不等式证明的几种方法

1、不等式证明的几种方法刘丹华余姚市第五职业技术学校摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题引言 证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。一、构造法 构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象

2、构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。（一） 、构造方程证明不等式 某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。例1 如果，均为实数，且， . 求证：， . 证明：由已知的两个等式中消去，得 因为 ， 所以 所以 所以 同理可证： ， .（二） 、构造函数证明不等式 根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。例2 已知，为的三边，求证：.证明： 从结论形式看，各项均具有的形式，于是可构造函数 ， 易证 在上为增函数 因为，为的三边所以

3、所以 即 . 又如： 求证 可用类似方法证明。（三） 、构造几何图形证明不等式 把欲证的不等式的数量关系所反映的几何背景找出来，然后根据几何图形性质证明不等式成立。例3 已知实数，满足，求证：.y 分析：原式左边可看作点与点间距离的平方，则可在直角坐标系中，构造点，其中是直线与两坐标轴的交点，连线段上点，如图所示-2 2BQC-1xOA-1P-2 图 原式左边就是，设中点 因为 ， 又为等腰 所以 故 ， 即 所以 .（四） 、构造复数证明不等式 由于复数的模与二次根式的形式相似，故涉及到二次根式形如有关的不等式 时，可联想构造复数，使复数的模与根式的表达式形式相同，然后再利用复数模的性质加以

4、证明。例4 已知为，非负实数，求证： .此题用别的方法较繁，若能转化为复数模的问题，就变得十分简捷。 分析：，非负实数，这样，不等式左右各项和复数模表示相似于是可构造复数：， ， .则 从而命题得证.二、反证法反证法是数学证明的一种重要方法。因为命题“”与它的否定“非”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。（一） 、推理的结果与已知的知识相矛盾例5 对实数，有.且. 求证： . 分析： 假设，中有正数且， 则 ，由题设，有 ， 相乘得 ，因为.所以 ， 整理得 ， 这与“任何实数的平方非负”矛盾.（

5、二） 、推理的结果与已知条件相矛盾例6 已知数列， 满足，且 . 求证： ，均是非正数. 分析： 假设是数列，中出现的第一个正数，则 且 由 得 ， 即 . 如此类推可得： 与已知 矛盾.（三） 、推出两个相互矛盾的结论例7 设 ， ， 是 的平方根的实部绝对值. 求证： . 分析： 设 ， 即 比较两边的实部与虚部，有 假设 ， 即 ， 则 结合 与 知 ， 从而 另一方面，由柯西不等式知， 与 矛盾 故 成立 . 反证法是处理绝对值问题的强有力的工具，但单纯用反证法往往较难得出矛盾，必须与其他方法结合运用，有时还要通过构造等手段来表达目的。在得到两个相互矛盾的结果的过程中，一是根据假设进行

6、推理，二是由条件进行推理，两个方面缺一不可。（四） 、推理的结果与假设相矛盾例8 已知 是首项为，公比为的等比数列，是它的前项和， 用表示； 是否存在自然数和，使得 成立.分析： ， ； 假设存在符合条件的自然数和，则 ， 从而 （*） 令 ， 则由（*）式得 即 ， 由 知 上述不等式对任意不成立. 故这样的自然数和不存在. 反证法证明不等式有两个明显的特点，一是前提中增加了新的条件，也就是结论的反面成立，并在证明过程中使用这个条件；二是反证法无需专门去证某个特定的结论，只需利用否定结论导出矛盾即可。可以看到，反证法具有分析法的特点，它们都从问题的结论去着手考虑，但两者又是截然不同的。反证法是从否定结论中开始，到得出显然矛盾的结论而结束；分析法则是从肯定结论成立开始，到得出显然成立的结果。反证法实际上是否定式的分析法。不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。参考文献：1 唐为民. 构造法在证明不等式中的应用J. 数学教学通讯. 2001.9. 41-42.2 周顺钿. 用反证法证明不等式J. 中学数学研究. 2004.4. 35-36.3 翁耀明，毛家俊. 某些不等式的概率方法证明J. 上海电力学院学报.