热传导方程(扩散方程)

1、1 从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类 典型方程典型方程 根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出 定解条件定解条件 提出相应的定解问题提出相应的定解问题 第一章第一章 数学建模和基本原理介绍数学建模和基本原理介绍 2 1.1 1.1 数学模型的建立数学模型的建立 数学模型建立的一般方法：数学模型建立的一般方法： 确定所研究的物理量；确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系；建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析

2、这种相互该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式表达为数学式; ; 简化整理，得到方程。简化整理，得到方程。 3 第一节第一节 热传导方程的导出和定解条件热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出：一、热传导方程的导出： 给定一空间内物体给定一空间内物体 ，设其上的点，设其上的点 在时刻在时刻 的温度为的温度为 。 模型：模型： 问题：问题：研究温度研究温度 的运动规律。的运动规律。 G ( , )x y z t( , , )u x y z t ( , , )u x y z t 4 1 1、热

3、量守恒定律、热量守恒定律: : 2 2、傅里叶、傅里叶（Fourier）热传导定律热传导定律: : 温度变温度变 化吸收化吸收 的热量的热量 通过边通过边 界流入界流入 的热量的热量 热源放热源放 出的热出的热 量量 ( , ), u dQk x y zdSdt n 为热传导系数。为热传导系数。( , )k x y z 3 3、热量公式、热量公式: :Qcmu 5 任取物体任取物体 内一个由光滑闭曲面内一个由光滑闭曲面 所围成的区所围成的区 域域 ，研究物体在该区域，研究物体在该区域 内热量变化规律。内热量变化规律。 1 Q 热传导方程的推导：热传导方程的推导： GS 热量热量 守恒守恒 定律

4、定律 区域区域 内各点的温度从时刻内各点的温度从时刻 的温度的温度 改变为时刻改变为时刻 的温度的温度 所吸收（或所吸收（或 放出）的热量，应放出）的热量，应等于等于从时刻从时刻 到时刻到时刻 这这 段时间内通过曲面段时间内通过曲面 流入（或流出）流入（或流出） 内的内的 热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即 1 t 2 t 1 ( , , , )u x y z t 2 ( , , , )u x y z t 1 t 2 t S 内温度变化所需要的热量内温度变化所需要的热量 =通过曲面通过曲面 流入流入 内的内的热量热量 +热源提供的热量热源提供的热量 Q

5、 S 2 Q 下面分别计算这些热量下面分别计算这些热量 6 ( , , ),cc x y z （1） 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量 Q G 那么包含点那么包含点 的体积微元的体积微元 的温度从的温度从 变为变为 所需要的热量为所需要的热量为 1 C 21 ( , , ,)( , , ,)dQcu x y z tu x y z tdV dV 设物体设物体的比热（单位质量的物体温度改变的比热（单位质量的物体温度改变 所需要的热量为所需要的热量为 密度为密度为( , , ),x y z ( , , )x y z 1 ( , , , )u x y z t 2 ( , , , )u x

6、y z t 整个整个 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量 Q 22 11 21 ( , ,)( , ,) ()(1.1) tt tt QdQcu x y z tu x y z tdV uu cdt dVcdV dt tt 7 （2）通过曲面）通过曲面 进入进入 内的热量内的热量 1 QS 由傅里叶热传导定律，从由傅里叶热传导定律，从 到到 这段时间内通过这段时间内通过 进入进入 内的热量为内的热量为 2 t 1 t S 2 1 1 ( , ), t t S u Qk x y zdSdt n 由高斯公式由高斯公式 x S divAdxdydzA ndS 知知 2 1 1 ()()().

7、(1.2) t t uuu QkkkdV dt xxyyzz 8 （3）热源提供的热量）热源提供的热量 2 Q 用用 表示热源强度，即单位时间内从单位表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从体积内放出的热量，则从 到到 这段时间内这段时间内 内热内热 源所提供的热量为源所提供的热量为 ( , , , )F x y z t 2 t 1 t 2 1 2 ( , , )(1.3) t t QF x y z t dV dt 由热量守恒定律得：由热量守恒定律得： 22 11 2 1 ()()() ( , , , ) tt tt t t uuuu cdVdtkkkdV dt txxyyzz

8、 F x y z t dVdt 由由 及及 的任意性知的任意性知 12 ,t t ()()()( , , , ).(1.4) uuuu ckkkF x y z t txxyyzz 9 三维无热源热传导方程：三维无热源热传导方程： 222 2 222 0 .(1.6) uuuu a txyz 三维有热源的热传导方程：三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物均匀且各向同性物 体，即体，即 都为常数的物体）都为常数的物体） 222 2 222 ( , , ),(1.5) uuuu af x y z t txyz 2 , kF aff cc 其中其中称为非齐次项（自由项）。称为非齐次项（自由项）。

9、 ,ck 通常称（通常称（1.5）为）为非齐次的热传导方程非齐次的热传导方程，而称（，而称（1.6） 为为齐次热传导方程齐次热传导方程。 10 二、定解条件（初始条件和边界条件）二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：初始条件： ( , )( , ),( , ),0: (1.7)u x tx y zx y zGt 边界条件：边界条件： 1 1、第一边界条件、第一边界条件（ （ Dirichlet 边界条件）边界条件） 特别地：特别地： 时，物体表面保持恒温。时，物体表面保持恒温。( , , )0g x y z t ( , , ),( , ),0,(1.8)ug x y z tx y zt

10、 ()G 11 2 2、第二边界条件、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）边界条件） ( , , )0g x y z t 特别地：特别地： 时，表示物体绝热。时，表示物体绝热。 3 3、第三边界条件、第三边界条件 ( ( D-N 混合边界条件混合边界条件 ) ) ( , , ),( , ),0,(1.9) u kg x y z tx y zt n ( , , ),( , ),0,(1.10) u ug x y z tx y zt n 11 1 0,. kk gu kk 其中：其中： 表示表示 沿边界沿边界 上的单位外法线方向上的单位外法线方向 的方向导数的方向导数 u n u n 注：

11、注： 12 注意第三边界条件的推导：注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为把一个温度变化规律为 的物体放入的物体放入 空空 气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度 为为 ，它与物体表面的温度，它与物体表面的温度 并不并不 相同。这给出了第三边界条件的提法。相同。这给出了第三边界条件的提法。 1( , , , ) u x y z t ( , , , )u x y z t ( , , , )u x y z t 热传导热传导 试验定试验定 律或牛律或牛 顿定

12、律顿定律 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比： 11 (),(1.11)dQk u u dSdt 其中比例常数其中比例常数 称为称为热交换系数热交换系数 1 0k 13 流过物体表面流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶的流量可以从物质内部（傅里叶 定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定： 11 (), u kdSdtk uu dSdt n 或或 11 (). u kk uu n ( , , ) ()|( , , , ). x y z u ug x y z t n 即得到（即得到（1.10）：）：

13、 14 例例 长为长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 0 q ，写出这个热传导问题的边界条件。，写出这个热传导问题的边界条件。 在边界上有：在边界上有： 若端点是绝热的，则 解： n u kq 0 0 |qq x u k n u k n lx lx x=l处： 0| 0 x lx x u x u x q0 q0 nn k q x u x 0 0 | x=0处： 00 )( |qq x u k n u k n lx x k q x u lx 0 | 15 三、定解问题三、定解问题 定义定义1 在区域在区域0,)G 上，由偏微分方程、初上，由偏微分

14、方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题初边值问题或混合问题。 2 12 0,0,0, ,0( ),0,0, ,( ),( ),0,0. txx x ua uxlt u xxxl t u o ttul thu l ttth 例如三维热传导方程的第一初边值问题为：例如三维热传导方程的第一初边值问题为： 2 0 ( , , ) ()( , , , ), ( , , , ),0, ( , , , )|( , , ),( , , , ), |( , , , ),0. txxyyzz t x y z ua uuuf x

15、y z tx y z tt u x y z tx y zx y z t ug x y z tt 16 始条件组成的定解问题称为始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：例如三维热传导方程的初值问题为： 定义定义2 在区域在区域 3 0,)R 上，由偏微分方程和初上，由偏微分方程和初 23 3 0 ()( , , , ), ( , , , ),0, ( , , , )|( , , ),( , , , ). txxyyzz t ua uuuf x y z tx y z tRt u x y z tx y zx y z tR 17 2 2、上述边界

16、条件形式上与波动方程的边界条件上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样；一样，但表示的物理意义不一样； 3 3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。程有两个初始条件。 1 1、热传导、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以方程不仅仅描述热传导现象，也可以 刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程； 注注 4 4、除了三维热传导方程外，物理上，除了三维热传导方程外，物理上，温度的分温度的分 布在同一个界面上是相同的布在同一个界面上是相同的，可得，可得一维热传导方一维热传导方

17、程：程： 2 2 2 .(1.12) uu a tx 而对于薄片的热传导，而对于薄片的热传导，可得可得二维热传导方程：二维热传导方程： 22 2 22 ().(1.13) uuu a txy 18 3 3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、 扩散等的扩散等的稳定稳定过程时，由于表达该物理过程的物过程时，由于表达该物理过程的物 理量理量 不随时间变化而变化，因此不随时间变化而变化，因此 . .u 0 u t 如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到 不随时间变化而变化的温度

18、不随时间变化而变化的温度 所满足的方所满足的方 程：程： , , ,u x y z t 222 222 0,(*) uuu xyz 方程方程( (* *) )称为三维称为三维拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程或者或者 调和方程调和方程，它通常表示成为，它通常表示成为 或者或者 的形式。的形式。 0u 2 0u 19 拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。电场的电位分布等物理现象。 222 222 , ,( )

19、uuu fx y z xyz 其中其中 , ,( , , )/ .fx y zF x y xk 如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程：如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程： 非齐次方程非齐次方程 通常叫做通常叫做泊松泊松(Poisson)(Poisson)方程方程，记作，记作 , ,uf x y z 或者或者 2 , ,.ufx y z ( ) 20 ()( , , ),( , , ), ( , , )|( , , ),( , , ). xxyyzz uuuf x y zx y z u x y zx y zx y z ( , , ),( , , ), ( , , ),( , , )

20、. uf x y zx y z u x y zx y z n ( , , ),( , , ), ( , , ),( , , ). uf x y zx y z u ux y zx y z n 1 1、DilichletDilichlet问题。问题。 2 2、NeumannNeumann问题。问题。2 2、NeumannNeumann问题。问题。 3 3、 第三边值问题。第三边值问题。 21 波动方程（双曲型）波动方程（双曲型） 声波、电磁波、杆的振声波、电磁波、杆的振 动；动； 热传导方程（抛物型）热传导方程（抛物型） 热传导，物质扩散时热传导，物质扩散时 的浓度变化规律的浓度变化规律, , 土

21、壤力学土壤力学 中的渗透方程中的渗透方程; ; LaplaceLaplace方程方程 （椭圆型）（椭圆型） 稳定的浓度分布稳定的浓度分布, , 静电场的电位静电场的电位, , 流体的势。流体的势。 总总 结：结： 22 1.3 1.3 定解问题的提法定解问题的提法 初始条件和边界条件通称为初始条件和边界条件通称为定解条件定解条件。 定解问题定解问题是指泛定方程和相应定解条件的结合体。是指泛定方程和相应定解条件的结合体。 泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为初值初值 问题问题或者或者柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)问题问题。 )( )(| )0

22、,( 0 0 2 xxu txuau t xxt 23 )(| )( )(| )0,( 0 0 0 2 xu xxu txuau tt t xxtt 波方程的Cauchy问题 由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。边值问题。 ).,( ,),( , 0 yxfu yxu Laplace方程的边值问题 24 由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为的定解问题称为混合问题混合问题。 ), ,()( ),( ),( 0,),( 0)( 0 2 tzyxfu n u zyxzyxu t

23、zyxuuuau t zzyyxxt 热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题 25 22 2 0,0; 22 uu axlt tx , 2 2 ll l 0 例例 设弦的两端固定于设弦的两端固定于x=0 和和x=l，弦的初始位移，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。 解：解： ,0 2 ,0 0 0 , 2 l xx u u t lt t lxxl 0; 0 uu xxl 26 一个定解问题的一个定解问题的适定性适定性(Well-posedness)(Well-posedness)包含以包含以 下几个方面：下几个方面： 1 1）解的）

24、解的存在性存在性，即所提的定解问题是否有解；，即所提的定解问题是否有解； 3 3）解的）解的稳定性稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的， 否则称解是不稳定的。否则称解是不稳定的。 2 2）解的）解的唯一性唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的，即所提的定解问题是否有唯一的 解；解； 27 数理方程的一些基本概念数理方程的一些基本概念 (1) 偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导

25、数的方程，如含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 222 22 ( , , ,)0 uuuuu F x yu xyxyx y 其中其中( , ,)u x y 是未知多元函数，是未知多元函数，而而 , ,x y 是未知变量；是未知变量； , uu xy 为为 u 的偏导数的偏导数. 有时为了书有时为了书写方便，通常记写方便，通常记 2 2 , xyxx uuu uuu xyx 28 (2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶为方程的阶 (3)方程的次数方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程中最高阶偏导数的幂

26、次数称为 偏微分方程的次数偏微分方程的次数 (4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所 有（组合）偏导数的有（组合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称为线性方程，都是一次的，就称为线性方程， 高于一次以上的方程称为非线性方程高于一次以上的方程称为非线性方程 29 (5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程 (6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数

27、及其偏导数的 项称为自由项项称为自由项 30 5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个 连续函数就是该偏微分方程的古典解。 通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常 数的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。 6 6、求解方法、求解方法 分离变量法、 特征线法、格林函数法 31 例例2.1 设 在直线R上具有二阶连续导 数， ，验证 在 平面上都是 的古典解. ),(),( 1 atxFtxu ,F xG x )(),

28、( 2 atxGtxu 21 uu 和 xot0 2 xxtt uau 解解 直接计算可得 ).( ),( 2 1 2 1 atxF x u atxF x u ).()( ,)( 22 2 1 2 1 atxFaaatxF t u aatxF t u 2 1 2 x u 2 1 2 t u 2 u 代 ， 到方程中即得结论成立. 类似可证 也是方程的古典解. 32 33 (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和 变系数微分方程变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程 3 3

29、、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程和高阶微分方程； 34 x x u a t u 2 2 2 2 2 22 2 22 uu au xt 2 2 2 uu axu xt 2 22 11 0 uu 判断下列方程的类型 思考 35 36 2 111 0 nnn iki iki

30、 iki uu ABcuf x xx fFu y u E x u D y u C yx u B x u A 2 22 2 2 2 一般二阶线性偏微分方程（n个自变量） 两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式 线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理 37 称形如 0 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 x x B c y b x b y a yx a x aL 的符号为微分算子。 0 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 x x u uB c y u b x u b y u a yx u a x u auL 38 二阶偏微分方程 fcu y u b x u b y u a yx u a x u a 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 可简写为.fuL 定解条件定解条件 g x u x 0 可简写为可简写为.guB 39 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上) 40 线性方程的解具有叠加特性 ii fLu ffi uui fLu 0 i Luuui 0Lu 4 4、叠加原理、叠加原理 叠加原理的叠加