菱形对称性的应用

1、菱形对称性的应用教学设计 一、教学目标： 知识与技能 ： 1. 进一步理解菱形是轴对称图形，掌握含60内角的菱形的特殊性质； 2. 会选择恰当的方法解决与菱形对称性相关的计算题和证明题 . 过程与方法： 1. 通过合作探究、推理交流等数学活动，发展学生的合情推理能力及应用数学的意识； 2. 通过运用菱形对称性的知识解决具体问题，培养逻辑推理能力 . 情感、态度与价值观： 1. 能从数学的角度探究菱形对称性的应用， 并能运用菱形的性质进行有关的证明和计算， 发 展应用意识 . 2. 在应用菱形对称性的过程中培养学生独立思考的习惯，在数学学习活动中获得成功的体 验. 二、学情分析 初二下学期学生知

2、识增多， 能力增强， 通过前面的学习学生已具备一些平行四边形的知 识，能够进行一般的推理和论证，同时对探求新知充满热情。但他们思维的局限性还很大， 能力也有差距，本节课是在讲完 18.2.2 菱形性质之后加入的一节专题课：菱形对称性 的应用 . 加入这节课的原因： 在整理菱形性质的习题时会发现含 60内角的菱形出现率较高。 含 60 内角的菱形，其对角线将其分成含 30 内角的直角三角形和等边三角形，由于这两 类三角形的性质特殊且应用广泛，与之结合再研究菱形就会脉络清晰，培养数学应用意识； 菱形有关的计算题和证明题， 主要涉及计算周长， 边长以及面积等， 在批改学生作业和订 正学生错题时， 发

3、现学生对于菱形对称性相关题目， 多数学生没有正确的切入点， 思路赘述 不清晰，缺少结合三角形和菱形解决问题的意识 . 结合以上几点，便确定了本节课内容的重点及难点 . 三、 重点难点 重点：含 60 度内角的菱形对称性的应用； 难点：灵活应用菱形的对称性解决相关的计算题和证明题 . 四、教学过程 活动 1：复习引入 问 1. 菱形有几条对称轴？ 分别是什么？ 设计意图：教师在黑板上画出图形 , 通过提问菱形的对称轴， 加深菱形是轴对称图形的认知， 引出本节课的主角菱形对角线 . 问 2. 菱形对角线有什么性质？ 设计意图： 师问生答， 菱形是对角线互相垂直且平分的四边形， 其性质就奠定了对角线

4、在菱 形中不可替代的作用 . 在此处提问的性质贯穿了整堂课的应用 . 活动 2： 问 3. 两条对角线将菱形分成几个三角形？ 设计意图：初步应用菱形的对称性采用问题串的形式，该问在前两问回忆复习的基础之上， 增加稍许的推理性，层层递进，突出轴对称性的应用放手学生独立思考得出结论 学生对 三角形与菱形的性质再认识， 从而加深对知识的理解， 也是后续探求菱形对称性应用的基础 . 活动3:练习巩固(一) 例1.如图，菱形ABCD勺对角线AC, BD相交于点0,且AC=8, BD=6, 过点0作OHL AB,垂足为点H,则点0到边AB的距离0H=. 设计意图：讲练结合，此题简单应用直角三角形及勾股定理

5、，解题关 键是迅速的找到菱形中的直角三角形 练1.已知菱形ABCD的周长是25,对角线AC的长度是8，则菱形的 面积是. C C 设计意图：巩固练习，承接例 1的思想与方法；通过三角形的面积间 接求出菱形的面积，灵活应用了三角形与菱形的关系；鼓励学生使用 不同的方法计算菱形的面积，体现一题多解的思想，学以致用 活动4:合作探究 类别 按角分类) 三角形 性质 B 问4.当/ BAD=60时，上述这些三角形有什么特点？填写如下表格 教师：教师深入小组，及时发现并纠正问题；学生探讨并派代表讲解结论.教师总结讲解， 学生独立整理结论 设计意图：进一步探究菱形的对称性应用 .从特殊角出发，当菱形的一个

6、内角为60度时， 其对角线分成的三角形也变得特殊，应用范围也随之扩大：有一对全等的等边三角形，可以 应用其三边相等、三个角相等和三线合一等性质；有四个全等的含30内角的直角三角形， 应用勾股定理和“直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半”的性质定理等.由于这些 结论的得出对于初学者有难度，所以设置小组合作的环节突破难点，同时利用表格有助于学 生理清脉络，并在合作交流中体验成功的愉悦 活动5:巩固练习(二) 例2.已知菱形ABCD的周长是4, 一个内角为60 (1) 求较短的对角线的长； (2) 求较长的对角线的长； 教师追问： 含60内角的菱形，其边长和两条对角线有什么关系? (3)若已知条

7、件换成周长为 4a,其余条件不变，求两条对角线的长 设计意图：问（1）应用探究中等边三角形的结论 ，巩固练习；问（2）在第一问的基础上， 应用 探究中直角三角形的结论，巩固练习；问 （3）在前两问的基础上，由特殊到一般，帮助学生 认知并归纳结论此时教师继续追问，放手学生得出结论. 练2.如图,菱形ABCD中，AB=6, / ABD=30 ,则菱形ABCD的面积为 设计意图：通过习题熟练应用例 2的结论以及菱形面积等于对角线乘 积一半；进一步了解分析问题和解决问题的基本方法 3. 已知菱形的一个内角为 60, 一条对 A.6 B.2 C. 6 或 2 D. 6 或 2 3 线的长为 ，则另一条对

8、角线长（） 设计意图：讲练结合，没有图形提示，两种情况体现分类思想，习题难度增加，具有挑战性 提高学习数学的兴趣 教师过渡：含60度内角的菱形有如此多应用，如果将这样的一张菱形纸片折叠，又会出现 怎样的效果呢？ 活动6:菱形与轴对称 例3在菱形纸片ABCD中，/ A=60,折叠菱形纸片 ABCD使点C落 在DP（ P为AB的中点）所在直线上的点 C处，得到经过点 D的折痕 DE则/ DEC的度数. 设计意图：折叠问题和菱形的综合应用，突出对称性；为了应用此题 涉及到常见的辅助线作法：连接菱形的对角线，构造等边三角形 ,从而使得题中已知角的数 量增加，有助于解题 练4将菱形纸片ABCD折叠，使点

9、A恰好落在菱形的对角线交点 0处, 折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2, / BAD=120，则EF的长为 设计意图：根据菱形的性质得出 AC平分/ BAD / BAO=60，由折叠 得出，AE=E0所以 AEO是等边三角形，证明四边形 AEOF是菱形， 得到结论此题还可以证明四边形 BEOF是平行四边形，或 EF是厶ABD的中位线等等，一 题多解此题难度略大，可视情况采取小组讨论得到结论 （此题视上课的时间、上课的状 态，再决定是否要留在课上解决） 练5如图，菱形ABCD中, AB=2, / B=120, E是AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点, 贝U PE+PB的最小值. 设计意图

10、：饮马问题是学生之前已熟知的对称性的应用，结合菱形自身 是轴对称图形这一特点，熟能生巧，融会贯通，用已知解决未知. D 活动7能力提升 练6 如图，点E、F分别是菱形 ABCD勺边BC CD上的点，且/ EAF=/ D=60, / FAD=45 , 求证 AEF是等边三角形. 设计意图：讲练结合，提升能力，活学活用此题为本节课综合性相对 较强的一道题目根据本节课已学习的知识，连接对角线，利用菱形中 的等边三角形的性质构造全等三角形，进而证明其他的等边三角形.,用 已知解决未知 变式 当E、F分别在线段CB DC的延长线上，/ EAF=Z D=60时，上述结论还成立吗？若 成立画出图形，写出求解过程 设计意图：鼓励学生创造性地运用所学过的知识进行变式。就是利用学生求新求异好胜的心 理特点，让学生自己动手进行变式探索 ，此题有效提高学生的分析问题和解决问题的能力，从 而培养了学生创造能力与发散思维的运用能力，升华本节内容 活动&课堂小结 问：通过这节课的学习，你有什么收获? 师生：学生总结学习本节所得收获， 概括本节课所学知识，提升归纳总结能力，教师通过框 架图系统地总结