最新A-level物理：弹簧串并联劲度系数k的推导及应用(一)

1、a-level 物理：弹簧串并联劲度系数 k 的推导及应用 (一)在 a-level 物理 as 考试中，我们有时会见到对弹簧串并联系统的考核。 例如 2005 年春季的选择题 20 题：此题已知条件中给出了弹簧的三种组合方式 x y z，在悬挂重物之后，需 要将弹簧的总伸长量从小到大来排列。遇到这类题目，我们第一时间想到的，就是与弹簧类问题联系密切的胡克 定律 （hookes law） f=kx.hookes law: the extension produced in an object is proportional to the force producing it, provided

2、 the elastice limit is not exceeded.这里面 f 是对弹簧施加的 load，x 则是弹簧的伸长量（extension），而 k 就是弹簧的劲度系数(force constant or spring constant)了。如果是单个 弹簧悬挂重物的系统，那么无论是求弹簧的伸长量 x，还是求弹簧的劲度系数 k，都很简单，无非就是对公式变形，再带入已知量，求未知量的过程。如果是类似 上面题目的由若干弹簧串并联组合而成的系统，题目的难度就上了一个层次 。 但是掌握了弹簧串并联系统劲度系数的公式之后，此类问题将迎刃而解。当两弹簧串联时，总劲度系数 k = k1k2k1+

3、k2当两弹簧并联时，总劲度系数 k = k1+k2注意，劲度系数的求法与电学中计算总电阻的公式正好相反！ 同学们记 住这一条就能很好的记忆上述公式。扩展开来，在遇到多个弹簧串并联时，总劲度系数分别为：串联：1k = 1k1+1k2 + 并联 ： k = k1+ k2+ 那么上述公式是如何得出的呢， cie 教材里面并未给出具体的推导过程。 如果同学们对弹簧系统进行仔细的受力分析，不难得出：弹簧 1 和 2 在串联 时：弹簧的总伸长量为所有弹簧伸长量之和，即 x=x +x .1 2假设弹簧受到拉力 f，弹簧 1 伸长 x = f / k , 弹簧 2 伸长 x = f / k， 则1 1 2 2

4、总伸长 x= f / k + f / k ，新的劲度系数 k=f/x = 1/(1/k +1/k )，整理可得1 1 1 21/k=1/k +1/k1 2弹簧 1 和 2 在并联 时：弹簧的 load 被各个子弹簧分摊。假设两根弹簧的伸长量是 x，则受力 f = k1*x+k2*x，而 f=kx，故新的劲度系数 k = k + k12回到上面的题目，题目中说 各个子弹簧是 similar 的，即可以理解为它 们的劲度系数 k 相等。对于 x 来说， 此系统由两个弹簧并联组成，故总劲度系数 k =k+k=2kx对于 y 来说，此系统是由两个并联弹簧再与两个并联弹簧串联组成的，两 个并联弹簧的劲度

5、系数我们已经知道是 2k，那么总劲度系数1/k =1/2k+1/2k 故 k =ky y对于 z 来说，此系统是由两个并联弹簧再与一个弹簧串联组成的，总总劲 度系数 1/k = 1/2k+1/k 故 k =23 kz z由此，我们得到 k k k ,由于 f= kx, 而三个系统 x,y, z 均悬挂了x y z相同的 load，故 f 相同，所以 k 与伸长量 x 成反比， xxxyxz系统 x 的伸长量最小， 系统 z 的伸长量最大，选项 a 为正确答案。下面是 08 年秋季的 21 题，跟上面的题目非常类似，同学们自己动手算一 下，以巩固刚刚讲的公式:此题的 a b 和 c 系统的劲度系数在