初等代数研究课后习题答案完整版余元希

1、初等代数研究课后习题完整版湛江师范学院数学院09（ 7） 余1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即B B,与B为有限集矛盾，a综上，对任何 a,b N ，在 a b，2、证明自然数的加法满足交换律 . 证明：对任何 a,b N 设 M 为使等式 a先证 a 1 1 a ，设满足此式的1 k ，设 a k ， a 1 1b与a b不可能同时成立，a b ， a b 中有且只有一个成立 .b b a 成立的所有 b 组成的集合a组成集合k,显然有1+1=1+1成立a，则a k, k N ,取定 a，则 1 M，设 b M,a b b a ，则（1 ）对任何a,bN,当且仅当ab时，ba.（

2、2）对任何a,bN,在ab,a b , ab 中有且只有一个成立证明：对任何a,bN,设Aa,Bb（1）a”ab，则B,B ,使 A B, ,B B, A, b aa”ba ,则B,B ,使 B, A ,A B, B , a b综上 对任何a,bN , abba（2）由（1）abbaab与a 1b 不可能同时成立,假设 ab与ab 同时成立,则 B,B,使 A B,且 A B，对任何 a,b N ， a b b a3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定 a ，反证：假设至少有两个对应关系 f,g ，对 b N ，有f（b）, g（b） N，设M是由使f （b） g（b）成立的所有的

3、b组成的集合,1 1 1,1 b b b 1 1 b 11k,设 a K , b N ,f (b) g(b) a 11M设bN 则 f (b)g(b)f(b) a g(b) af(b ) g(b ) , bM,MN即 b N, f(b)g(b)乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a 组成集合 K当 a 1时,bN,有a, b与它对应，且1 a a, ab ab a，对 b N，令a b ab bp24 5、解：满足条件的a KKN 即乘法存在1,2,3,4，A 1,2,3,5，A1,2,4,5，A 1,2,3,4,5A有 A 1,2，A21,2,3，A 1,2,4，A 1,2,5A 2,A2A

4、A3, A5AA74, A85基数和为23 3 4 3 5 28p24 6、证明：Aa, B b，A中的x与B中的y对应ABab， BA ba abp24 &证明：1)3+4=72)3 4 12p2412、证明:1)(m n )m n2)(mn) nm mp26 36、已知f (m, n)对任何m, n N满足求证:1)f (2, n) n22)f(3, n) 2n 23)f(4, n) 2n1 2证明:1)当n 1时，f(2,1)f(1 1,1)f(1,2)2112结论成立，A5假设nk时，结论成立，即f (2, k)k 2，当n k 1时，所以对一切自然数结论都成立2)当 n 1 时，f(

5、3, n) f(21,n)f (2,2)2 22 12结论成立假设n k时，结论成立，即 f (3,k)2k 2当n k 1时，所以对一切自然数结论都成立3)当 n1时,f(4,1)f(31,1)f (3,2)2 2221 12 结论成立假设nk时，结论成立，即f (4, k)2k 1 2当n k 1时，所以对一切自然数结论都成立p62 1、证明定理2.1证明：a,b,c,d Z，a,b c,d a c,b d因为自然数加法满足交换律a c,b d c a,d b而c,d a,b c a,d b a,b c,dc,d a,ba,b,c,d,e, f Z ,以为自然数满足加法结合律(a,b c,

6、d) e, f a,b (c,d e, f )即整数加法满足交换律和结合律p622、已知a,b,c,d Z，求证a,bc,d的充要条件是a,bc,d1,1证明：“”已知a,bc, d则 a d bca?已知a,bc,d1,1则ad ,b c 1,1， a d b cp624、已知 a,bN，求证 (a, b)a,b证明：a,bb,a(a, b)b, aa,bp625、已知a,b,c,d Z，求证 (a,b c,d)a,bc,d证明：左边 (a, b c,d) a d,b c b c,a d右边a,b c,d b,a c,d b c,a d所以左边等于右边(a,b c,d)a,b c,dp627

7、、已知a,b,c N，求证当且仅当 a d b c时a,b c,d证明：“”已知 a d b c，a,b c,d a d,b c因为 a d b c a d,b c是负数， a,bc,d“”已知a,bc,d则a,b c,d a d,b c因为a d,b c是负数，a d b cp62 9、已知Z，求证：1)2)I I I II I证明：设a,b,c,d1) a c,b d(a c) (b d)而 a b, c d2) ac bd,ad bcac bd (ad bc)而 a b,c dp6312、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为 ak,bk ,k 1,2, n,求证：ai

8、2 af . a： bi2 bf . b：证明：对于 ak(k 1,2,., n)，必存在一个 bj( j 1,2,., n)使得 ak bjp6316、已知 p 10a b， p 10c d，求证 p ad bc证明：由已知：s,t Z 使 10a b ps， 10c dptp6317、设2不整除a，求证8 a21证明：因为2不整除a，所以存在唯一一对q, rZ，使a 2q r，其中0 rr 1， a2 4q2 4q 12a 1 4q(q 1)8 a2 1p63 20、设 aZ，求证a(a1)(a2)(a3)1是奇数的平方证明：a1,a2冃定奇一偶(a1)(a2)肯定为偶数(a 1)(a 2

9、)1肯定为奇数p63 22、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n个自然数的和为2因为：n个自然数的和仍为自然数1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n与n的个位数码只能是 1,4或4,1而(1+n) - n=1个位数码不能为 2若个位数码为4则1+n与n的个位数码只能是 1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14 也不可能成立，若个位数码为9则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18 也不可能成立，综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p6326、证明 2.3定理 1( a1,

10、a2,an,) =( a , a? ,. an)an的公因数中的最大数证明：因为：(a“a2,an,)是 aa2,所以R需考虑非负整数(a1, a2,an,)= ( , a2 ,an)p6329、证明2.3定理4的推论(a,b)1的充要条件是有 x, y Z使得ax by 1证明：因为(a,b) 1 a,b不全为oa”由定理 4 x, y Z 使 ax by (a,b)1a?设(a,b) d 则 d a,d b, d ax byd 1d (a,b)1p63 30、证明2.3定理6及其推论。定理 6：若m N，则(ma, mb) m(a,b)证明：若a,b都为0,则(0,0)m(0,0)显然成立

11、若a, b不全为零，则 xo, yo Z使ax by。(a,b)IIIIIImax mby (ma,mb)而 max mby m(ax by )因为 x, y Z，ax0 by ax byax0 by ax by而(ma,mb) am/ mby0 m(a,b) (ma,mb) m(a,b)推论：设d是a,b的公因数，贝U (a/d,b/d)1的充要条件是d (a,b)证明：“” d 是a,b 的公因数d N d d(a/d,b/d) (a,b)“”因为 d(a,b) x, y Z，使 axbydx,y Z，使(a /d)x (b/d)y1(a /d,b / d)1p64 32、证明2.3定理七

12、及其推论定理七：若(a,c)1, b Z , b,c中至少有一个不为0,则(ab,c) (b,c)证明：b, c中至少有一个不为 0x, y Z 使 abx cy (ab, c)因为(a,c)1 (ab,c) b,(ab,c) c 因为(b,c)(ab,c) (ab,c) (b,c)推论：若(a,c)1, (b,c)1,则(ab,c) 1证明：因为(b,c)1, b,c不为零 (ab,c) (b, c) 1p64 33、已知 n是奇数，na b,na b，求证 n(a,b)证明：因为 na b, na b n (a b) (a b), n (a b) (a b) n2a,n2b n 2(a,b

13、)，因为 n 是奇数，n(a,b)p64 36、已知(a,b)d,( a ,b ) d，求证(aa ,ab ,a b,bb ) dd证明：(aa ,ab ) a(a ,b ) ad ,(a b,bb ) bdp6440、已知a N，求证a,2 a,na中n的倍数的个数等于 (n,a)证明：当(n, a) 1时，nna结论成立，当(n,a) d 时，d 1，令 a da1， (n，印)1，则 a,2a,na可改写为da1,2da1, nda1 因为 d 1 所以其中一定包括 na1,2na (d 1)nadna1都是n的倍数，共有d个p6442、已知p是异于3的奇素数，求证 24 p2 1证明：

14、p是异于3的奇素数，p2 1为偶数，p 3p2 1 9p2 1 (p 1)(p 1)其中p 1,p 1都为合数，且都大于3p 1,p1都可被2、3中的一个整除，若2 p 1，则由p 1 (p 1) 222 p 1，因为 p 1 3, p 1324 p 1p6444、已知整数a,n都大于1，an 1是素数，求证a 2且n是素数证明：反证 n不是素数当a 2时an 1不是素数与已知矛盾，所以n是素数p6445、求不大于50的一切素数解：平方不大于 50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43，

15、47p64p6449、已知整数 a,b,c都大于 1，求证(a,c),(b,c)(a,b, c)证明：(a,c),(b,c)(a，C)(b，C)(亠)(a,b,c)(a,c),(b,c)(a,b)p66 69、已知p是奇素数，求证1) 12p 3P . (p 1)pO(mod p)2) 12p 13p 1. (p 1)p 11(mod p)证明：1)因为(1,p)1,(2, p) 1,.,(p1,p)11p 1(mod p) , 2p2(mod p) , 3p 3(mod p)(p 1)pp 1(mod p)因为 12 3 . (p 1)P(P 1) ppp(p 1)22)1p 1 1(mod p)，2p 11(mod p), 3p 1 1(mod p)(p 1)p 1 1(mod p)p66 70、设p,q是相异素数，求证1p 1q 1(mod pq)证明：pq 1 0(mod p)， qp 11(mod p),pq 1 qp 1 1(mod p)同理 pq 1 qp 1 1(modq)1(mod p,q)即 pq 1 qp 1 1(mod pq)p66 72、已知p是素数，N，求证(1