初二下期末几何压轴题及解析(20210108130211)

1、 ABC 图1的边上.小林设图1$ =;余下的 2F个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD勺边AB AD为边分别向外侧作等边三角形 ABF和ADE连接EB FD,交点为G.(1 )当四边形ABCD为正方形时(如图 1), EB和FD的数量关系是 ;(2) 当四边形ABCD为矩形时(如图2) , EB和FD具有怎样的数量关系 ？请加以证明；(3) 四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，/EGD是否发生变化？如果改变，请说明 理由；如果不变，请在图 3中求出/ EGD的度数.难度一般：证全等即可(第三问，图1中就能看出是45。)解(1

2、) EB=FD 。(2) EB=FD证： AFB为等边三角形， AF=AB / FAB=60/ ADE为等边三角形， AD=AE / EAD=60，/ FAB+Z BAD/ EAD+/ BAD即/ FAD=/ BAE,.A FADA BAE,. EB=FD(3)解： ADE为等边三角形，/ AEDZ EDA=60/ FADA BAEAEB=/ ADF设/ AEB为 x，则/ ADF也为 x于是有/ BED%( 60-x )，/ EDF( 60+x) Z EGD=180 - / BED-/ EDF=180 - (60-x) - (60+x) =60 2、已知：如图，在 口ABCD中，点E是BC的

3、中点， 连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF.(1) 求证： ABE FCE;(2) 若AF=AD，求证：四边形 ABFC是矩形.简单题证明：(1)如图1 .在厶 ABE 和厶 FCE 中，/ 1 = Z 2, Z 3=/ 4, BE=CE, ABE FCE .(2) ABE FCE , AB=FC ./ AB / FC ,四边形 ABFC是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形， AD = BC./ AF=AD , AF=BC .二四边形 ABFC 是矩形.3、已知： ABC是一张等腰直角三角形纸板，/B=90 , AB=BC=1 .(1 )要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形

4、的四个顶点都在计出了一种剪法，如图 1所示.请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来.剪(如图3),得到2个新的正方形，将此次所得 2个正方形的面积的和 记为S2，则S2=;在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪(如图4),得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为S3 ;按照同样的方法继续操作下去，第n次裁剪得到个新的正方形，它们的面积 的和Sn =(题外题：把你剪出的正方形的面积与图 本题相当于中考12题的简单题 解：(1)如图2;1分(2) 1 , 1 , 2n1 ,-1中的正方形面积进行比较。4、已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形 ABC

5、D的边长为4,它的顶点A在X轴的正半轴上运动,顶点D在y轴的正半轴上运动(点 相交于点P,连接OP .(1 )当OA=OD时，点D的坐标为A, D都不与原点重合)，顶点B，C都在第一象限，且对角线AC, BD482(3)设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的yf外题：当 OA Od时,12E图3/ POA=(2)当OAAB , D点在 AC上，AB = CD, E、F分别是 BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点 G,若/ EFC = 60 ，联结GD，判断 AGD的形状并证明。 （也可问/ ADG的度数。）判断： AGD是直角三角形。证明：如图联结 BD，取BD的中点H，

6、联结HF、HE ,1 F 是 AD 的中点， HF/AB,HF -AB ,二/ 1 = Z 3。21同理，HE/CD , HE =_CD ,/ 2=Z EFC。2/ AB = CD , HF = HE，/ 1 = Z 2,3=Z EFC。/ EFC= 60,./ 3 =Z EFC =Z AFG = 60, AGF是等边三角形。 AF = FG/ AF = FD, GF= FD，/ FGD = Z FDG = 30,/ AGD = 90,即厶AGD是（特殊）直角三角形。（GE=BG-BE , GH是直角三角形的斜边，这样证全等。）10、阅读下列材料:小明遇到一个问题：AD是厶ABC的中线， 点M

7、为BC边上任意一点（不与点 D重合），过点M作一直线，使其等分 ABC的面积.他的做法是：如图1，连结AM过点D作DN/AM交AC于点N,作直线MN直线MN即为所求直线.请你参考小明的做法，解决下列问题:（1）如图2,在四边形ABCD中, AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过 M作一直线MN使其等分四边形ABCD勺面积（要求：在图 2中画出直线MN并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A的直线AE,使其等分四边形 ABCD勺面积（要求：在图 3中画出直线AE,并保留作图痕迹）.（第二问，把厶ABC的面积接到DC的延长线上。）D11、已知：四边形 ABCD是正方形，点 E在CD边上，点

8、F在AD边上，且AF= DE.（1）如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2,对角线 AC与BD交于点O. BD、AC分别与AE BF交于点G,点H./A 求证C OG= OF| eD 连接 OP若AP= 4, OP= 72，求AB的长.图2D【第二问 第二问F 最终得 O图 证厶在PC是CBHOAOGAB上截取BQ=AP则厶直角三角形，可得PQ= BQEOPAPH图2=OQ AP=BQ 也可得/ OPGM OQP 又/ EPB=90 ,PB=6,在Rt APB中由勾股定理得的值。2倍根号13.）】12、已知：如图，梯形 ABCD 中，AD / BC,/

9、B=90 AD=a , BC=b , DC=a b，且b a，点m是ab边的中点.（1）求证：CM丄DM ;（2）求点M到CD边的距离.（用含a , b的式子表示）（我认为答案的思路不是最好。片D平分/ ADC C MC本题还有这样的思路：过 M做BC的平行线，交 DC于Q,则可证 MQ=DQ=CQ , B平分/ BCD，及/ DMC=90 ,;M到CD的距离也就是 Rt DMC斜边的高MN ,MN的平方=DN乘以NC=AD 乘以 BC=ab ,）证明：（1）延长DM , CB交于点E.（如图3）梯形 ABCD 中，AD / BC,/ ADM=/ BEM .点M是AB边的中点，AM=BM.在厶

10、ADM 与厶BEM中，/ ADM=/ BEM ,i/ AMD =/ BME ,AM=BM, ADM BEM . AD=BE=a , DM = EM . CE=CB+BE=b a ./ CD=a b , CE=CD . CM 丄 DM .解：(2)分别作MN丄DC , DF丄BC,垂足分别为点 N, F.(如图4)/ CE=CD , DM =EM , CM 平分/ ECD ./ ABC= 90 ，即卩 MB 丄 BC, MN=MB ./ AD / BC, / ABC=90 ，/ A=90 .V/ DFB=90,.四边形 ABFD为矩形. BF= AD=a , AB= DF . FC= BC BF

11、 =b a ./ RtA DFC 中，/ DFC=90,22222 DF DC FC =(a b) (b a) =4ab. DF= 2 ab . MN=MB = - AB= - DF = ab2 2A D图3a nC图4即点M到CD边的距离为. ab .13、已知：如图1,平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A, C的坐标分别为(6, 0), ( 0, 2).点1D是线段BC上的一个动点（点D与点B,C不重合），过点D作直线y = - X + b交折线0 A B于点E.2（1） 在点D运动的过程中，若 ODE的面积为S,求S与b的函数关系式， 并写出自变量的取值范围；（2） 如图2

12、,当点E在线段0A上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形 O A B, CB分别交CB,0A于点D, M , OA分别交CB , 0A于点N, E.探究四边形 DMEN各边之间的数量关系，并对你的结论加 以证明；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为O本题难度对于初二学生相当于 于【好好学习第一问的解题方法，第三问，E在OA上时，DE的长度不变，为2倍根号5,（延x轴平移C代数法用勾股定理可求得C25题。第二问由两组平行可得平行四边形，/ME的值。】OED= / ONED （对称性质），得菱形。DME：使 D与C重合，设DM=EM=x , M XDME使D与C解：(1)V矩形

13、OABC中，点A, C的坐标分别为(6,0),(0,2) ,/点B的坐标为(6, 2).若直线y若直线y1x21x21xb经过点C (0, 2)，则bb经过点A (6,0)，贝U b2当点E在线段OA上时，即2b 3时,(如图6)点E在直纟戋yx b 上，2当y0时，x2b,点E的坐标为1 (2b,0). S12b 22b .2当点E在线段BA上时，即3b 5时，(如图7)点D, E在直线y1xb上，2当y2时，x2b 4;当x6时，yb 3,点D的坐标为(2b4,2)，点E的坐标为(6,b3) SS矩形OABCS CODS OAES DBE若直线yb经过点B (6, 2)，则b5 12 2(

14、2b4) 23)b2 5b .综上可得：S2bb2(23),5b (35).(2) DM=ME=EN=ND .证明：如图8.四边形OABC和四边形O AB是矩形， CB / OA, CB/ OA,即 DN/ ME, DM / NE.四边形 DMEN是平行四边形，且/ NDE = / DEM .矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形 O A B C / DEM=Z DEN ./ NDE = Z DEN . ND=NE .四边形 DMEN是菱形. DM=ME = EN=ND .-(3)答：问题(2)中的四边形 DMEN中，ME的长为 2. 5 14、探究问题1 已知：如图1 ,三角形ABC中，点

15、D是AB边的中点，AE丄BC, BF丄AC,垂足分别为点 E, F, AE, BF交于点M，连接DE , DF .若DE= k DF ,贝U k的值为 .拓展问题2已知：如图2,三角形 且/ MAC = / MBC，过点M分别作求证：DE=DF.推广问题3如图3，若将上面问题ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点 M在三角形 ABC的内部, ME丄BC, MF丄AC,垂足分别为点 E, F,连接 DE, DF .2中的条件 CB=CA”变为CB毛A”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论（第三问，取BM和AM的中点，构造全等三角形，）122某区的模拟题与此高度相似

16、, 问题1 k的值为 1问题2 证明：如图9./ CB=CA,图9/ MAC = Z MBC ,/ CAB / MAC= / CBA / MBC ,即/ MAB = / MBA . MA = MB. ME丄BC, MF丄AC,垂足分别为点 E, F , / AFM=/ BEM=90 在厶AFM 与厶BEM中，/ AFM = / BEM , / MAF = / MBE , MA=MB, AFM BEM . AF=BE.点D是AB边的中点， BD = AD . 在厶BDE与厶ADF中，BD = AD ,/ DBE =/ DAF ,-BE = AF, BDE 也厶 ADF . DE=DF .问题 3

17、 解: DE=DF .证明：分别取点 D, G,H分别是AB , AM , BM的中点, DG / BM ,DH / AM，且 DG= 1 BM , DH = 1 AM . 22四边形DHMG是平行四边形./DHM = / DGM ,AM , BM 的中点 G, H，连接 DG, FG , DH , EH.（如图 10） ME丄BC, MF丄AC,垂足分别为点 / AFM=/ BEM=90 11 FG=AM= AG, EH=丄BM= BH .一2 FG= DH , DG= EH,/ GAF = / GFA,/ / FGM =2/ FAM ,HBE = / HEB ./ EHM =2 / EBM

18、 .图10/ FAM = / EBM，/ FGM = / EHM . / DGM +/ FGM = / DHM + / EHM，即/ DGF = / DHE . 在厶 EHD 与厶 DGF 中，EH = DG , / EHD =/ DGF , HD = GF , EHD DGF . DE=DF .16、如图，四边形 ABCD是正方形，点 G是BC上任意一点，DE丄AG于点E, BF丄AG于点F。(1) 求证：DE BF = EF;(2) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的 数量关系(不需要证明)；(3) 若AB=2a，点G为BC边中点时，

19、试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。 第一问，证全等即可得AE=BF , AF=DE。第三问，各三角形相似，两直角边的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。解：(1)证明：四边形 ABCD是正方形，BF丄AG , DE丄AG DA=AB，/ BAF+ / DAE= / DAE+ / ADE=90 / BAF= / ADE ,ABF DAE BF=AE , AF=DE ; DE-BF=AF-AE=EF(2 )如图，DE+BF=EF(3) EF=2FG过程： AB=2a，点G为BC边中点， BG=a由勾股定理可求AG . 5a又 AB丄BC , BF丄AC ,由等

20、积法可求 BF由勾股定理可求FG.5a5，AF4.5a5AE BF2.5a ,5EF2.5ra， EF=2FG17、如图，在线段 AE的同侧作正方形 ABCD和正方形BEFG (BEAB ),连接EG并延长交 DC于点M , 作MN丄AB，垂足为点N , MN交BD于点P,设正方形 ABCD的边长为1。(1) 证明：四边形 MPBG是平行四边形；(2) 设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;(3) 如果按题设作出的四边形MPBG是菱形，求BE的长。(图中的三角形多是等腰直角三角形，)证明：(1 )T ABCD、BEFG是正方形/ CBA= /

21、FEB=90，/ ABD= / BEG=45 , DB / ME。/ MN丄AB , CB丄AB , MN / CB。四边形 MPBG是平行四边形；112x ,22(0x1);(2)正方形 BEFG , BG=BE=xCMG= / BEG=45 , CG=CM=BN=1 x。 y= - (GB+MN ) BN= - ( 1+x) (1 x) 2 2(3) 由四边形BGMP是菱形，则有 BG=MG ,即 x=丿2 (1 x) o 解得 x=2 V2 , BE=2 2。18、将一张直角三角形纸片 ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕， CBE为等腰三角形；再继 续将纸片沿 CBE的对称轴E

22、F折叠，这时得到了两个完全重合的矩形(其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.请完成下列问题:(1)(2)(3)解:如图，正方形网格中的 ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图中画出折痕; 如图，在正方形网格中，以给定的 折成的“叠加矩形”为正方形； 如果一个三角形所折成的“叠加矩形”BC为一边，画出一个斜 ABC,使其顶点A在格点上，且 ABC为正方形，那么它必须满足的条件是(1)（说明B只需画口（2）（说明：只需画出满足条件的 一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.（3）19、考考你的推理与

23、论证C （本题6分） 如图，在 ABC中，D是BC边上的一点， E是AD的中点， 过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF BD，连结BF .（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB AC ,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论.难度一般 解(1)证明：T AF / BC,：/ AFE= / DCE./ E 是 AD 的中点， AE=DE ./ AEF= / DEC , AEF DEC . AF=DC. / AF=BD , BD=CD. , D 是 BC 的中点.(2)四边形AFBD是矩形， AB=AC , D 是 BC 的中点， AD 丄BC?，即/ ADB=90/ AF=B

24、D , AF / BC ,四边形 AFBD 是矩形.20、拓广与探索(本题7分)如图（1） , RtAABC中，/ ACB=90，中线BE、CD相交于点 O,点F、G分别是OB、OC的中点.（1）求证：四边形 DFGE是平行四边形;（2） 如果把 Rt ABC变为任意 ABC，如图（2）,通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立？（不 用证明）；（3） 在图（2）中，试想：如果拖动点 A,通过你的观察和探究，在什么条件下？四边形 DFGE是矩形，并 给出证明；（4） 在第（3）问中，试想：如果拖动点 A，是否存在四边形 DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应 的图形（不用证明）（第三问，

25、AB=A（但是，AB工AC时21、如图，点A （0, 4）,且底边上的高是B=A（图1） 时。第四问， 寸是菱形。）/点P为线段AB上的、（图 2）BC的3/2、倍时是正方形。保持这种高与边的比,、E-%个动点，作轴于点* PM y 轴，作PN x轴于点N,连接MN，当点P运动到什么位置时， MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长.（MN=OP，所以 0P丄AB时，MN也就是 0P最小，OP=12/5.）初三相似形22、如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC, AB=AD=DC= 4, C 60 AE BD于点E, F是CD的中点，连接EF.（1）求证：四边形 AEFD是平行四边形；（2

26、） 点G是BC边上的一个动点，当点 G在什么位置时，四边形 DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC边上能否找到另外一点 G，使四边形DEG F的周长与（2）中矩形DEGF的周长相等？请简述你的理由.（第二问，点 G为BC中点时，也是 AE的延长线与BC的交点。第三问，能找到。以EF为一边在EF的下方做 G1EF GFE , G1在BC上，但是不与 G重合，）23、（9 分）在梯形 ABCD 中，AB / CD , BCD 90，且 AB 1, BC 2 , CD 2AB。对角线 AC 和BD相交于点O ,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点 C旋转。（1）如图9

27、-1,当三角板旋转到点是；（2）继续旋转三角板，旋转角为立请加以证明；如果不成立，请说明理由;E落在BC边上时，线段 DE与BF的位置关系是，数量关系 ，请你在图9-2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成#【】（3）如图9-3,当三角板的一边CF与梯形对角线 AC重合时，EF与CD相交于点P,若OF5 ,6求PE的长。图9-1（第三问，证明两次相似，推导比例关系。解：（1）垂直，相等；（2）画图如图（答案不唯一）（1）中结论仍成立。证明如下： 过A作AM DC于M，则四边形CD 2AB , dm 2 1 2ECF 90o, BCF , DE5 BCDBCDDCE又 Q 34 ,图9-

28、2）多看看图9-3ABCMDC = BC。为矩形。 AM = BC=2 , MC=AB=1。DCE BCFBF, 12 90DEBF ,线段DE和BF相等并且互相垂直。(3)AB /CD,AOBABs COD ,CDOAOB 1Q AB1,CD2, OCOD 2、522OAo3同理可求得OBo35.5 ACQOFAFOA OF6，2 2.5CECFo2Q BCCD,BCD90,OBC 45 由（2）知 DCEBCF ,1 2 又3OBC45 ,CPE s COB OA OBOC ODPE CE. PE 。pe 卫。OB BC2 226初三相似形24、(9分)将一矩形纸片 OABC放在平面直角坐

29、标系中，O(0,0) , A(6,0) , C(0,3)。动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿 OC向终点C运动，运动2秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿3AO向终点O运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设点P的运动时间为t (秒)。(1) 用含t的代数式表示OP, OQ ;(2) 当t 1时，如图10-1，将 OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；(3) 连结AC，将 OPQ沿PQ翻折，得到 EPQ，如图10-2。问：PQ与AC能否平行？ PE与AC能 否垂直？若能，求出相应的 t值；若不能，说明理由。2解：(1) OP 6 t, OQ t3(2)当t

30、 1时，过D点作DD1 OA，交OA于D1，如图1, 3分D(1,3)。5则 DQ QO , QC3(3) PQ能与AC平行。若PQ / AC，如图2,则兰A，即6_L 6 ,OQ OC23t314 由714t ，而 0 t , t939PE不能与AC垂直。若PEAC ,延长QE交OA于F ,如图3,则QFOQQFt 二3oQF5 tACOC3533EFQFQEQF OQ.5 t t -(1)t (、5 1)。.7分333又Q RtA EPF s RtOCA,OCOA453而0 t - , t不存在。325、锐角 ABC中，AB=AC，点D在AC边上，DE丄AB于E, 延长ED交BC的延长线于

31、点 F.(1)当/A=40。时，求/ F的度数； 设/ F为x度，/ FDC为y度试确定y与x之间的函数关系式 第二问，/ B+x=90 , x+y= / B ,所以 y=90 -2x。解(1)V AB=AC,.BACB./ / A=40 , B70 ./ DE 丄 AB ,BEF90 F 20(2) /BC，A1802 B.FDCADE90A在厶BEF中，BEF 90 , B 90 F .CFDC 901802 F 902 F. y 2x 90 .26、如图1,正方形 ABCD的边CD在正方形 DEFG的 边DE上，连接AE、GC.(1) 试猜想AE与GC有怎样的数量关系；(2) 将正方形D

32、EFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2,连接AE和GC.你认为 中的结 论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；(3 )在(2 )的条件下，求证： AE丄GC.(友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等)延长相交可证得垂直，解：(1)猜想：AE=GC(2) 答：AE=CG 成立.证明：四边形ABCD与DEFG都是正方形， AD=DC, DE=DG, ADC= = EDG=90 . 1+ 3= 2+ 3=90 . 1= 2 ., ADE CDG ., AE=CG .(3) 延长AE, GC相交于出由(2)可知5= 4.又5 6=90 ,4 7=180 DCE=90

33、, 6= 7.又/ 6 AEB=90 , AEB= CEH. CEH 7=90 . EHC=90 ., AE GC .27、如图所示，在直角梯形 ABCD中, AD/BC,/ A= 90, AB= 12 , BC= 21, AD=1&动点P从点B出发， 沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点 Q同时从点A出发，在线段 AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t (秒)。(1 )当t为何值时，四边形 PQDC的面积是梯形 ABCD的面积的一半；C(2)四边形PQDC能为平行四边形吗？如果能， 求出t的值；如果不能, 请说明

34、理由.(3)四边形PQDC能为等腰梯形吗？如果能，求出 t的值；如果不能, 请说明理由.(第一问，t=37/6，第二问，t=5，第三问，不能，/ QPC大于90,不 能等于/ DCP；本题扩展：如果延 DA CB方向移动，则可以出现等腰梯形。28、(12分)如图，等腰梯形 ABC中, AD/ BC, M N分别是AD BC的中点，E、F分别是BM CM的中点.(1 )在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；(2) 判断并证明四边形 MENI是何种特殊的四边形？(3) 当等腰梯形 ABCD勺高h与底边BC满足怎样的数量关系时？四边形 MEN是正方形（直接写出结论，不需要证明

35、） 两对；菱形；一半。39、E是正方形 ABCD的对角线 BD上一点，EF丄BC, EGL CD, 垂足分别是F、G.求证：AE FG .简单题：连接 CE，则CE=FG，再证全等即可。证明：连接 CE v四边形ABCD为正方形 AB = BC，/ ABD =Z CBD = 45,/ C= 90v EFLBC, EGLCD, 四边形 GEFC 为矩形 GF= ECAB = BC在厶ABE和厶CBE中 / ABD =/ CBDBE = BE ABEA CBE - AE= CE/. AE= CF 30、在厶 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 点 D是 AB的 中点，连接 CD过B作BE! CD交CD的延长线于点 E, 连接AE过A作AFL AE交CD于点F.(1 )若 AE=5,求 EF;(2)求证：CD=2BE+DE.(第一问，/ EBD+/ ABC+/ B