将矩阵化为约当标准型

1、 补充: si 1 1 1 1 1 si PAP 1 P si A P 1 p adj s| A p i det si A (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) (s 1)2 p1 (s 1)2(s 2) (s 1)(s 2) (s 1) pi A的特征多项式det( I A) (1)2(2)有两重根 1和单特征值32，凡是在adj si A中的公因子则必然和 det si A可以相消。 经过线性变换后，系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式, 特别指出，如果n n维矩阵A由下式给出 0 1 0 0 1 A 0 0 0 1 0 1 2 n 1 并且其特征值1, 2, n互异，作非奇异

2、线性变换X P，则化A为对 角线标准型矩阵 P 1AP 其中，P为范德蒙德（Vandermond矩阵。即 1 1 1 1 补充： 设约当块数为q和q个mi （约当块的阶数） 。A矩阵惟一决定的约当型矩 阵式 J1 J Jq 设变换矩阵P与J具有同样阶数组的分块矩阵型 令 P P1 P2Pq 即，Pi是n mi阶矩阵 AP PJ J1 A P1P2 Pq P1 P2 Pq J2 Jq 根据分块矩阵的乘法规则，有 AP1 AP2Apq P1J1 P2J2 PqJq 上式实际上是q个等式，即Apj PiJi,j 1,2, ,q 将n mi阶矩阵Q写成列向量形式，于是有 PPi1Pi2 Pimq A

3、Pi1Pi 2Pimi Pi1Pi 2 即 Pimi Api1i Pi1 APi2Pi1i Pi2 APmi Pm 1 i Pm 也可写成 (iIA)Pi10 (iIA) Pi2Pi1 (i 1A) PimiPimi 1 顺序解以上方程组就可以确定 pi的mi个列向量。这些列向量中只有 第一个Pi1是对应于i的特征向量，而其余的mi1个向量Pi2,，Pimi,称 之为对应特征值i的广义特征向量，可由上式递推解出 设矩阵A的重特征值为1，代入式(il A)Pi1 0中，即由 (11A)Pn 0 可求出A的对应于1的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数，就 是该特征值对应的约当块数，或表示

4、为 11 n rank 11 A 降秩数11就是对应1的线性无关特征向量个数，或者是对应1的约当块块数。 换句话说，矩阵A的特征值分组1, 2, q中，有12a11。 将式 中计算P12的式子， (11 A) P12P11 两端同时乘以(J A) , ( 1I A)2p12( 1I A)p11 0 2 该方程线性无关的解的个数是n rank 1I A，但这个数目中包括pn的个数, 即11。所以，解出线性无关的列向量P12的个数， 2 12 rank 11 A rank 11 A 也就是对应1的大于或等于2阶约当块的块数。 例将已知矩阵A化为约当型 2i10 021 002 1 2 1 2 A

5、3 2 解：先求A的特征多项式，因为A矩阵是对角分块矩阵，所以特征多 项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积，即 (sI A) (SI3 A) (sj A)(sh A3)(s 2)6 将特征值 2代入式.1 n rankA ，求约当型中的约当块数。 0 1 0 0 0 1 0 0 0 11 n rank 2I A 6 rank1=6-3=3 1 2 2 1 0 由此，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。 2 然后，将 2代入12 rank 1I A rank 1I A求出约当型中大于等于2 阶的块数 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 123 rank 2I A 3 rank3 12 12

6、 0 0 0 0 0 所以，由A矩阵化成的约当型将有一个1阶块，两个大于或等于2阶的块。 再将将 2代入.13 rank 11 A2 rank 11 A 3，求出约当型中大于等 于 3 阶的块数 |13 1 rank 2I A3 1 0 1 所以，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块，其中一个1阶块，一个2阶块, 一个3阶块，即 2 1 0 0 2 1 1 0 J P 1AP 0 2 2 1 0 2 2 设i是系统的一个特征值，若存在一个 n维非零向量pi，满足 APiiPi 或 (il A) Pi 0 则称Pi为系统相对于特征值i的特征向量。 例如：系统矩阵为 0 1 A 23 试求其特征值和一组特征向量。 解：由系统的特征方程 系统的特征值为 11, 22 设对于特征值 2的特征向量 Pl, P2分别为 P11 P21 P12 P2 P22 (il A) Pi 0(i 1,2) 得到（ 1l a)Pi 1 2 (21 a)P2 2 2 1, 1 P2 1 0 1 2 则有P11P12 Pl p21 P22 P110 P12 2 P21P22 取 P111 P21 1，得 P12 1, P22 皿 1 121，P2 P21 P22 下面确定将A矩阵化为约当标准型的变换矩阵 P 由 J P 1AP 得 AP PJ P115书例设A 其特