(整理)合情推理和演绎推理》.0001

1、精品文档第十七章推理与证明知识网络归纳合情推理类比推理与证明演绎推理数学归纳法直接证明综合法精品文档分析法反证法间接证明第1讲 合情推理和演绎推理知识梳理1. 推理根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成 ,一部分是已知的事实（或假设）叫做前提,一部分是由已 知推出的判断,叫结论.2. 合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情 推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一般结

2、论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另 一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情况；（3）结论一一根据一般原理，对特殊情况作出的判断。重难点突破重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别与 联系难点:发现两类对象的类

3、似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题 1:观察：.7 .15： 2 .、肓；.55165： 2 .诃；、33 19一3 :： 2.币；对于任意正实数a,b，试写出使 ja + jb兰2J右成立的一个条件可以是 .点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故a 222、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2:已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的

4、一个真命题为.点拨：圆锥曲线有很多类似性质,“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一2b2直线与椭圆交于 A、B两点，则当AB与椭圆的长轴垂直时，AB的长度最短（|AB|_ 鲁 ）a3、运用演绎推理的推理形式（三段论）进行推理问题3 :定义x为不超过x的最大整数，则 卜2.1=点拨：“大前提”是在（：，x找最大整数，所以-2.1=-3热点考点题型探析考点1合情推理题型1用归纳推理发现规律例1通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。sin2150 sin275 sin2135=3 ； sin2300 sin2900 sin2150=3 ；2 2sin2450 si

5、n2105 sin2165=3 ； sin2 600 sin21200 sin2180 =彳2 2【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性，（2）观察角的“共性”解析猜想：sin2（： -600） sin2 ：sin2（： 60）=32、 / 0 0 2 2 0 0 2 证明：左边=(sin ： cos60 -cos： sin 60 ) sin 工(sin : cos60 cos： sin60 )3/ .22、3 亠、丄=（sin 工cos ）=右边2 2【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型，二是“递推型”，三是“循环型”（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特

6、征型”（周期性）例2 （09深圳九校联考）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图I有7个蜂巢，第三个图有 19个蜂巢，按此规律，以f (n)表示第n幅图的蜂巢总数则f=； f (n) =.【解题思路】找出 f (n) 一 f (n 一 1)的关系式解析f (1) =1, f(2) =1 6, f (3) =1 6 12 f (4) =1 6 1237.f (n) =1 6 12 186(n-1)=3n2-3n 1【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【新题导练】1.(2008佛山

7、二模文、理)对大于或等于2的自然数m的n次方幕有如下分解方式：2222=133=1354=13573332=353=79114 =13 15 17 19根据上述分解规律， 则52 =1 3 5 7 9,若m3(m N )的分解中最小的数是 73,则m的 值为.32解析m的分解中，最小的数依次为3, 7, 13,，m -m 1，由 m2 - m 1 = 73 得 m = 92. (2010惠州调研二理)函数f(x)由卜表疋乂.x25314f (x)12345若 a0= 5 , an 1= f (an ),n =0,1,2川 1，则a2007 二4解析a。= 5 ,a0,且a丰1)的图象与y=x的

8、图象有公共点，证明：f(x)=ax M ;(3) 若函数f(x)=sinkx M ,求实数k的取值范围.【解题思路】 函数f(x)是否属于集合 M ,要看f(x)是否满足集合 M的“定义”，解(1)对于非零常数 T, f(x+T)=x+T, f(x)=Tx.因为对任意x R, x+T= Tx不能恒成立，所以 f(x)= x 一 M .(2)因为函数f(x)=ax (a0且a丰1)的图象与函数 y=x的图象有公共点，r _ X所以方程组：丿y=a有解，消去y得ax=x,y=x显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T,使aT=T.于是对于 f(x)=ax有 f (x T) = ax T

9、=aT ax = T ax=Tf (x)故 f(x)=ax M.(3)当 k=0 时，f(x)=0，显然 f(x)=0 M.当k丰0时，因为f(x)=sinkx M ,所以存在非零常数T,对任意x R,有f(x+T)=T f(x)成立，即 sin(kx+kT)=Tsirkx .因为 k丰 0，且 x R,所以 kx R, kx+kT R,于是 sinkx 1, 1, sin(kx+kT) 1, 1,故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有 T=二1，当 T=1 时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则 k=2m n , m Z .当 T= 1 时，sin(kx k)= si

10、nkx 成立，即 sin(kx k+ n )= sinkx 成立,则一k+ n =2m n , m Z，即 k= 2(m 1) n , m Z .实数k的取值范围是k| k= m n , m Z【名师指引】 学会紧扣“定义”解题【新题导练】10. (20101珠海质检理)定义a*b是向量a和b的“向量积”，它的长度 |(*b |=| a|J | sin已其中,为向量a和b的夹角，若 u (2,0), u v (1,-、.3),则 |u*( u v) |=.1解析v=(1, .3),u v=(3, .3),sin : u,u v|u (u v)|=2、32B、C、D、E、F、G、H、11. (2

11、010深圳二模文)一个质点从 A出发依次沿图中线段到达I、J各点，最后又回到 A (如图所示)，其中：AB_BC，AB/CD/EF /HG /IJ，BC/DE / FG / /HI /JA . 欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则 n = ( B )A. 2 B. 3C. 4 D. 5解析只需测量AB,BC,GH 3条线段的长AB12. (2010惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文(加密)，接受方由密文 、明文(解密)，已知加密规则为：明文 a,b, c, d对应密文A.4 , 6, 1, 7 B .7 , 6, 1 , 4 C3 +2b =5a =6

12、2b +c=7b =41 , 6, 4, 76 , 4, 1, 7 Da 2b,2b c,2c 3d ,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16 .当接受方收到密文 14,9,23,28时，则解密得到的明文为().解析由2c 3d =18得c=1，选C4d = 16d = 713.对于任意的两个实数对 (a,b)和(c,d)，规定：(a,b)=(c,d)，当且仅当a=c,b=d ；运算“： 为：(a,b) ： (c,d)二(ac-bd,bc ad);运算“二”为：(a,b)二(c,d) = (a c,b d),设 p,q ：= R , 若(1,2)： (p,q) =(5,0)，

13、则(1,2)二(p,q)二()A. (4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,-4)p2q=5p=1解：由题意，丿，解得丿，所以正确答案为(B).gp+q=01=-2点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算我们可以把该题还原为：已知复数z满足(1+2i)z = 5，贝U (1+2i)+z=.抢分频道基础巩固训练1、对于集合A,B,定义运算A-B二x|xA且x P B，则A-(A-B)=()A.B B.A C. A B D. AB解析D 用图示法2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题, 推理错误的原因是A.使用了归

14、纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但大前提错误D.使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C3、(华南师大附中2007 2008学年度高三综合测试(三)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： “若 a、b R,则 a b = 0 = a = b ”类比推出“ a、c C,则a b = 0= a = b “若 a、b、c、d R,则复数 a bi 二 c di = a 二 c, b = d ”类比推出a、b、c、d ：= Q，则 a b、_ 2 = c d . 2 = a = c,b = d ”b C侧a - b 0=

15、a b ” “若a、b、 R,则a -b 0= a b ”类比推出“若a、 “若 xR,则 | x | ： 1 = -1 ： x : 1 ” 类比推出“若 z- C,则 | z | ： 11 ： z ： 1其中类比结论正确.的个数有C. 3D. 4A. 1B. 2解析类比结论正确的只有解析设第n个图中有an个顶点，则a 33 3 , a 44 4， q二n，n r ,玄2=( n-2)2 n-2 二 n23n 25、如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间 D内的任意Xi , X2，Xn ,都有f（Xi）f（X2）血岂f （3Xn）.若八sin X在区间（0,二）上是凸nn函数，那么在

16、 A ABC中，sin A + sinB+sinC的最大值是 .解析sin A si n B sin Cm 3s inABC3.ji=3si n38、（2009惠州一模）设又记fi X 二 f x , fk i X 二 f fk X ,k =1,2,1 H,6、类比平面向量基本定理:“如果e,e2是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a，有且只有一对实数入，入2，使得彳=為 +规 ”，写出空间向量基本定理是：解析如果ei,e2,e3是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量a，有且只有一对实数Wr*1, 2, 3，使得 a 二心一2e2 3$综合提高训练7、（2009汕头一模）设

17、P是 ABC内一点，AABC三边上的高分别为hA、hp、he , P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有*+5=；类比到空间，hA hB hC设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是 hA、hB、he、hD , P到这 四个面的距离依次是la、lb、lc、Id，则有。解析用等面积法可得,hAhBhC类比到空间有豆.也.L . R = 1hAhBhC hD1 XX -11A； B C.X ;D. 1 -xX 1X1 +x1X 1解析Cf1（x）：f2（X）二f3(XPf4(X)1XXX 1f2008(X)二 f4（x）二 X则 f2008 X =()aia29、（ 1）已知等差数列 :,bnX，- fn 4（X）二 fn（x）- an /-(nN ），求证：仏詁仍为等差数列;(2 )已知等比数列 tn , Cn aO ( nw N ),类比上述性质，写出一个真命题并加以证 明.n an)解析(1) bn-01 01， bn .1 - bn 二，n22Gn 1为等差数列.bn 1 -bn工0= d为常数，所以 匕仍为等差数列；2 2(2)类比命题：若gn ?为等比数列,Cn A 0 ( n N*)，dn = g C2Cn，则dn 为等比数列证明：dn = #(G ,cn)2 = *C|Cn ， d =侖为常数，(dn 为等比数列dn V Cn1