4向量的坐标运算

1、4向量的坐标运算.基础知识:1. 向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底，任作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得xi y j。 (x, y)叫做向量a的(直角)坐标。记作 a =(x, y)。2. 向量的坐标运算*h T*(1 )若 a =(/,%) , b=(X2,y2)，则：a b二； ab 二； a =。3. 平面上两点间距离(1) 设 a = (x, y)，则 | a | =。(2) 若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(为，力)、(x2, y2)，则|a|二。这就是两点间的距离公式。4. 向量的平行与垂直的

2、坐标表示fff士1*设 a = (xyj , b = (x2, y2)，贝U a _ b = ； a / b ：= ； a b 二二、基本题型：_L4441若 a=(x,-1) , b=(log83,1), a / b，则 23x - 2x=.2.已知 a =(1,sin2 x),b =(2,sin2x)，其中 x迂(0,兀)，若 a ba !b，则 tanx 的值等于.3已知向量a = (m, n), b= (5, 1)，若向量2a + b与向量a 2b共线，则 m =.n4. (2011 广东文 3)已知向量 a =(1,2),b (1,0), c = (3,4)，若为实数，(a b)/c

3、，则=5. (2011重庆文5)已知向量a =(1,k),b =(2,2)，且a b与a共线，则a b的值为 _。6. (2012湖北文)已知向量 a = (1,0) , b = (1,1)，则(I)与2a b同向的单位向量的坐标表示为； (n)向量b -拓 与向量a夹角的余弦值为 。7. 已知平面向量 a =(x,1) , b =(-x,x2),贝恫量a - b。(填上正确序号)平行于x轴；平行于第一、三象限的角平分线；平行于y轴；平行于第二、四象限的角平分线。9. 已知向量 a = (2,1), a b =10 , | a b | = 5.2 则 | b |=。10. 已知向量a =(-2

4、.2),b =(5, k)，若|a b|不超过5，则k的取值范围是 。fJ b- f11. 已知向量a=(cosv,sin，向量b = C、3,-1)，则|2a-b|的最大值、最小值分别是_、_。12 .若对n个向量a,，a.,存在n个不全为零的实数kk2,，心,使得 kg，k2a2亠-knaO成立，则称向量为“线性相关”。依此规定能说明 a (1,0),a2 =(1,-1), a3 =(2,2) “线性相关”的实数依次可以取 。(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)13.平面内给定三个向量 a= (3,2), b = (-1,2) , c = (4,1)，回答下列问题：(1 )求 3a b

5、_2c ； (2)求满足 a = mb nc 的实数 m、n ；(3)若(a kc) / (2ba)，求实数 k ； (4 )设 d 二(x.y)满足(dc) / (a b)且b- te-| d -c |=1，求 d 。17.已知向量 m二(1,1)，向量n与向量m夹角为 ，且m?n = -1 o (1)求向量n ；4(2)若向量n与向量q二(1,0)的夹角为一，向量p =(cosA,2cos2)，其中A、C为2 2ABC的内角，且A _ B _ C依次成等差数列。求|n p|的取值范围。4向量的坐标运算.基础知识:1.向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量j

6、作为基底，任作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a = xi yj 。 (x, y)叫做向量a的(直角)坐标。记作 a = (x, y)。2. 向量的坐标运算-*fh Tr- *(1 )若 -(x1,y1) , b=(x2,y2)，则：a b=； a-b =； a -3. 平面上两点间距离(1) 设 a = (x, y)，则 | a |二。(2) 若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(xyi)、(x2, y2)，则|a|二。这就是两点间的距离公式。4. 向量的平行与垂直的坐标表示*0设 a = (xyj , b = (x2 ,y2)，贝U a _ b = ； a /

7、 b= ；a b 二二、基本题型： 3xox101若 a =(x, -1), b =(log83,l), a / b，则 22=34 4 呻彳2.已知 a =(1,sin2 x),b =(2,sin2x)，其中 x迂(0,兀)，若 a b = a b，则 tanx 的值等于. 13已知向量a = (m, n), b= (5, 1)，若向量2a + b与向量a 2b共线，则m =. 5n斗彳-t 444.(2011 广东文 3)已知向量 a =(1,2),b =(1,0),c = (3,4)，若为实数，(a b)/c，则，=12解：a b =(1,2) (,0)二(1,2)， (a b)c1(i

8、) 4_2 3=05. (2011重庆文5)已知向量a =(1,k),b =(2,2)，且a b与a共线，则a b的值为46. (2012湖北文)已知向量 a = (1,0) , b =(1,1)，则(I)与2a b同向的单位向量的坐 标表示为； (n)向量b 3a与向量a夹角的余弦值为 。27已知平面向量a =(x,1) , b =(-x,x2),贝恫量a - b。(填上正确序号)平行于x轴；平行于第一、三象限的角平分线；平行于y轴；平行于第二、四象限的角平分线。解：a b二(0,1 - x2)，由1 x2 = 0及向量的性质可知，填。9.已知向量 a = (2,1), a b =10 ,

9、| a b | = 5.2 则 | b |=。 5解：由 a b=5.2知(a+b) 2=a2+b2+2ab=50，得 |b|=5。10.已知向量 a =(-2.2),b =(5,k)，若|a b|不超过5,则k的取值范围是 。-6,411 已知向量a=(cosdsin，向量b二C.3,-1)，则|2a-b|的最大值、最小值分别是_、_。(4,0 )12 .若对n个向量a1,a2/ ,an ,存在n个不全为零的实数 Ok?,，心,使得k1 a1 k2aknan =0成立，则称向量为“线性相关”。依此规定能说明 a (1,0),a2 =(1,-1), a (2,2)“线性相关”的实数依次可以取。

10、(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)解：由 k1 a1 k2 a2 k3a3=0，得k1+k2+2k3=,-k2 + 2k3 二 0,二k1 : k2 : k3= -4 : 2 ： 1,即只需写出比值为 -4 : 2 ： 1的一组数即可,如 4、2、1，或 4、 2、 1。13.平面内给定三个向量a二(3,2), b = (T,2) , c = (4,1)，回答下列问题:(1 )求 3a b -2c ； (2)求满足 a 二 mb nc 的实数 m、n ;(3 )若(a kc) II (2b - a)，求实数 k ； (4 )设 d =(x.y)满足(d -c) / (a b)且I d -c

11、 |=1，求 d5(1) (0,6) ; (2)98 ； (3) 一 I6 ；9 13(,士)或(J,上空)55517.已知向量 m =(1,1), 向量n与向量m夹角为 ，且m?n - -1。(1)求向量n ；4(2)若向量n与向量q = (1,0)的夹角为一，向量2-2 Cp = (cosA,2cos )，其中ABC的内角，且 A、B、C依次成等差数列。求|n p|的取值范围。解：设 n = (x, y)，由 m? n = -1，有 x y =1 o*lr ir*Orr向量n与向量m夹角为，有m?n =|m|?| n|?cos,44 | n | = 1，则 x2 y2 = 1 o由解得丿x 一1或)=0,x=Q 即n=(_1,0),或 n=(0,-1)o、y = 1.(2)由向量n与向量q垂直知n =(0,-1)，由A、B、C依次成等差数列，知2兀2兀A B , 0