最新高一数学竞赛试题及答案

1、精品文档高一数学竞赛试题及答案时间：2016/3/18注意：本试卷均为解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）xx2-3x+2=0,b=xx2+2(a+1)x+=0,ar设集合a=(a2-5)，（1）若a（2）若ab=2求a的值；b=a,求a的取值范围；（3）若u=r,a(cb)=a,求a的取值范围.u2.（本小题满分15分）设m=x|f(x)=x,n=x|ff(x)=x,（1）求证：mn;（2）f(x)为单调函数时，是否有m=n？请说明理由.精品文档2有最大值5，精品文档3（本小题满分15分）已知函数f(x)=2(sin4x+

2、cos4x)+m(sinx+cosx)4在x0,求实数m的值p精品文档精品文档4（本小题满分15分）f已知函数f(x)在r上满足f(2x)f(2x)，(7x)f(7x)且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2011,2011上根的个数，并证明你的结论精品文档精品文档5（本小题满分15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,br,a0)，设方程f(x)=x的两个实数根为x和x.2（1）如果x2x-1；1200（2）如果x0时，f(x)=lg(x2-ax+10)，ar.（1）若f(1)=lg5，求f(x)的解析式；（

3、2）若a=0，不等式f(k2x)+f(4x+k+1)0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f(x)的值域为r，求a的取值范围.精品文档精品文档高一数学竞赛试题参考答案1、解：a=1,2（1）ab=22b即，22+2（a+1)2+(a2-5)=0，解得a=-3或a=-12当a=-3时，b=x|x2-4x+4=0=当a=-1时，b=x|x2-4=0=-2,2综上a-1,-3（2）ab=aba当b=f时，则该一元二次方程无解，即，22(a+1)-4(a2-5)0，即a-3时，该一元二次方程有两个不同实数根1和21+2=-2(a+1)，即a=-5212=a2-5，即a=7（舍）,综上a(-,-3u=,

4、r（3）a(cb)=aaib=fu当时，即a-3，所以只需1b且2b将1代入方程中得a=-13;将2代入方程中得a=-3或a=-1所以a-3、a-1和a-13综上，a的取值范围为-(-，3)u(3,-1-精品文档u-u-u-3)(1-3,-1)(1,-1+3)(1+3,+)精品文档2、证明：（1）若m=f，显然有mn;若mf，则存在xm，满足f(x)=x，000)=f(x)=x所以ff(x000，故x0n，所以mn;（2）m=n.用反证法证明假设mn，由于mn，必存在xn,1但xm，因此f(x)x，111f若f(x)x，由于(x)为单调增函数，11x所以ff(x1)f(x1)，即1f(x1)，

5、矛盾；若f(x)x，由于f(x)为单调增函数，11所以ff(x1)f(x1)，即x10时，g(u)maxg(2)22+1=5，矛盾！当m-10时，g(u)016a+4b-302a4a-4-2b+30,精品文档只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0，这些f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)f(14x)，f(14x)f(4x)，即f10(x4)f(4x)f(x

6、10)f(x)，即函数f(x)的周期为10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nz)，f(3)f(310n)0(nz)，即x110n和x310n(nz)均是方程f(x)0的根由2011110n2011及nz可得n0，1，2，3，201，共403个；由2011310n2011及nz可得n0，1，2，3，200，201，共402个；所以方程f(x)0在闭区间2011,2011上的根共有805个5、解：设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1，则g(x)=0的二根为x和x.12g(2)04a+2b-10及x2x4，可得，即，即12b33+3-0,2a4a两式相加得b2a-1;

7、0（2）由(x-x)2=(12b-14)2-,可得2a+1=(b-1)2+1.aaa1又xx=0，所以x,x同号.1212精品文档x2，x-x=2等价于或,2a+1=(b-1)2+12a+1=(b-1)2+1精品文档0x2xx-2x0g(-2)0即g(0)0或g(0)02a+1=(b-1)2+12a+1=(b-1)2+1解之得b.446、【解析】（1）在rtddac中，ad=ac得：adc=45同理：adc=45cdc=90111得：dcdc,dcbddc面bcddcbc1111（2）dcbc,ccbcbc面accabcac1111取ab的中点o，过点o作ohbd于点h，连接co,ch1111

8、ac=bcco11111ohbdch1ab，面abc面abdco面abd1111111db得：点h与点d重合且cdo是二面角a-bd-c的平面角1112设ac=a，则co=2a1，cd=2a=2cocdo=30111既二面角a-bd-c的大小为30117、【解答】(1)令x0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)x22xb0，由题意b0且0，解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2y2dxeyf0.令y0得x2dxf0，这与x22xb0是同一个方程，故d2，fb.令x0得y2eyb0，此方程有一个根为b，代入得出eb1.所以圆c的方程为x2y22x(b1)yb0.精品文档假设圆c过定点(x，y)(x，y不依赖于b)，将该点的坐标代入圆c的方程，并变形为x2y22xyb(1y)0.(*)x00，x02，精品文档(3)圆c必过定点，证明如下：000000000为使(*)式对所有满足b1(b0)的b都成立，必须有1y0，结合(*)式得x2y20002xy0，00解得或y01y01，经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆c上，因此，圆c过定点精品文档精品文档f(x)=0,x=09、解：（1）因为f(1)=lg5,则f(x)=lg(11-a)=lg5,所以a=6所以当x0-lg(x2+6x+10),x0等价于k2x+4x+k+10，另t=2x(t0),于