整式的乘法和因式分解知识点汇总

1、 word 格式整理版一知识点 （重点）1幂的运算性质：m n m na a am n（ 、 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加2例：(2a) (3a )2amnam nm n（ 、 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘5 5例：(a )3ab n an bnn（ 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积2 3例：(a b)练习：（1）322xx y（ ）23ab 2a5 23ab ( 4b )（3）135 22 2（4）yz 2 y2 z 2（5）(2x 2 y) 3 ( 4 xy2 )a b 6a b c ( ac )（ ）63an aam（ ， 、 都是正整数，且 ）a 0 m n

2、 m n同底数幂相除，底数不变，指数相减m n482452（1）x xa（3）（a b） （ab）例：（2） a755 2（4）（- a） （- a）（5 ） (-b) (-b)5零指数幂的概念：0a 1（ a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 la, b若01 成立，则满足什么条件？学习指导参考 word 格式整理版6负指数幂的概念：1pap a （ ， 是正整数）a 0 p任何一个不等于零的数的 p（ p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数ppnmm n也可表示为：（m0，n0，p 为正整数）7单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只

3、在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式例：（1）13（ ） 122332423ab2abcabc2(mn)( 2m n)8单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘， 用单项式和多项式的每一项分别相乘， 再把所得的积相加212( ab 2ab) ab例： 2(53 )（ ）2（1）ab22aba b32(-5 2 ) (2 3m n n m n（3）（ 4）)222 32( x yz xy z ) xyz9多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加( 2 xy )( x y )（1 x）(0.6 x)例

4、：（1）2（ 2）（3）（ 2m n)练习：1331计算 2x (2xy)( xy) 的结果是22(310 )(410 )84学习指导参考 word 格式整理版3n23若 n 为正整数，且 x 3，则 (3x )的值为nm 39154如果 (a b ab ) a bmn，那么的值是235 a (2a a)1226(4x 6x8)( x )2272n(13mn )8若 k(2k 5)2k(1 k)32，则 k29(3x )(2x3y)(2x 5y) 3y(4x5y)122310在 (ax bx 3)(x x8)的结果中不含 x 和 x 项，则 a， b211一个长方体的长为 (a 4)cm，宽为

5、 (a 3)cm，高为 (a 5)cm，则它的表面积为，体积为。12一个长方形的长是 10cm，宽比长少 6cm，则它的面积是，若将长方形的长和都扩大了 2cm，则面积增大了。10单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式4 235 342 324 3例：（ 1） 28x y 7x y（ 2） -5a b c15a b（3）（2x y） （-7xy ） 14x y11多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加例：32 232(1) (3x y 6xy)

6、 6xy (2) (5a b 10a b 15ab ) ( 5ab)练习：1计算：（1） 3（ ） 2x y17；4 2 32 2232237yy（3）16 ab 4 a b （4） 4 x3 y2 n22xyn62学习指导参考 word 格式整理版（5） 4 1092 1032计算：13x y12（1）16x3 y3；xy23221323（2） x y2x y1xy252522a b52（3）a b2a b1425n 1 2nn n3计算：（1） 4 x y x y54 6 y x 3 xy 2；2（2） 16 a b 6 a b5a b 3 a b4. 若 (ax3 123则2n68my

7、) (3xy )=4x y ,a = , m = ,=;易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错。12乘法公式：学习指导参考 word 格式整理版222完全平方公式：（ab） a 2abb文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍例 1：（1）(7+6x)(7-6x) ； （2）(3y x)(x-3y) ； 3 (-m 2n)(-m-2n)（ ） (1) (x+6)(2) (y-5)(3) (-2x+5)例 2：

8、222练习：3x( x y ) 2( x y) ( xy ) _。43。、5a23 22232a1=_4 33 43 23 26a b 12a b 8a b 2a b2、3、（_）x2 _ 9 y2 ( x _)2 x2 2x 35 (x 7)；（ _）1x1x125x3，那么xx=_ 。4、已知=_ ；3x9x2 mxy 16y25、若是一个完全平方式，那么 m的值是_。x3 x2 , x2 2x 1, x2 x 26、多项式_的公因式是。x387、因式分解：8、因式分解：_。27224m 2mn 1 n4_。0.131 8 0.004 8 0.002 89、计算：_ 。x2 y 2 x y

9、 ( x y)a，则 =_a10、易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。学习指导参考 word 格式整理版13因式分解（难点）因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解掌握其定义应注意以下几点：式，这三个要素缺一不可；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系因式分解与整式乘法是互逆变形， 因式分解是把和差化为积的形式， 而整式乘法是把积化为和差的形式二、熟练掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式， 公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的

10、最大公约数； 字母 各项含有的相同字母； 指数 相同字母的最低次数；（4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底” ；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的（1）3 233 52 475x y 35 x y（2）2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：学习指导参考 word 格式整理版2 2a b （ab）（ a b）222完全平方公式： a 2abb （ a b）222a 2abb （ a b）例：（1）22222 9( a b) 6(b a) 1ab 0.25c（ 3）（ ）4 2222 222a

11、 x 4a x y 4x y4 ( x y) 12( x y) z 36z练习：1、若 x 2 2(m 3) x 16是完全平方式，则 的值等于m_。2、 x2 x m ( xn) 2 则 m =_ n =_3、 2x 3 y2 与 12x 6 y 的公因式是4、若 x m yn = ( x y 2 )( x y2 )( x 2 y4 )，则m=_ n=_，。5、在多项式 m2 n 2 , a 2 b2 , x4 4 y 2 , 4s2 9t 4中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、若 x 2 2( m 3) x 16 是完全平方式，则 m=_。7、 x2 (_)x 2 (

12、x 2)( x _)8、已知 1 x x2x2004 x 2005 0, 则 x 2006 _.学习指导参考 word 格式整理版9、若 16(a b)2 m 25 是完全平方式 m=_。23)11、若 9x 2 k y2 是完全平方式，则 k=_。12、若 2x 4x 4的值为 0，则 23x 12 x 的值是 _。513、若 x 2 ax 15 ( x 1)( x15) 则 a =_。14、若 x y 4, x2 y2 6 则 _xy。15、方程 2x 4x 0 ，的解是_。易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；分解因式不彻底。学习指导参考 word 格式整理版中考考

13、点解读：整式的乘除是初中数学的基础 ,是中考的一个重点内容 .其考点主要涉及以下几个方面：考点 1、幂的有关运算例 1（ 2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（）3 26(a2 )3 a 5a a a（ a ）（ c）（b ）（d ）84(ab2 ) 2 a2b4a a a2分析 :幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.幂的运算是整式乘除运算的基础a3 232a5，所以（ a ）错；根据幂的乘a a解：根据同底数幂的乘法运算法则知(a 2 ) 3a6，所以（ ）错；根据同底数幂的除法法则知ab方运算法

14、则知2 3a8 2826a aa，所以（ c）错；故选（ d） .mn3m 2 n10 2 10 3 10例 2.（ 2009 年齐齐哈尔）已知分析:本题主要考查幂的，则_运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则m na a am n,将指数相加化为幂相乘的形式 , 再逆用幂的乘方的法则(am )namn,将指数相乘转化为幂的乘方的形式 ,然后代入求值即可 .3m 2 n3m2 nm3n 23210 10 (10 ) 10 ） 2 3 7210（.解：考点 2、整式的乘法运算例3（ 2009 年贺州）计算： ( 2 a ) ( 1 a 3 1) =4分析 :本题主要考查单项式与多项式的乘

15、法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与,注意符号的变化 .单项式的乘法运算11a33( 2a) ( a1) ( 2a) a1解：( 2a) 12a.4442考点 3、乘法公式2x 3)计算：x 1 x 2例 4. (2009 年山西省分析 :运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.学习指导参考 word 格式整理版2x2 6x 9 ( x2 2x x 2)x 3x 1 x 2=解：22x 6x 9 x2x x 2 9x 7=.3aab 1(a 2)(b 2)的结果是例 5.(2009 年宁夏 )已知：，化简b2分析 :本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行

16、计算 ,然后灵活变形，a b ab使其出现（）与 ，以便求值 .34 2 .=解：2考点 4、利用整式运算求代数式的值(ab) 2a22年 长 沙 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ：b)(a b) (a例 6 （ 2009， 其 中1a 3， b3分析 :本题是一道综合计算题 ,主要在于乘法公式的应用 .( a22b)(a b)(a b) 2a解：22222a b a 2ab b 2a2ab113.a 3 b，2ab 2 3当时，23考点 5、整式的除法运算例 7. (2009 年厦门 )计算： (2 x y)(2x y) y(y 6x) 2x分析 :本题的一道综合计算题 ,首先要先算中括号内

17、的 ,注意乘法公式的使用 ,然后再进行整式的除法运算 .解： (2x y)( 2x y) y(y 6x) 2x22 2 (4x y y 6xy) 2x2 (4x 6xy) 2x2x 3y.考点 6、定义新运算a b a2 b2例 8.（ 2009 年定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方x 24程（ 4 3）的解a b a b22分析 :本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式可知，在本题中“ ”定义的是平方差运算，即用“”前边的数的平方减去 “ ”后边的数的平方 .学习指导参考 word 格式整理版22222x2a b a b(4 3) x (43 ) x 7 x 7解：，

18、 2227 x 24x 25 x5考点 7、乘法公式例 （3 1）(2009 年白银市 ) 当(x y)(x y) y2x 3、 y 1时，代数式的值是222 2 2 22.原式 =x - y +y = x = 3 =9.问题（2）(a b) 2 a 2 2ab b 2，考查了完全平方公式的变形应用，) 2 2 32 2 2 5( a b a bab22.说明： 乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质， 把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.考点 8、因式分解xy2 9x例 4（1） (2009 年本溪市 ) 分解因式：（2） (2009 年锦州市 ) 分解因式： a b-2ab +b =_.223解析： 因式分解的一般步骤是： 若多项式的各项有公因式，就先提公因式，下因式的特征， 如果剩下的因式是二项式， 则尝试运用平方差公式； 如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解然后观察剩.xy2 9x2x( y 3)( y（1）x ( y -9)=3)22 3222（2） a b