流体力学丁祖荣上册习题解析

1、流体力学 B 篇题解B1 题解BP1.1.1根据阿佛迦德罗定律，在标准状态下（T = 273 K， p = 1.013 105 Pa）一摩尔空气（ 28.96 ）含有 6.022 10 23 个分子。在地球表面上70 km 高空测量得空气密度为8.7510 -5 /m3。 试估算此处 103 m3 体积的空气中，含多少分子数n ( 一般认为 n 106时，连续介质假设不再成立)答： n = 1.8210 3提示：计算每个空气分子的质量和103 m3 体积空气的质量解： 每个空气分子的质量为m28.96g4.8110 23 g6.0221023设 70 km 处 103 m3 体积空气的质量为M

2、M(8.75 10 5 kg/m 3 )(10 310 18 m 3)8.7510 20 gnM8.7510 20 g1.82103m4.8110 23 g说明在离地面 70 km 高空的稀薄大气中连续介质假设不再成立。BP1.3.1两无限大平行平板，保持两板的间距= 0.2 mm 。板间充满锭子油，粘度为 =0.01Pa s，密度为 = 800 kg / m3。若下板固定，上板以u = 0.5 m / s的速度滑移，设油内沿板垂直方向y 的速度 u (y)为线性分布，试求：(1) 锭子油运动的粘度；(2) 上下板的粘性切应力1 、 2 。答： = 1.25 10 5 m2/s, 1= 2 =

3、 25 N/m 2。提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。解：(1)0.01kg /sm1.25 10-5 m 2 /s800kg/m 3（ 2）沿垂直方向（ y 轴）速度梯度保持常数，du-312u / = (0.01Ns / m 2)(0.5m/s)/(0.2 10 m)=25N/m2dyBP1.3.2 20的水在两固定的平行平板间作定常层流流动。设y 轴垂直板面，原点在下板上，速度分布u ( y ) 为u6Q3 (byy 2 )b式中 b 为两板间距， Q 为单位宽度上的流量。若设b = 4mm ， Q 0.33m 3 /s m 。试求两板上的切应力。 w答：0.12410 3 N

4、/m 2提示：用牛顿粘性定侓求解，两板的切应力相等。解：由对称性上下板的切应力相等du6Q(b 2 y) y 06Qdy y 0b2b2查表 =1.002 10 3Pa s, 两板上切应力相等6(0.33m 3/sm)(1.002 10-3 Ns/m 2 )0.124 10 3 N/m 2(4 10 3 m) 2BP1.3.3牛顿液体在重力作用下，沿斜平壁( 倾斜角 ) 作定常层流流动， 速度分布u ( y)为ug sin(2hyy 2 )2式中为液体的运动粘度，h 为液层厚度。试求(1). 当30 0 时的速度分布及斜壁切应力w1(2). 当= 90时的速度分布及斜壁切应力w2(3). 自由

5、液面上的切应力0。；答： w11gh ；0=0。gh ；w22提示：用牛顿粘性定侓求解。解：（ 1） = 30时， u = g (2 h y- y 2 ) / 4du1g (hy)1w1dy y 02ghy 02(2)= 90时， u = g (2 h y-y 2 ) / 2w 2dug (h - y) y 0ghdy y 0(3)dug sin(h - y) y h 00dy yhBP1.3.4 一平板重= 9.81N ，面积A= 2 m2，板下涂满油，沿= 45 的斜壁滑下，油mg膜厚度 h = 0.5 mm 。若下滑速度U =1m/s, 试求油的粘度 。答：1.73410 3 Pa s提

6、示：油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡，油膜切应力用牛顿粘性定律求解，速度梯度取平均值。解：平板受力如图BP1.3.4 所示，油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡mg sinAU Ahhmg sin(0.510 3 m)(9.81N)s in45 3UA(1m/s)(2m 2 )1.734 10Pa sBP1.3.5一根直径 d =10 mm，长度l =3 cm 的圆柱形轴芯 ,装在固定的轴套内，间隙为= 0.1mm, 间隙内充满粘度 = 1.5Pa s 的润滑油 , 为使轴芯运动速度分别为V= 5cm/s, 5m/s,50 m/s轴向推动力 F 分别应为多大。答： F1= 0.

7、705N, F 2 = 70.5N, F3= 705N。提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。解： F =A，V， A=d l2FVdl(1.5N s/m )(0.01m)(0.03m) V14.1V(Ns/m )-30.110 m当 V1= 5 10 2 m/s 时， F1= 0.705 NV =5 m/s时，F =70.5N22V3=50m/s 时，F3=705NBP1.3.6 一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。轴径d = 20 cm,轴承宽 b = 20cm, 润滑油粘度 =0.2Pa s, 轴承转速为 n=150r/min 。设间隙分别为 =0.8mm,0.08mm,0.008

8、mm时, 求所需转动功率 W 。答: W177.4W,W2774W, W37740 W 。提示：轴承面上的切应力用牛顿粘性定侓求解，所需功率为W M, M 为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，为角速度。解 : 轴承面上的切应力为duddr2式中2 n / 602(150r/min) /(60s/min)15.7rad/s轴承面上的合力矩为MA ddb d1bd 2bd 32224所需要的功率为WM2 bd 3(0.2Pas)(15.7rad/s)2 (0.2m)(02m).3 1441N m 20.062()s当 = 0.8mm 时 ,W1 = 77.5W= 0.08mm 时 ,W2 =775 W

9、= 0.008mm 时 ,W3 = 7750WBP1.3.7旋转圆筒粘度计由同轴的内外筒组成，两筒的间隙内充满被测流体，内筒静止，外筒作匀速旋转。设内筒直径d = 30 cm；高 h = 30 cm ，两筒的间隙为 = 0.2 cm ，外筒的角速度为 =15rad/s，测出作用在内筒上的力矩为M= 8.5 N-m, 忽略筒底部的阻力，求被测流体的粘度 答： =0.176Pa s提示： M 为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，粘性力用牛顿粘性定侓计算,速度梯度用平均值。解：作用在内筒上的力F = M / 0.5 d 2M/d外筒的线速度为V(0.5d)由牛顿粘性定律FVdh(0.5 ) dh2M /

10、 dA2M 2)dh(0.5d2(8.5 N m)(0.210-2 m)0.176Pa s(15 rad/s) (0.3m) 2 (0.3m )(0.15 m 0.002m )BP1.4.1用量筒量得500ml 的液体，称得液体的重量为8N，试计算该液体的(1) 密度；(2) 重度 g ；(3) 比重 SG。答：1631 kg/m 3 ,g16kN/m 3 , SG =1.63.解：(1)m (8N )/(9.81m/s2 )1631 kg/m3500 10- 6 m3(2） g(1631kg/m 3 )(9.81m/s 2 )(16 10 3 kgm/s 2 ) / m 316 kN/m 3

11、(3) SG = (1631 kg/m 3) / (1000 kg/m 3) = 1.63BP1.4.2已知水的体积弹性模量为K =2 109 Pa，若温度保持不变，应加多大的压强p才能使其体积压缩5% 。答：p =10 8 Pa提示：按体积弹性模量的定义计算。解：由体积弹性模量的定义Kdpd/式中 为体积。与体积变化相应的压强变化为pK d( 210 9 Pa)( 0.05)108 PaBP1.4.3 压力油箱压强读数为3 105 Pa，打开阀门放出油量24kg，压强读数降至 1 105 Pa，设油的体积弹性模量为K9 Pa，密度为= 900 kg/m3，求油箱内油原来的体积。=1.3 10

12、答： =173.55m3提示：按体积弹性模量的定义计算。BP1.4.4将体积为求空气体积变化量1 的空气从。0加热至100，绝对压强从100kPa增加至500kPa，试答：0.727 1提示：用完全气体状态方程求解。解：设空气为完全气体，满足状态方程，从状态1到状态 2p1 1p22T1T2T2p1273 100 1000.273 121 T1p21273500(21 )(0.2731)10.727 1BP1.4.5玻璃毛细管的内径为d=1mm，试计算10 C 的水在空气中因毛细效应升高的最大值h 。答： h 0.03m解：查0.0742 N / m 2 ,h414(0.0742N / m 2

13、 )1gd0.03m(103 kg / m3 )(9.81m / s2 ) 10 3 mBP1.4.6两块互相平行的垂直玻璃平板组成间距b=1mm的狭缝，试求10 C 的水在空气中因毛细效应升高的值h ，并于 BP1.4.5 作比较。答： h 0.015m图 BE1.4.2解：参图 BE1.4.2 ，计算单位宽度的缝隙中水体的力平衡2 cosg hb2 cos2 0.07420 , h0.015mgb(9810kg / m 2 s2 )(10 3 m)讨论：升高值只有毛细管的一半。BP1.4.720 C 空气中有一直径为d1mm的小水滴， 试用拉普拉斯公式计算内外压强差p 。答：p 291.2

14、Pa解：22(0.0728 N / m2 )p0.5 10 3 m291.2PaRB2 题解BP2.2.1 已知速度场为u = 2y (m/s), v = 1 (m/s)，试求通过图BP2.2.1 中阴影面积（1）（右侧面）和（ 2）（上侧面）的体积流量Q1和 Q2。答： Q 1 =2 m3 /s， Q 2 = 6 m3/s解：由体积流量公式（B2.2.3 ）式 Q(v n) dAA对面积（ 1） n = idA = 2dyQ1(2 yij )i 2dy14 ydy2y2 12m3 /s000对面积（ 2） ndy idxj ， dA=2d s(s 沿 AB 线)Q(2 yidsdsdx j

15、)2ds2( 2 ydydx)4 ydy2dxj )( dy i12AdsdsA00= 2 y212x26m3/s00BP2.2.2 不可压缩粘性流体在圆管中作定常流动，圆管截面上的速度分布为u 10(1 r 2 / R2 )cm/s，圆管半径R=2cm ，试求截面上的体积流量Q，平均速度 V 和最大速度um 。答： Q =20 cm3/s， V=5 cm/s，u m= 10 cm/s解： Q(vn)dARu 2rdrR(1 -r 20202 )rdrA0RR3Rr 2 ) dr 20 (1 r 21 2 r 4 )20(r0R24R020(1R2-1R2)20(2 -1)20cm3 /s24

16、VQQ20cm 3/s5cm/sAR24cm 2um2V10cm/sBP2.2.3已知圆管定常流动中截面上的速度分布为uum (1r / R) n(n - 1,- 2)式中 um 为圆管轴线上的最大速度，R 为圆管半径。（ 1）试验证截面上的平均速度为2/(n1)(n2) ； （2）取 n= 1/7，求 V。V um答： V = 0.8167 um解：（ 1）Q1umRr n2um Rr nr r （ a）R) 2 r drR) dVAR2udAR20(1R20(1由积分公式(1r )n r drRRrd(1r ) n 1Rr (1r )n 1R(1r ) n 1 drRR0Rn 1 0Rn

17、1R00R2RRRr ) n 1 d(1r )Rr )(1(1n 1 0RR (n 1)(n 2)R 0R2( n 1)(n2)代入 (a) 式2umR22umV(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)R2当 n 1/7 时V2um0.8167um1)( 1( 12)77BP2.2.4 在习题 BP2.2.3 的速度分布式中取n = 1 / 10 ，计算动能修正系数，并与例 B2.2.2中 n = 1/7 的结果作比较。答： =1.031解：由 BP2.2.3 V2 um21010111um 0.8658um12)21(1)(10 10或 um / V= 1.155。由例 B2.2.2 动能修

18、正系数定义为2R2Rum (1r )1/ 103rdrR2( u )3 rdrR 20 V0VR21.153Rr )3/ 10 dr2(1R0R21.153R2R2332)(1)(10101.15532101013231.031计算表明，与1/7 指数分布相比，1/10 指数分布的速度廓线更加饱满，动能修正系数更接近于 1。BP2.3.1设平面流动的速度分布为u = x2, v = - 2 xy, 试求分别通过点 （ 2, 0.5），（ 2, 2.5），（ 2,5）的流线，并画出第一象限的流线图。答： x2 y C解：流线方程为dxdydydxx2,y22xyx积分可得 ln y = - 2

19、ln x + lnC1,y = C x 2 或 x 2 y = C通过（ 2， 0.5）时 C = 2流线为 x 2 y2(2， 2.5 )C= 10x2 y10(2， 5）C= 20x2 y20BP2.3.2设平面不定常流动的速度分布为u = x + t， v = -y + t，在 t = 0 时刻流体质点A 位于点 (1,1)。试求（ 1）质点 A 的迹线方程，（2） t=0 时刻过点（ 1, 1）的流线方程并与迹线作比较。答： (1) x2ett 1， y2e tt1;( 2) xy1解：（ 1）由 dxxt ,xC1ett1, t = 0时 x = 1, C 1 = 2由 dydtyt

20、 ,ye t (tet dtc2 ) e t (tetetC2 ) C2 e tt 1dty = 2 e t + t 1t = 0 时 y = 1, C2= 2, 迹线方程为x = 2et - t 1,(2) 由dxdy，（x + t） ( - y + t ) = C , t = 0 时 x = y = 1 ， C = - 1,x tyt此时的流线方程为x y = 1BP2.3.3 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v= 1,在 t = 1 时刻流体质点 A 位于 (2,2)。试求 (1)质点 A的迹线方程；(2) 在 t=1 、2、 3时刻通过点（ 2, 2 ）与流线方程 , 并作

21、示意图说明。答： (1) y(2lnx1)1/ 21,(2) y1ln x C2t解：（ 1）由 dxuxt ， dxxtdt ，解得 ln x1 t 2C1dt12因 t = 1 时， x = 2,可得 C1ln 2。代入上式得2ln x ln 211 t 2 ,2 ln x1 t 2222（a）t (2 ln x1)1/ 22由 dy v 1解得 dtytC2（b）因 t = 1 时， y = 2 可得 C2 = 1由 (a), (b) 式可得质点 A 的迹线方程为y(2 ln x1)1/ 212（ 2）流线方程为dxdyxt1积分得1 ln xy C3或 y1 ln xC3ttxt =

22、1 时 x=y=2， C3 =- ln2 2，流线方程为yln x ln 2 22ln1 ln 2 2 ，流线方程为1 ln x1 ln 221 ln xt=2 时 x=y=2，C3y2222222t=时 x = y = 2，C31 ln 22 ，流线方程为y1 ln x1 ln 221 ln x233332t = 1时，迹线与流线在点（ 2， 2）相切，随时间的增长，过点（2， 2）的流线斜率越来越小。BP2.3.4 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v = -(y+2) t, 试求迹线与流线方程。答： x(y+2) = C解：迹线方程为dxdydtxt( y2)t将上式中分母上的

23、t 消去后，两项分别仅与x 和 y 有关，只能均为常数。因此迹线与时间 t 无关dxdy(a)x( y2)积分得ln xln( y 2)Cx ( y + 2 ) = C(b)(a)式也是流线方程，与迹线方程形式相同。讨论：本例属不定常流场，每一时刻同一点的速度不相同，但由于两个速度分量与时间成比例关系，流线与迹线的形状均不随时间变化，且相互重合。BP2.3.5在流场显示实验中，从原点连续施放染料液形成脉线。设速度场由下列规律决定：0 t2su =1m/sv=1m/s2s t 4su=0.5m/sv=1.5m/s试画出 t = 0、 1、2、 3、 4 s 时流过原点的质点迹线及由这些质点组成的

24、脉线。提示：这是不定常流场， 脉线与迹线不重合。 画出从原点出发的质点每一时刻的位置可得到每一质点的迹线， t = 4s 时 5 个质点位置的连线是该时刻的脉线。解：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。在每一时刻质点的位置如下表所示t /s01234质点 a(0,0)(1,1)(2,2)(2.5, 3.5)(3.0, 5.0)b(0,0)(1,1)(1.5, 2.5)(2.0, 4.0)c(0,0)(0.5, 1.5)(1.0, 3.0)d(0, 0)(0.5, 1.5)e(0, 0)上表中横向行中数据组成迹线，竖向列中数据组成脉线。BP2.4.1 已知流场的速度分布为V = xyi + y2j

25、 ，试问（ 1）该流场属几维流动？ （ 2）求点（ 1 ,1）处的加速度。答： (1)二维； (2)(2,2)解：（ 1）速度分布式中只包含2 个变量，为二维流动；（ 2） a xuuvuxyyy 2 x2y 2 x ,ax (1,1) = 2xya yuvvvxy0y 2 2 y2 y 3,ay (1,1) = 2xyBP2.4.2已知流场的速度分布为V = (4 x3+2y+xy)i + (3 x- y3+z动？（ 2）求点（ 2, 2, 3）处的加速度。) j，试问（1）该流场属几维流答： (2004， 108，0)解：（ 1）属三维流动；（2）axuuu( 4x32y xy)(12x2

26、y) (3x y3)( 2x)uvwzxyz= (4 8+2 2+2 2) (48+2)+(6 - 8+3)(2+2) = 40 50 + 4 = 2004ayu vv vw v(4x 32 y xy)3(3xy 3z)( 3y 2 )xyz= 40 3 12 = 108BP2.4.3 已知流场的速度分布为V = x2yi - 3yj +2 x2k，试问（ 1）该流场属几维流动？（2）求点（ 2, 1, 1）处的加速度。答：（ 4, 9, 32）解：（ 1）属二维流动；（ 2）axuuxvuywuzx2 y(2 xy)(3y)x22x3 y3x2 y16124ayuvxvvyw vz3y(-3

27、)9azuwxvwywwzx 2 y(4 x)4x3y32BP2.4.4不可压缩无粘性流体在圆管中沿中心轴x 轴作一维定常流动，在0x 30m段，由于管壁为多孔材料，流体从管壁均匀泄漏，速度的变化规律为u (x) = 2 (10 - 0.3x)m/s，试求此段的流体加速度ax 表达式及x =10m处的加速度值。提示：用一维定常流动连续性方程axuu求解。流体沿管轴作减速运动，减速度与xx 有关，在x =33.3m 处， ax = 0。答： - 8.4 m/s2解：对一维定常流动a xu2(10 0.3x)2( 0.3)1.2(10 0.3ux)xax (x = 10) = - 1.2 7 m/

28、s2= - 8.4 m/s2B3 题解BP3.1.1试判断下列各二维流场中的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件：(1) u = x2+2x- 4y,v = - 2xy- 2y(2)u = x2+xy- y2,v = x2+y2(3)u = x t +2y,v = x t 2- y t(4)u = x t2, v=xyt+y2提示：按uvv0 判断xy答：（ 1）满足，（ 2）不满足，（ 3）满足，（ 4）不满足解：（ 1） uv( 2x2)( 2x2) 0 ，满足不可压缩流体连续性条件。xyuvy)2 y0 ，不满足。（ 2）(2 xxy（ 3）uvt( t)0 ，满足。xy（ 4）uvt

29、 2( xt2) 0 ，不满足。xyBP3.1.2试判断不列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件：（ 1） u2x 2y,v2 y 2z,w4 xy zxy（ 2） u2xyz2 , vx 2y2z, wyx 2y2x 2y22x2y2（ 3） u2xzy2 ,v2 yzx2 yz,w2xyz2 x（ 4） uxyt,v2 yzt 2 ,wz2t 2zyt提示：按vuvw0 判断xyz解：（ 1） uvw4x4 y 4( xy)0 ，满足不可压缩流体连续性条xyz件。(2)u2yz(x 2y2 ) 22( x2y 2 ) 2x(2xyz)x( x2y 2 )42yz( x2y2

30、)24 yz( 2x42x2 y 2 )( x 2y2 ) 4v2yz( x 2y2 ) 22( x2y 2 )2 y( x 2y2 ) zy( x2y 2 )42 yz( x2y2 )24 yz(x 4y 4 )( x 2y2 )4w0,uvw0，满足。zxyz（ 3）uvw2z(2z)x2 z2zx0 ，不满足。xyz（ 4）uvwyt(2zt 2 )( 2zt 2yt )0，满足。xyzBP3.1.3 在不可压缩流体三维流场中，已知 ux2y 2xy2, v y 22 yz ，试推导另一速度分量w 的一般表达式。答： w( 2xzz2 yzz2 )C解：由u2x1和 v2y2z,w( uv )( 2x 12 y2z)xyzxyw(2xzz 2 yz z2 )CBP3.1.4在