2、圆内接四边形性质定理

1、For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形 ABCD,圆心为0,延长BC至E, AC BD交于P,则:一、 圆内接四边形的对角互补：/ ABC+Z ADC=180，/ BCD+Z BAD=180二、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：/DCE=Z BAD三、 圆内接四边形对应三角形相似： BCaA ADP四、相交弦定理

2、： APX CP=BX DP五、托勒密定理： ABX CD+A区CB=A BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。/ a+3=360 Z A+Z C=1 X 360 =1802同理得Z B+Z D=180（也可利用四边形内角和等于360）11如图，连接 OB、0D 则Z A= R, Z C= a22【证明】方法二： 利用直径所对应的圆周角为直角。 设圆内接四边形ABCD证明：Z A+Z C=180 , Z B+Z D=180【证明】方法三：利用四边形内角和为 360。及同弧所对的圆周角均相等ACB5连接B0并延长，交O 0于E

3、。连接AE、C吕 则BE为O 0的直径Z BAE=Z BCE=90Z BAE+Z BCE=180 Z BAE+Z BCEZ DAE+Z DAE=180即 Z BAE-Z DAE+Z BCE+Z DAE=180Z DAE=Z DCE （同弧所对的圆周角相等） Z BAE-Z DAE+Z BCE+Z DCE=180即 Z BAD+Z BCD=180Z A+Z C=180 Z B+Z D=360 -（Z A+Z C） =180 （四边形内角和等于 360）连接AC BD,将Z A、Z BZ CZ D分为八个角Z 1、Z 2、Z 3、Z 4、Z 5、Z 6、Z 7、Z 8 Z 1 + Z 2+Z 3+

4、Z 4+Z 5+Z 6+Z 7+Z 8=360（四边形内角 和为360）Z 4=Z 1,Z 7=Z 2,Z 8=Z 5, Z 3=Z 6（同弧所对的圆周角相等）1 Z 1 + Z 2+Z 5+Z 6= X 360 =1802 Z 1 + Z 2=Z AZ 5+Z 6=Z C Z A+Z C=180 Z B+Z D=360- （Z A+Z C） =180（四边形内角和等于 360二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：Z DCE=Z BADZ BCD+Z DCE=180（平角为 180Z BCD+Z BAD=180（圆内接四边形的对角互补） Z DCE=/ BAD BCPA

5、ADP, ABPA DCP/ BAP=/ CDP, / ABP=/ DCP(一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。)又/ APB=/ DPC (对顶角相等) ABPA DCP三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证: 证明：/ CBP=/ DAP, / BCP玄 ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。） 又/ APD=/ BPC （对顶角相等） BCaA ADP四、仍用上图，求证： APX CP=BX DP证明： BCaA ADP （圆内接四边形对应三角形相似） AP _DP （相似三角形的三边对应成比例）BP _CP APX CP=BX DP五、求证：如图，四边形【证明】方法一

6、：相交弦定理托勒密定理ABCD内接于圆 0,那么 ABXCD+ADBC=ACBD作辅助线 AE使/ BAEK CAD交BD于点E/ ABE=Z ACD（同弧AD所对的圆周角相等）又/ BAE玄 CAD AB0A ACD AB 二BE，即 ABXCD=ACBE AC _CD/ BAE=Z CAD / BAE+Z EAC=Z CAD/ EAC即/ BAC=/ EAD ABCA AED BC _ AC，即 BCXD=ACDE (2)DE = AD(1)+(2),得 ABXCD+BCAD=ACBE+ACDE=AC( BE+DE =AOBDfi又/ ACBZ ADE（同弧AB所对的圆周角相等）【证明】方

7、法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还 不能求证。广义托勒密定理广义托勒密（Ptolemy）定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形 ABCD必有AC- BDCAB- CD+AD,B而且当ABCD四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和 匸对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD,必有AC- BDC AB- CD+AD, B当且仅当ABCD四点共圆时取等号。证明如下：在四边形 ABCD中,连接AC、BD作/ ABE=Z ACD/ BAE=Z。人。，则 ABEs ACD BE/CD=AB/AC,AB/A

8、C=AE/AD BE*AC=AB*CDD ,ab/ae=ac/ad / BAE=Z CAD Z BAE+Z EAC=Z CAD+Z EAC 即 Z BAC=Z DAE又 AB/AE=AC/AD, ABBA AED BC/ED=AC/AD ED*AC=AD*B+，得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC 又 BE+EI BD AC*BDS AB*CD+AD*BC从而命题得证，且仅当E点落在线段BD上时，等号成立此时/ ABD=Z ACD ABCD四点共圆托勒密定理逆定理同样成立 ：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接圆。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用

9、途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwfeen verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche unique