§2.4运动方程式的变换全解

1、 2.4 运动方变换通过上节课对运动方程的求解我们看出， 交流电机运动方程的系 数都是时变函数，因此，求截这种微分方程是非常繁琐的。为了简化 运动方程的求解，我们这一节研究采用变数变换的方法。 即用新的变 数电压和电流来替换运动方程中的实际变数。 我们称这种变数变换为 坐标变换。电机理论中用到的变换基本上都是线性变换，而且坐标变换的种 类也很多，究竟采用哪一种需要根据具体问题来选择。一、 电流、电压和阻抗变换的一般公式设有电路方程 比=Zidi + 乙2：2 + Z13ui Zi u23U2 = Z21i1 Z22i 2 Z23i3IIU3 = Z31i1Z32i2Z33i31Z21Z12Z1

2、3Z22Z23Z32illJ 3 一01 I Z33 -3 _写成向量形式为其中u、i是电压、电流矩阵,Z是阻抗矩阵。现在引入坐标变换，将u和iU = CUi = Ci变为u 和i，设变换矩阵是C,即:可见，若变换枕C为一常值矩阵，电压方程组的形式保持不变，此时i hu = i H cH cu系统的功率为如果要求满足功率不变的约束，则必须有Cc=E或CH=C-1 即C是酉矩阵，而这种变换矩阵采 用酉矩阵的坐标变换称为酉变换。酉变换满足“功率不变”要求，且 有：i 二 ci 二 cHiu = cu 二 cHuu =z z = CH zc在分析三相交流电机是常用的一些酉矩阵，如a (3 0阵，dq

3、O阵，对称分量阵等等会在下面介绍。二、对称分量变换交流电机不对称运行最常用的方法是对称分量法。其基本思想就 是利用对称分量变换，将系统的阻抗矩阵变换为对角阵，从而简化问题的求解。1、公式及其含义对于三相对称电路，若外加的电源电压不对称时可以证明，总可 以把不对称的电源电压U、UB、UC分解成正序、负序和零序三组对称电压，即其中称原来不对称电压的对称分量，U+、a2u、aU是一组对称的三相正序电压，U、aU-、aU是一组对称的三相负序电压，是为了满 足功率平衡而引入的系数。写成矩阵的形式丄 Zo。对于交流三相旋转电机来说，若不计转子反应或者对正、负序磁场具有相同的转子反应时，就属于这种情况。（3

4、）对称三相交流电机。对称三相交流电机是指定子绕组为三 相对称、转子绕组为三相或多相对称，电机的磁路亦为对称的电机。 此类电机的阻抗矩阵为循环对称，但当转子旋转时，由于转子对正、 负序磁场的反应不同，所以 B、C 两相对 A 相的等效互感具有不同的 值，即ZbM Zc。此时一般来讲，Z+工Z-丰Zo 且正序和负序阻抗的值与转子转速有关。 正序、负序和零序阻抗互不 相等，这是旋转电机的特点，亦是它与静止电路的主要差别。（4）转子为凸极的三相交流电机。这种电机的钉子装有三相 对称绕组，但转子为凸极，且交、直轴上的绕组互不对称，例如三相 凸极同步发电机。 这种电机在电和磁两方面都不对称， 属于不对称机

5、。 因此，它的阻抗不是循环对称，即使进行对称分量变换，阻抗矩阵仍 为非对角矩阵。这样，一方面各相序的电路之间具有耦合，另外还会 出现高次谐波。 所以严格来讲， 凸极同步发电机的正序和负序阻抗并 非总是一个常值，而是与运行方式有关。三、 dq0 变换 基本思想：旋转电机理论中的另一种常用的坐标变换是 dq0 变换。 它是把固定轴线 u、v、w 变换成随转子 d、q 轴同时旋转的 dq0 轴线，这样可 以把变化的自感和互感系数电感矩阵，变换为电感为常值的对角矩 阵，是变系数微分方程变为常系数微分方程，从而简化求解。1、 变换公式极其含义i d=2/3i aCOS 0 + i bCOS ( 0 -1

6、200) + i ccos ( 0 +1200)i q=2/3i Asin 0 + i Bsin ( 0 -1200) + i csin ( 0 +1200)=1/3 (i a+ i b+i c)或i a= i dcos 0 + iqsin 0+ i0i b= i dcos ( 0 -1200)+ iq sin(0 -1200) + i 0i c= i dcos ( 0 -+1200)+ iq sin(0 +1200) + i 0变换阵为cocossin 日仁Co = cos但120) sin (0-120) 1 jcos(日+120) sin( 0+120) 1 一上面的变换式的含义就是把电

7、机定子三相绕组的电流iA、iB、ic分别投影到与转子一起旋转的d轴和q轴上去，得到新的直轴电流i d和交 轴电流i q,还有一组孤立的零轴电流i。，它与转子的偏转角0无关。 上面的第二组公式说明把旋转轴线上的电流id和iq投影到A、B C相绕组的固定轴线上，加上零轴电流，以得到 iA、iB、ic。所以这种 变换代表一种固定轴线与旋转轴线之间的变换。从物理上看，这就相当于把实际的三相绕组变换成一个换相器绕组，其换相器上装有两组随凸极转子一起旋转的电刷，一组与 d轴重合，一组与q轴重合。 例1.用派克提出的dq0变换，将凸极同步电机定子绕组中的对称三 相正序电流变换为dq0分量。解：设定子的对称电

8、流为i a= i ncos 3 ti b= i ncos ( 3 t-120 0)i c= i mcos ( 3 t+1200)转子为同步旋转，t=0时转子的初相角为0 ,即0 =3 t+ 0 0于是根据 dq0 变换(派克变换)的定义可知：i d=2/3i Acos0 + i Bcos(0 -1200) + i Ccos(0 +1200) =2/3i m cos 3tcos (3t+0 0) + cos(3 t-120 0) cos(3t+0 0-1200)+ cos ( 3 t+120 0) cos( 3 t+ 0 0+1200) =Imcos0 0iq=2/3i Asin0 + i Bs

9、in(0 -1200) + i Csin(0 +1200) =2/3i m sin 3tsin (3t+0 0) + sin (3 t-120 0) sin (3t+0 0-1200)+ sin (3t+1200) sin(3t+ 0 0+1200) =Imsin 0 0i 0=1/3(i A+ i B +i C)=1/3I mcos 3 t+ cos (3 t-120 0) + cos ( 0 +1200) =0从上式可见， 经过 dq0 变换以后， 三相绕组内的对称正序交流将变成dq0系统内的一组直流，其中直轴电流i d二I mcos 0 ,交轴电流i q= I msin0 0，零轴电流为

10、零。从物理上看，这是不难理解的，因为经过 dq0变换,定子绕组的轴线已变换为与凸极转子一起旋转的旋转轴线。 在等效的dq0绕组中，通以id和iq (均为直流)，其所形成的磁势将与静止的三相绕组中通以iA、iB、i c （三相交流）时等效。可以看出，采用派克变换时，变换前、后的磁势相等，这是它的 优点。但是前面的矩阵C0不是酉矩阵，因此派克变换不满足功率不变约束。为了满足功率不变约束，在dq0变换的变换矩阵中引入系数3，COSdcosQ -1200)cos +12O0)si nvsin -1200)sin(= 1200)21一212cos 日sin 8cos。-1200) sin(r -1200

11、) cosQ 120) sin(r 120)于是laaL ABL ACLbaLbbLbc-LcaLcbLee其中定子的自感和互感均为B或20的正弦函数，即idiqJ0 -所以，矩阵采用C以后将满足功率不变的约束2、凸极同步电机定子电感矩阵的对角线化和常数化对于三相凸极同步电机，其定子绕组的电感矩阵Ls为LaA=Ls0+Ls2COS2 0LbB=Ls0+Ls2COs2( 0 -120 )Lcc=Ls0+Ls2COs2( 0 +120)0Lab= L ba =-M s0-Ms2 cos2( 0 +30)B(= L CB =-Ms0-Ms2 cos2( 0 -90 )C= L ac =-M s0-M

12、s2 cos2( 0 +150)引入dqO变换，定子电感矩阵变为LsLs 二 CLC-cos日sin B1cos(v -1200)sin(v - 1200)LaalabL AC 1* 1LbaL BBL BClcalcbLCCcos 1200)sin(r 1200)COST.3cos但-1200)sin(二-1200)cos但 +1200)sin(=1200)经过冗长的运算，可得Ld 00 Lq.0 00【0L0式中Ld、Lq、L0分别称为凸极同步电机的直轴、交轴和零轴电感，它 们分别等于3Ld 丄0 M so 石 Ls23Lq =Ls0 叽一产L0=Ls0-2Ms0由上面的推导可以看出，经过

13、 dq0变换，定子的电感改用d、q、 0三根特定轴线上的电感值来表示，由于 d、q轴与转子之间无相对 运动，所以变换后的电感矩阵中的元素不再是 0的函数，使电感矩阵 常数化；同时，由于d轴和q轴线互相垂直，它们之间不存在互感，而零轴又是一个孤立系统，所以变换后的电感矩阵为对角线矩阵。 这 是dqO变换的主要优点。四、a B 0变换a P 0坐标系是一个两相坐标系，其中a轴和B轴互相垂直，构成对称两相绕组中的两根轴线，0轴为一孤立系统，与dq0坐标系中的零 轴相同。所以ABO a B0之间的变换相当与三相到两相绕组之间的 坐标变换。设三相绕组的A相轴线与两相绕组的a相轴线相重合，B轴超前 a轴900电角度。把iA、iB、ic分别投影到两相绕组的a