如图 3,在直角梯形 ABCD中，/ ABC= 90, AD/ BC, AD= 4, AB= 5, BC= 6, 点P是AB 线,M是AD上的动点，E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM 小值为 上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为 / P B C 6、 如图4,等腰梯形 ABCD中, AB=AD=CD=1 / ABC=60 , P是上底，下底中点 EF直线

5、上 的一点，贝H PA+PB的最小值为 . 7、如图5菱形ABCD中, AB=2,Z BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点， 则PE+PB的最小值为. 8、如图，菱形ABC啲两条对角线分别长6和8,点P是对角线ACh的一个动点，点 M N分别是 边AB、BC的中点，贝U PM+PI的最小值是 9、如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁到达蜂蜜的 最短距离为cm. 10、如图，菱形 ABCD中，AB=2, / A=120 , 点P, Q, K分别

6、为线段BC, CD, BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 11、如图，正方形 ABC啲边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.则 PBPE的最小 12、如图6所示，已知正方形 ABCD的边长为8,点M在DC上，且 DM=2 N是AC上的一 个动点，贝H DN+MN勺最小值为 13、如图，正方形 ABCD的边长是2，/ DAC的平分线交 DC于点E,若点P、Q分别是AD和 AE上的动点，贝U DQ+PQ勺最小值为 . 14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点 P为对角线 AC上一 动点，连接PB PQ则厶PBQ周长的最小值 为 cm.（结果不取近似值）.

7、 15、如图，O O的半径为2,点A B C在O O上，OAL OB / AOC60。，P是OB上一动点, 则PA+PC的最小值是 16、如图8, MN是半径为1的O O的直径，点 A在O O上，/ AMN= 30 , B为AN弧的中点， P是直径MN上一动点，则 PA+ PB的最小值为() (A)2、(B)(C)1(D)2 解答题 丄古 1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数 y=-： ( kz 0)在第一象限的图象交于 A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为 M已知三角形 OAM勺面积为1. (1) 求反比例函数的解析式； (2) 如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点 B与点A不

8、重合)，且B点的横 坐标为1，在x轴上求一点 P,使PA+PB最小. 、-, 2 2 2、如 图，一元二次方程x +2x-3=0 的二根xi, X2 ( xiv X2 )是抛物线y=ax +bx+c 与x轴的两个交点B, C的横坐标，且此抛物线过点A ( 3 , 6). (1) 求此二次函数的解析式； (2) 设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标； (3) 在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标. 3、如图10,在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(1 , ), AOB的面积是. (1) 求点B的坐标； (2) 求过点A O B的抛物线的解析式；

9、(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C的 坐标；若不存在，请说明理由； 。，使厶AOC的周长最小若存在，求出点 318 4. 如图，抛物线 y = x2 x+ 3和y轴的交点为A, M为0A的中点，若有一动点 P,自M 55 点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的 某点（设为点F），最后又沿直线运动到点 A,求使点P运动的总路程最短的点 E，点F的坐 标，并求出这个最短路程的长. 5. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形 OABC勺边0A在 y轴的正半轴上，0C在 x轴的正半轴上，OA=AB=2,003,过点B作BDL BC,

10、交0A于点D.将/ DBC绕点B按顺时 针方向旋转，角的两边分别交 y轴的正半轴、x轴的正半轴于点 E和F. （1）求经过A B C三点的抛物线的解析式； （2） 当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF的长； （3） 在抛物线的对称轴上取两点P、Q （点Q在点P的上方），且PQ= 1,要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P Q两点的坐标. 6 .如图，已知平面直角坐标系，A B两点的坐标分别为 A(2 , - 3), B(4 , - 1 )若q a, 0), Qa+3, 0)是x轴上的两个动点，则当 a为何值时，四边形 ABDC勺周长最短. 7、如图11,在平面直角坐标系中，矩形 二三

11、的顶点O在坐标原点，顶点 A B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3 OB=4 D为边OB的中点. (1) 若E为边OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标； (2) 若E、F为边OA上的两个动点，且 EF=2,当四边形 CDE啲周长最小时，求点 E、 F的坐标. 、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析 1、在一条直线 m上，求一点 P,使PA与PB的差最大; (1 )点A B在直线m同侧: m 解析：延长 AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P A- P Bv AB,而PA PB=AB此时最大，因此点 P为所求的点。 (2)点A

12、 B在直线m异侧： A * m B 解析：过B作关于直线 m的对称点B,连接AB交点直线 m于P,此时PB=PB , PA-PB最 大值为AB 练习题 1 2 1.如图，抛物线y= 4X x + 2的顶点为A,与y轴交于点B. (1) 求点A、点B的坐标； 若点P是x轴上任意一点，求证：PA- PBc AB 当PA- PB最大时，求点 P的坐标. 2. 如图，已知直线y = lx + 1与y轴交于点A,与x轴交于点D, 2 2 抛物线y =丄x + bx+ c与直线交于 A E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1 , 2 0). (1 )求该抛物线的解析式; (3)在抛物线的对称轴上找

13、一点 M使| AM M(C的值最大，求出点 M的坐标. 3、在直角坐标系中，点 A、B的坐标分别为(一4， 1 )和(一2, 5);点P是y轴上的 一个动点，点 P在何处时，PA+ PB的和为最小并求最小值。 点P在何处时，1 PA PBI最大并求最大值。 4. 如图，直线y = 3x + 2与x轴交于点C,与y轴交于点B,点A为y轴正半轴上的一 点，O A经过点B和点O直线BC交O A于点D. (1) 求点D的坐标； (2 )过O C, D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PO与 PD之 差的值最大若存在，请求出这个最大值和点P的坐标若不存在，请说明理由. 5、抛物线的解

14、析式为y x2 2x 3，交x轴与A与B,交y轴于C, 在其对称轴上是否存在一点 P,使APC周长最小，若存在，求其坐标。 在其对称轴上是否存在一点 Q使I QB-QCI的值最大，若存在求其坐标。 6、已知：如图，把矩形 OCBA放置于直角坐标系中，0C=3 BC=2取AB的中点M连接MC 把厶MBC沿x轴的负方向平移 0C的长度后得到 DAO (1) 试直接写出点D的坐标； (2) 已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P作PQLx轴于点 Q连接0P 若以O P、Q为顶点的三角形与 DAO相似，试求出点 P的坐标； 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,

15、使得|TO-TB|的值最大 7、如图，已知抛物线 Ci的解析式为y=-x2+2x+8,图象与y轴交于D点，并且顶点 A在双曲 线上. （1 ）求过顶点A的双曲线解析式； （2）若开口向上的抛物线C与Ci的形状、大小完全相同，并且C的顶点P始终在C1上， 证明：抛物线 C2一定经过A点； （3）设（2）中的抛物线 C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于 E点，当D O E、F四点组成的四边形的面积为时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M,使|MD-MP| 的值最大. 4耳 8、如图，已知抛物釦我+取+c经过A(3 , 0) , B(0 , 4), (1) .求此抛物线解析式 (2)

16、 若抛物线与x轴的另一交点为 C,求点C关于直线AB的对称点C的坐标 (3) 若点D是第二象限内点，以 D为圆心的圆分别与 x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、 H,问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得|P+ PA的值最大若存在，求出该最 大值；若不存在，请说明理由。 三、其它非基本图形类线段和差最值问题 1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其 他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。 2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。 3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端

17、点，根据两点之间线段 最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。 1、如图，在 ABC中，/ C=90 , AG4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上，当点 A在x 轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 () A.2.22 B . 2.5 C。2 6 D .6 2、已知：在厶ABC中, BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 ABD.探究下列问题： (1)如图1，当点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，a=b=3,且/ ACB=60，则 CD=; (2) 如图 2，当点 D与点 C位于直线 AB的同侧时，a=b=6,且/ ACB=90，则 v1.

18、0可编辑可修改 CD= (3) 如图3,当/ ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相 应的/ ACB的度数. B 图1图2备图 23 3、在 Rt ABC中, / ACE=90, tan / BAC- 点 D在边 AC上 (不与 A, C重合)，连结 BD 2 F为BD中点 (1) 若过点D作DEL AB于E连结CF EF CE如图1.设CF kEF ,则k=; (2) 若将图1中的 ADE绕点A旋转，使得 D E、B三点共线，点 F仍为BD中点，女口 图2所示.求证：BEDE=2CF (3) 若BG6,点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点, 求线段CF长度的最大值. v1.0可编辑可修改 4、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意 一点，将 BM绕点B逆时针旋转 60