相似三角形常用模型及应用

1、 .相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型a 字形ad ae deae ad de图 字型，结论：=ab ac bc=，图反 字型，结论：=ac ab bc=aadf bg=ef gcah - aa图双 字型，结论：，图含正方形 字形，结论=（ 为正方形边长）aaaahbcaaaaiffdeeededcbd h g cbgbcbc图图图图8 字型ao bo abao bo ab图8 字型，结论：=od co cd，图反 8 字型，结论：=co do cd、四点共圆ae df=be cf111图双 8 字型，结论：，图 8 字型，结论：+ab cd ef=a图，结论：ef eg=、=ssaed

2、sbecsabecdeaaebababbdafgoofeecdcddbccdfc图图图图图一线三等角型结论：出现两个相似三角形word 文档 .aaae60adeahdefeecbcdbbc ccbcdfbd图图图图角分线定理与射影定理ab bd=ac dcab bd，图外角分线型，结论： =ac cd图角分线型，结论：图斜射影定理型，结论：ab2 bd bc，=图射影定理型，结论：1、=ac2 ad ab，2、cd2=ad bd，3、= bc2 bd baeaacadbdcbcbbdcad梅涅劳斯型常用辅助线aaaadddgdeeegebcfbcfbbg cfcf中考满分必做题考点一 相似三

3、角形【例1】 如图， 、 是 d的边、ac ab上的点，且ad ac ae ab ，求证：ade= .=d eabcbaedbcword 文档 .【例2】 如图，在 dabc 中，的长.于 ，ad bc d ce ab e于 ，dabc 的面积是dbde面积的 4 倍，ac= 6 ，求deaebdc【例3】 如图，abc 中，abc = 60 ，点 是一点，使得apb = bpc = cpa pa = 8，pc = 6，pabc则=_pbapbc【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求ebf + ebgahgdfebc考点二：相似三角形与边的比例考点说明：可运用相似三角形模型，常用

4、 字形与8字形a【例5】 在 dabc 中，=，bd ce de的延长线交的延长线于 ， 求证：.bcpad bp ae cp=aedbcp【例6】 如图，在dabc 的边上取一点 ，在d取一点 ，使ad ae=，直线和de bc的延长线相abacebp bd=cp ce交于 ，求证：padepbcword 文档 .【例7】 如图， 、 为边abc bc上的两点，且满足，一条平行于 的直线分别交acmnbm mn nc=、ab am和的延长线于点 、 和 .d e fan= 3de求证：.efadebmncf考点三：相似三角形与接矩形考点说明：接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似

5、三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边 长为1.5 米，面积为1.5 平方米，工人师傅要把它加工成一个ab面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图所示，乙设计的方案如图所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）cdbcgedffb eaa【例8】 dabc 中，正方形的两个顶点 、 在e f上，另两个顶点 、 分别在、 上，abefghbcghacbc =15 bc,边上的高ad=10 ,求.swefghaaghfemcbedfcbdword 文档 .【例9】 如图，已知 dabc 中， ac = 5，ab =

6、11，bc = 4 5 ，四边形为正方形，其中 ， 在边d edegfg ab，bc 上， f ， 在上，求正方形的边长accdeafgb【例10】如图，已知dabc 中，四边形为正方形， ， 在线段d eac bc f g ab， 上， ， 在 上，如果degfs= s=1， s= 3 ，求 dabc 的面积dadfdcdedbegcdeafgb【例11】如图，在dabc 中，= 5 ，bc = 3，c= 4 ，动点e（与点 a ， 不重合）在边上，ef acabac交 于 点ab bc f（1）当 decf 的面积与四边形（2）当 decf 的周长与四边形的面积相等时，求ce 的长的周长相

7、等时，求ce 的长eabfeabf（3）试问在上是否存在点 ，使得 defp为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；abp若存在，请求出 ef 的长cefab考点四：与平行四边形有关的相似问题【例12】如图，已知平行四边形 abcd中，过点 b 的直线顺次与 ac 、ad 及cd 的延长线相交于点 e 、f 、g ，若 be = 5 ， ef = 2 ，则 fg 的长是_word 文档 .gfadebc【例13】如图，已知，2 =de ab oa oc oe，求证：ad bc.cdeoab【例14】如图，y abcd 的对角线相交于点 ，在的延长线上任取一点 ，连接交oe bc于点 ，若o

8、abefab = a，ad = c，be = b ,求 bf 的值dcofeba【例15】如图：矩形的面积是 36，在 ab，ad 边上分别取点 e ，f ，使得ae= 3eb ， df = 2af ，abcd且与de cf的交点为点 ，求 do的面积。fodbebceodaafk【例16】如图，已知在矩形中， e 为 ad的中点，ef ec交 ab 于 f ，连接（ ab ae ）.abcdfc（1） daef 与 decf 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.ab（2）设= 是否存在这样的 值，使得daef d ，若存在，证明你的结论并求出 值；bcf kkkbc若不存在

9、，说明理由.word 文档 .aedfbc考点五 与梯形有关的相似问题【例17】如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 ， ，则梯形的面积p qabcd22是（）dcq2op2ab( )( )22 p + q b p + qac22p2q2p2+q2+pqdp2+q2+p2+ q2【例18】如图，梯形 abcd中， adbc ，两条对角线 ac 、 bd相交于o ，若 s: s=1: 9 ，那么aodcobs: s= _bocdocadocb【例19】如图，在梯形 abcd中，adbc ，ad = 3，bc = 9，ab = 6 ,cd = 4 ，若 ef bc ，且梯形

10、aefd与梯形 ebcf 的周长相等，求 的长efadefcbword 文档 .【例20】已知：如图，在梯形 abcd中，ab cd m ab/ /， 是的中点，分别连接、ac bd md mc、，且与ac md交于点 ， 与e db mc交于 .f（1）求证：/ /ef cd（2）若ab a cd b= , = ，求的长.efmabfecd【例21】如图，在梯形 abcd 中， adbc ， ad = a，bc = b，e ，f 分别是 ad，bc 的中点， af 交 be于 ， 于 ，求 的长交p ce df qpqeadqpobcf【例22】如图，已知梯形中， /ad bc， = 90

11、， = ,ab a ad b bc= ,b a b de dc de= 2 （ ）,abcd于点 ，连接 .eca交ab（1）判断ddce 与 dade， ddce 与 dbce 是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出 、 满足什么关系时，它们就能相似.eabdaebc考点六：相似三角形与实际问题考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5 米和15米。已知小华的身高为1.6 米，那么他所住楼房的高度为_米【例24】如图，王华同学晚上由路灯 下的

12、 处走到 处时，测得影子的长为1米，他继续往前走3米abccd的长为 2 米，已知王华的身高是1.5 米，那么路灯 的高度 等于（ab到达 处时，测得影子）eefaa.4.5 米b.6 米c.7.2 米d.8 米aword 文档befc d .考点七：位似考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】如图，dabc 与 d 的位似中心为点 ，若a b abc= 2 ， = 5 ，则d与 d 的面积比a b ca b coab是_，与 的比是_ac a cabbocc【例26】作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（a.位似中心可以是多边形的

13、一个顶点 b.位似中心可以任意选取）c.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关d.所作出位似图形的大小与位似中心的位置有关【例27】如图是由边长为 1 个单位的小正方形组成的88 正方形网格， 为一个定点，在网格中画出一个o直角三角形，要求满足满足下列条件：三个顶点都是小正方形的顶点， 是一条直角边的中点，斜边o长，且以 为位似中心，相似比为3的位似图形也在正方形网格，这样的三角形能画出几个？o5ooooo考点八：“旋转相似三角形”模型 考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】如图，在dabc和 dade中， ，

14、abc = ade=bad cae（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）（2）请分别说明两对三角形相似的理由aedword 文档bc .【例29】我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：_（2）如图（1），在梯形 abcd中， adbc ， ac bd ，垂足为o ad求证：证明：+=+dc，即四边形 abcd是等平方和四边形ad2bc2ab22obc如果将图（1）中的daod 绕点o 按逆时针方向旋转a 度（0 a 0 ），= ，= ，第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5 为例简要说明理由daaaddefegfgbbbcccfg图6图4图5e1（3）在第（2）题图 5 中，连结，且 = 3 ， = 2 ， = ，求+dg的值dg 、 beabkbe222考点九：“双垂直”模型考点说明:射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例31】如图，直角abc 中，ab ac ad bc证明：=bd bc，=cd bc，=bd cdab2ac2ad2adbcword 文档 .【例32】如图， rt abc = 90，点 在上，ac= ， 是bd