2018年专题10(几何)最值问题(含详细答案)

1、专题10 几何最值问题 【十二个基本问题】 1【刮尊1】 柞法 庫理 t 1 连应+与？交点即为P ,., 两间炖用母帕. X At+PJMd 值） 在宜上求一曲円怯 R MH2 “胳軍忧马* 作法 圈基 歴理 f 甘 的对林自賓 A 跌点之冊熾讥規垠， ,与】交蓝即为扎 /, 册亠P丘量小值为A81 . tf-i 在亶上卓一直P. ff RlPB但最小 【问題3】 作袪 原理 廿别忙点戸关f楚亘纯的 堆点同花设最宦一 / 办:称虫卩和尸；连尸P PAf+jaiW的常卜哨为 *h 与两百线交点町为Af* M Z V . m/*p f的隹. 衣且綬片* 4上分别求点 ivT右 N,使邑PMN的周

2、E p 【问題4】 分别ft点Q、尸黄于直线 d甌的对稱点0和B % 两点之间找段星短一 四曲形PQ3N閒氏旳最吓 值为缆股的松. h 谨卩戸.与两直纯交点即 在直竣“上争别求点 为M M h N.使四边羽P0W沖 的周长聚4*1 F 【问題5】.造桥选址” 作法 31形 康理 4 1/ 将点/向下平羽Q的长 度单位得f 连亿 若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点B, E为直线AC上的任意一点，过点 E作EF/ BD 交抛物线于点F,以B, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标； 若不能，请说明理由； APC的面积的最大值. 11 如图，抛物线I交x轴于点A 3, 0

3、)、B(1 , 0)，交y轴于点C(03) 将抛物线I 沿y轴翻折得抛物线I (1)求I的解析式； 在I的对称轴上找出点 P,使点P到点A的对称点A及 C两点的距离差最大，并说出理由； 平行于x轴的一条直线交抛物线I于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此 圆的半径. V 一 1 / C 12. （2016 朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC内总存在一 点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小. 【特例】如图1，点P为等边 ABC的中心，将 ACP绕点A逆时针旋转60得到 ADE,从 而有 DE= PC 连接 PD得到 PD= PA 同

4、时/ APBZ APD= 120+ 60= 180 , / ADR/ ADE =180 ,即 B P、D E 四点共线，故 PA PB+ PC= PD+ PB+ DE= BE 在厶 ABC中，另取一 点P,易知点P与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 B P、D、E四点不共线，所 以P A+ P B+ P C PA+ P聊PC即点P到三个顶点距离之和最小. 13问题提出 (1)如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a, AB=b,填空：当点 A位于时, 线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a，b的式子表示) 问题探究 (2) 点A为线段BC外一动点，且BC=6 AB=3如图2所示，分别以

5、AB, AC为边，作等边 三角形ABD和等边三角形 ACE连接CD, BE找出图中与 BE相等的线段，请说明理由，并 直接写出线段BE长的最大值. 问题解决： (3) 如图3,在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(5 , 0),点P 为线段AB外一动点，且 PA=2, PM=PB / BPM=90 ,求线段 AM长的最大值及此时点 P的坐 标. 如图4 ,在四边形 ABCD中 , AB=AD / BAD=60 , BC=2 ,若对角线 BD丄CD于点D, 请直接写出对角线 AC的最大值. 14.如图所示，已知抛物线 y = a(x+ 3)( x1)( a*0)，与x轴从

6、左至右依次相交于 A、B两 点，与y轴相交于点C,经过点A的直线y = : 3x + b与抛物线的另一个交点为D. (1) 若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式； (2) 若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A B、P为顶点的三角形与 ABC相似，求点 P的坐标； 在 的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE 一动点Q从点B出发， 2 3 沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点 E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动 至到点 D后停止，问当点 E的坐标是多少时，点 Q在整个运动过程中所用时间最少 答案 1平面展开最短路径问题 解：如图所示： 长方体的底面边长分别为2cm和

7、4cm,高为5cm. PA= 4+ 2+ 4+ 2 = 12(cm), QA= 5cm, PQ= PA2 + aQ =13cm.故选：C. 2.解：设扇形的圆心角为n,圆锥的顶为E / r = 20cm, h = 20 15cm 由勾股定理可得母线I = 80cm, 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2X 20 n n = 90 即厶EAA是等腰直角三角形， 0 丄 由勾股定理得：AA = A E+ AE= 80 ,2cm 答：蚂蚁爬行的最短距离为 80 2cm. 故答案为：80 2cm 3解：连接 AR 在 ABC中, AB= 3,AC= 4, BC= 5, : AB+ AC= BC 即/ BA

8、C= 90. 又 PEI AB于 E PH AC于 F, 四边形AEPF是矩形， EF= AP / AP的最小值即为直角三角形 ABC斜边上的高，即， EF的最小值为, 故答案为：. 4. 解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到 点，AC= 55, AB BC AC边上的高为= 2 5,所以BE= 4 5. / ABCo EFB AB= A即 10=55 EF BE 即 EF 45 EF= 5 2. 9解：连结 OA OB作厶ABC的外接圆D,如图1 , / OA= OB= 1, AB= 1, OAB为等边三角形， / AO= 60, 1 / AP* -/ AO= 30, 團1 /

9、AB= 1,要使 ABC的最大面积，则点 C到AB的距离最大, / AC丄 APC= 60, / AC= 60，点 C在O D上，AD= 120 , 如图2,当点C优弧AB的中点时，点 C到AB的距离最大, ABC勺最大面积为. 此时 ABC为等边三角形，且面积为 故选：D. 10. 解： 由抛物线y = x + bx+ c过点A 1,0)及C(2,3)得, 4 ；需二3,解得茫3, 故抛物线为y = x + 2x + 3 又设直线为y = kx + n过点A 1,0)及C(2,3)得 各鳥爲0,解得ri= 1故直线AC为y= x + 1; (2)如图1,作N点关于直线 x = 3的对称点 故

10、直线DN的函数关系式为 1 21 y 尹 当M3, m)在直线DN上时，MNF MD的值最小， 1 21 18 则作5X3+ 由、(2)得 D(1,4), B(1,2), 点E在直线AC上, 设 E(x, x +1), 如图2,当点E在线段AC上时，点F在点E上方, 则 F(x, x + 3), v F 在抛物线上， x + 3= x+ 2x+ 3, 解得,x = 0 或 x = 1(舍去) E(0,1); 当点E在线段AQ或CA延长线上时，点F在点E下方，则F(x,x 1) 由 F在抛物线上 x 1 = x + 2x + 3解得 x = 1产卫或 x= 12 17 E 117 2 3,17

11、2 综上，满足条件的点E的坐标为（0,1） 117 2 317 2 1 +173 +17 2， 2 方法一：如图3,过点P作PQLx轴交AC于点Q交x轴于点H;过点C作CGLx轴于点 G 设 Qx,x+ 1),则 P(x, x + 2x+ 3) PQ= ( x + 2x+ 3) (x + 1) = x + x+ 2 1J、3127 又S= SS=尹Q. AG= 2( x + x+ 2)x 3 = 2 x + g 27 面积的最大值为. 8 方法二：过点 P作PQL x轴交AC于点Q交x轴于点 H过点C作CGL x轴于点G如图3, 27 8 APC的面积的最大值为 27 8 设 Qx,x +1)

12、,则 P(x, x + 2x+ 3)又T S= S_( APH + S_(直角梯形 PHG)C- S_( AGC = 2(x+ 1)( x+ 2x+ 3) + 2( x+ 2x + 3+ 3) (2 x) 3x 3= #x+ |x + 3 2x 11解：（1）如图1所示,设经翻折后，点A B的对应点分别为A、B, 依题意，由翻折变换的性质可知A（3,0）,耳1,0）, C点坐标不变 因此，抛物线I经过A(3,0),B( 1,0), qo, 3)三点, 设抛物线I的解析式为y = ax+ bx+ c,则有: 9a + 3b+ c= 0 a b+ c = 0 ,解得a= 1, b= 2, c= 3

13、,故抛物线I的解析式为：y= x 2x 3. c= 3 如图2所示，连接B（并延长，与对称轴x = 1交于点P,则点P即为所求. 此时,| PA- PC = | PB- PC = BC 设P为对称轴x = 1上不同于点P的任意一点，则有: IP a P q =|P B_(1) P q VB_(1)q三角形两边之差小于第三边), 故|P b P q v | pa pq,即 | pa pq最大. 设直线BG的解析式为y= kx + b,则有: b=k b= 0,解得k = b= 3,故直线BC勺解析式为：y =-3x-3. 令 x= 1,得 y = 6,故 P(1, 6). (3)依题意画出图形，

14、如图3所示,有两种情况. 当圆位于x轴上方时，设圆心为D,半径为r, 由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x = 1上，则D(1, r), F(1 + r, r). 点 F(1 + r, r)在抛物线 y = x 2x 3上, r = (1 + r) 2(1 + r) 3,化简得：r r 4 = 0 解得 r = ：+ 1, r = ( gh(17) + 1)/(2)( 舍去),此圆的半径为：+ 1; 当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为 -1；- 1 综上所述,此圆的半径为1或亠与_ 12.解：(1)如图1,将厶ACF绕点A逆时针旋转60得到 ADE / PAD- 60 , PAdA

15、 DAE PA= DA PC= DE / APCZ ADE= 120 , AP为等边三角形， PA= PD Z AP4Z ADP= 60, Z APBbZ APD- 120+ 60= 180 , Z ADPbZ ADE= 180 ,即 B、P、D E 四点共线, PA+ PB+ PC= PD+ PB+ DE= BE PA PB+ PC的值最小. (2)方法一：如图2，分别以AB BC为边在 ABC外作等边三角形， 连接CD AE交于点P, AB= DB BE= BC= 8、Z AB=Z EB= 60 , / ABE=Z DBC在厶 ABEm DBC中, AB= DB / ABE=Z DBC A

16、BEA DBCSAS， CD- AE / BAE=Z BDC BE= BC 又/ AO律/ BOD：/ APO=Z OB 60 ,在 DC上截取 DQ= AR 连接 BQ 在厶 ABPm DBC中, AB= DB / BAP=/ BDQ. ABPA DBQSAS， BP= BQ / PBA=/ QBD AP= DQ 又/ QBP/ QBA= 60 , / PBAF/ QBA= 60 ,即/ PBQ= 60, PBQ为等边三角形， PB= PQ 则 PA PB PC= DQF PQ PC= CD- AE 在 Rt ACE中, v AC= 6、CE= 8,： AE= CD- 10, 故点P到三个顶

17、点的距离之和的最小值为10. 方法二：如图3, 由（2）知，当/ APB=/ APC=/ BPC= 120 时，AP+ BP+ PC 的值最小， 把厶CPB绕点C逆时针旋转60得厶CP B, 由（2）知 A P、P、B共线，且 A冉 BP+ PC= AB , / PCB=/ P CB / PCBH/ PCA=/ P CB+Z PCA= 30 , / ACB = 90, AB，= AO B C- ACTbC= 10 13解：（1）v点A为线段BC外一动点，且 BC= a,AB= b, 当点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为BC+ AB= a+ b, 故答案为：CB的延长

18、线上，a+ b; （2 CD- BE 理由： ABD与 ACE是等边三角形， AD-ABAC= AE / BA4Z CAE= 60, Z BAOZ BAC=Z CAEbZ BAC 即 Z CAO / EAB 在厶CADWA EAB中， AD- AB Z CAD-Z EAB CAH EAB SAS, - CD- BE AC= AE 线段BE长的最大值=线段 CD的最大值, 由(1)知，当线段 CD的长取得最大值时，点 D在CB的延长线上, 最大值为 BM BC= AB+ BC= 3 + 6 = 9; (3) 如图1,连接BM 将 APM绕着点P顺时针旋转90。得到 PBN连接AN则厶APN是等腰

19、直角三角形， PN= PA= 2, BN= AM T A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0), OA= 2, OB= 5, AB= 3,.线段AM长的最大值=线段 BN长的最大值， 当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值，最大值= AB+ AN AN= 2AP= 2 2, 最大值为 2 2+ 3; 如图2,过P作PEx轴于E,v APN是等腰直角三角形， PE= AE= 2, OE= BO- AB- AE= 5 - 3 -2 = 2-2, P(2 -2, 2). (4) 如图4中，以BC为边作等边三角形 BCM / ABD=Z CBIW 60，/ ABC=Z DBM： AB

20、= DB BC= BM ABCA DBM AC= MD 欲求AC的最大值，只要求出 DM的最大值即可， BC= 4 .2 =定值，/ BDC= 90 , 点D在以BC为直径的O O上运动， 由图象可知，当点 D在BC上方，DML BC时，DM的值最大，最大值= 2 2 + 2 6, AC的最大值为22+ 26. 14.解：I y= a(x+ 3)( x- 1), 点A的坐标为(3,0)、点B两的坐标为(1,0), 直线 y=- , 3x+ b经过点 A b=- 3 , 3, y =- , 3x 3 3,当 x = 2 时,y=- 5 , 3, 则点D的坐标为(2, 5 ：3), T点D在抛物线上， a(2 + 3)(2 1) = - 5 ：3, 解得,a=,;3,则抛物线的解析式为y=-3(x+ 3)( x 1) =:3x 2：3x+ 3 3; 如图1中，作PHL x轴于H,设点P坐标(mn), C D 3 当厶 BPAPA ABC寸,/ BAG=/ PBA - tan / BAG