2020年同步优化探究理数(北师大版)练习：第七章第五节简单几何体的表面积与体积Word版含解析.doc

1、 课时作业 A组一一基础对点练 1. （2018合肥市质检）已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球 的表面积为（ ) 3n A. n B.32 C. 2 nD . 3 n 解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为- r，易知轴截面三角形边AB上的高为2 2，因此r = 1，解得 r = ，所以圆锥内切球的表面积为 4nX（平）2 = 2n,故选C. 4” 答案：C 2.平面a截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为，2,则此 球的体积为（） A. , 6 nB. 4 , 3 n C. 4_6nD . 6,3 n 解析：设球的半径为R,由球的截面性质得

2、R= . ,22+ 12= .3,所以球的体积 V= |nR3 = 4 3n. 答案：B 3.已知一个几何体的三视图如图所示，贝U该几何体的体积为（） 解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图 如图所示， 32 3 A. B. 16 3 4 d4 1 11 8 v=V 柱+ V锥=2X(1 +1)xix2+32(1 + i)x ix2=3,故 选C. 答案：C 4如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线（实线和虚线）表示的是某几何体的 三视图，则该几何体外接球的表面积为（） C. 48 n D. 58 n 解析：如图，在3X 2X 4的长方体中构造符合题意的几何体（三棱锥A BCD

3、）, 其外接球即为长方体的外接球，表面积为4衣=n （3+ 22 + 42）= 29 n. 答案：B 5. （2018合肥市质检）如图，网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体积为（） A. 3B. 3,2 C. 9D. 9 2 解析：由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥， 1 1 其底面面积S= 2X (2 + 4)X 1= 3,高h = 3,故其体积V=Sh= 3,故选A. 答案：A 6. 若三棱锥P ABC的最长的棱PA= 2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥 的外接球的体积是. 解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，

4、则该三棱锥的外接球即该长 1 方体的外接球，易得外接球的半径 R= qPA= 1,所以该三棱锥的外接球的体积 V nX 13 = 4n. 答案: 4 3n AB= 3, BC= 3, E ABCD的体积 7. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球0的球面上，且 过点D作DE垂直于平面 ABCD，交球 0于E，则棱锥 =1 + (*r)证明：AC 丄 HD; 若 AB = 5, AC = 6, 解析：(1)证明：由已知得 AC丄BD, AD = CD. 又由 AE = CF 得CDF，故 AC / EF. 由此得EF丄HD , EF丄HD ，所以AC丄HD . (2)由 EF / AC 得 D

5、O=Ad=4. 由 AB = 5, AC= 6 得 DO = BO= . AB2 AO2= 4. 所以 OH = 1, D H = DH = 3. 于是 OD 2+ OH2= (2 ,2)2 + 12 = 9= D H2, 故OD 丄OH. 由(1)知，AC丄 HD ，又 AC丄BD, BD A HD = H, 所以AC丄平面BHD ，于是AC丄OD . 又由OD 丄OH , AC A OH = O,所以OD 丄平面ABC. ,即卩r2=8.由球的表面积公式，得s= 4 n=才 答案：9n 9. 如图，菱形 ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E, F分别在AD, CD 上, AE= CF,

6、 EF交BD于点H.将厶DEF沿EF折到 D EF的位置. =2 2，求五棱锥D -ABCFE的体积. 又由 EF AC DO得 EF 9 2. 11969 五边形ABCFE的面积S= 2X 6X 8-丁寸 3 =才. 所以五棱锥D -ABCFE的体积V= 3X 69X 2 2=2 10.（2018莆田质检）如图，在四棱锥 ABCD为矩形，E为SA的中点, BC = 3. （1）证明：SC/平面BDE; 若BC丄SB,求三棱锥C BDE的体积. 解析：（1）证明：连接AC,设AC n BD = O, 四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点. 在厶ASC中，E为AS的中点，二SC / OE, 又

7、OE 平面BDE, SC 平面BDE,a SC/平面BDE. Vc bde即三棱锥C BDE的体积为_23. B组一一能力提升练 1. （2018湖北七市联考）一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面 积为（） A. 36 n C. 32 n 112 B._T n D. 28 n 解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个 边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如 图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4,该三棱柱的 外接球即为原四棱锥的外接球.三棱柱的底面是边长为4的正 三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为 112n 3 ， 故选B

8、. 接球的半径R= S= 4 tiR2 = 4 nX 3 = 答案：B 2. （2018广州模拟）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直 的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥 P ABC为鳖臑，PA丄平面ABC，PA= AB= 2，AC= 4,三棱锥P ABC的四个 顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（） B. 12n C. 20 nD. 24 n 解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以 PC的中点到每一个顶点的距离 都相等，即PC的中点为球心0,易得2R= PC= 20,所以球O的表 面积为4n2= 20 n选C. 答案：C 3在封闭的直三棱柱

9、 ABC-AiBiCi内有一个体积为V的球.若AB丄BC, AB = 6, BC = 8, AAi = 3,则V的最大值是（） 9 n B.9T D32n 解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相 切，可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高，所以这个球放不 3 进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R = 2，该球的体积最大，Vmax = 4nx27 9n 382 答案：B 4.四棱锥S ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD是正方形且和 球心O在同一平面内， 则球O的体积等于（ 当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8 + 8.3,

10、） 32 n 7 口 32 2n B. 3 C. 16n 16 2n D.-T 解析：依题意，设球0的半径为R,四棱锥S ABCD的底面边长为a、高为h, 则有h R,即h的最大值是R,又AC = 2R,则四棱锥S ABCD的体积Vs abcd 12R3 二3X 2R2hwy.因此，当四棱锥S ABCD的体积最大，即h= R时，其表面积等于6/2r)2+4X2xQ2rx、/(響丫+ R2= 8+ 8羽，解得 R= 2,因此球 0 的 3 4 jiIR 32 n 体积等于亍，选A. 答案：A 主视图 5. (2017河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该 多面体的体积为cm3. 解析：由三视

11、图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示， 在三棱锥D ABC中，底面ABC是等腰三角形，设底边 AB的中点为E,则底边AB及底边上的高CE均为4,侧棱AD丄平面ABC,且 AD = 4,所以三棱锥D i ABC 的体积 V=3 (2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF的体积. 解析：证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB丄PD. 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB丄DE. 因为 PD A DE = D, 所以AB丄平面PED, 故 AB丄PG. 又由已知，可得PA = PB,所以G是AB的中点. 在平面FAB内，过点E作PB的平行线交

12、PA于点F, F即为E在平面PAC内的正投影. 理由如下：由已知可得 PB丄PA, PB丄PC,又EF/ PB, 所以EF丄PA, EF丄PC.因此EF丄平面PAC,即点F为 E在平面PAC内的正投影. 连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心. 2 由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD = 3CG. 2 由题设可得 PC丄平面PAB, DE丄平面PAB,所以 DE / PC,因此PE=PG, 1 DE = 3PC. 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA= 6,可得DE = 2, PE= 2 2. 在等腰直角三角形 EFP中，可得EF = P

13、F = 2, 114 所以四面体PDEF的体积V=3X2X2X2X2=3. 8. (2018西安调研)如图所示，平行四边形 ABCD中，/ DAB = 60 AB = 2, AD =4.将 CBD沿BD折起到 EBD的位置，使平面 EBD丄平面ABD. (1) 求证：AB丄DE; (2) 求三棱锥E ABD的侧面积和体积. 解析：(1)证明：在厶 ABD 中AB = 2, AD = 4,Z DAB = 60 BD= AB2 + AD2 2ABADcos/ DAB = 2.3. AB2 + BD2=AD2，二 AB 丄 BD. 又平面EBD丄平面ABD，平面EBD G平面ABD= BD, AB

14、平面ABD, AB 丄平面 EBD.又 DE 平面 EBD,： AB 丄 DE. 由知AB丄BD. CD/ AB,： CD 丄 BD，从而 DE 丄 BD. 在 RtADBE 中， DB = 2 3, DE = DC = AB = 2, 1 :SaEDBDE = 2 3. AB丄平面 EBD, BE 平面 EBD , : AB 丄 BE. 1 -BE= BC = AD = 4,： Saeab = qAB BE= 4. DE丄BD,平面EBD丄平面ABD, :ED丄平面 ABD, 而 AD 平面ABD, 1 :ED 丄 AD,： Saead =人。DE = 4. 综上，三棱锥 E ABD 的侧面积 S= Saedb + Saeab+ Saead = 8 + 2 3. DE丄平面ABD, 且 Saabd = Saebd= 2.；3, DE = 2, 11 厂4逅 :Ve abd=Saabd DE = 3X 2 3X 2 = . 解析：如图所示，BE过球心0,A DE =