二项式定理(通项公式)

1、学习推荐 精品好资料 六.二项式定理 一.指数函数运算 知识点：1.整数指数幕的概念. =a a a -a(n e 2V*) a = l(a h 0) 0smGN 且力 1). 例题： 例 1 求值：8100(l)-(p 481 例2用分数指数幕的形式表示下列务式： 1) a2 -4a,ay -yfaayfa (式中 a0).2) V-V 3) gja而 例3计算下列各式(式中字母都是正数)(1)(2川)(-6“.；)一(-3“加);(/) 例 4 计算下列各式：(1)-二=(0)； (2)(V25-V125)V5 例 5 化简：(X1 一 护)* (x1 - y*) 1133 例6已知x+x

2、上3,求下列齐式的值：(1)7 +无王込+丁鼻 二、二项式知识回顾 1.二项式定理 (a + b)n = C；y + Canxb + + Can-kbk + + C；：b”, 以上展开式共n+1项，其中C：叫做二项式系数，T= Cankbk叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) (a-b)n=Cy -Canlbl + + (-1)* Can-kbk + +(-1)HCy , Tk+x=-)kCankbk (1 + x) = C： + C； x + + C： + + + C：x (2x +1)” = C；(2x)” + C* (2x)-i + +(?： (2x)nk +(?；： (

3、2x) +1 =a)+ +(-aT x +qx + d0 -3-/5 式中分别令X二1和X二-1,则可以得到U+C：+ + C；=2“，即二项式系数和等于2”； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即C： + C：+= C；+C：+=2心 式中令x=l则可以得到二项展开式的各项系数和. 2.二项式系数的性质 (1) 对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C： = C；. (2) 二项式系数C：增减性与最大值： 当k时，二项式系数是递减的. 2 2 1 1 1 2 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 t 16汁201气代h 7 21 35 35 21 7

4、n/r-in+1 当n是偶数时.中间一项Cj取得最大值当n是奇数时，中间两项和C王相等，且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数So, 8” 82, fls, , Sn的性质：f (力二越+彌+越+*?+鸟# (1 )u+d】十2+3+ 心=f( 1)(2)/(K/i+t/2-=(-l)rC 厶厶 n 2厂 因为第6项为常数项，所以厲时，有丁丸，即 10-?r145 (2)令二2,得r = 2所以所求的系数为C,;(-j)2= (3)根据通项公式，由题意 0r c冲9即2r 2(r + l)10-r 解得-r . 33 心乙r = 3,故系数的绝对值最大的项是第4项，7；=-編27疋=一153

5、60 练习3已知（長-ZygNj的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10： 1. JC 3 （1）求展开式中含的项：（2）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定堀的系数 例4（x2+1）（x-2）7的展开式中，/项的系数是: 解：在展开式中，疋的来源有： 第一个因式中取出兀2,则第二个因式必岀X,英系数为U（2）“： 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出其系数为U（-2） x3 的系数应为：G 从而可知最小项的系数 为 C：(T)5=762 (2)一般的系数最大或最小问题 例9求(頁+ _1=)8展开式中系数最大的项； 又7； = CT2，那么

6、有 2yjx 解：记第，项系数为7设第k项系数最大，则有 即 丄丄 WK-2 丄注 9-K- K 解得3k7丿和第4项7； =7。 (3) 系数绝对值最大的项 例10在(x-y)?的展开式中，系数绝对值最大项是 匚 解：求系数绝对最大问题都可以将“(-仍型转化为+则”型来处理， 故此答案为第4项(jtxY，和第5项_c；Fb。 9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 例 11若(2x4-V3)4 =a() axa2x2+n4x4 ,贝lj (q+y+y)-(终+)的值为： 解：. (2a +V?)=山 axa2x2+n4x4 令x = L 有(2 +V?)4 =6+6+6+

7、6+6 , 令x = - 有(一2 +V?)4 =(仇 + +)-a+2 故原式=(y +q +q +6 +y)【(5 +a +J-(q +“J = (2+y(-2 + /y = (-l)4 = 1 【练习1】若(1一2对如=心+“$ + 2十+ 2004.严 贝lj(6 + q) + (q + q) + +(5 +)=_： 解：/ (1 -2x)2WM = aQ + axx + a2x2 +. + 2004x2WM,令x = l 有(1 一2)2031 =如+4+為+ + %m = 1 令x = 0,有(1 O)2004 = aQ = 1 故原式=(a0 + a + a2 +. + 2oo4

8、) + 2003a0=l + 2003 = 2004 【练习 2设(2x-ir =%&+. + qx + % 则|aJ + |a+ |aJ + + |&6|=: 解:v7；+1 = C：(2Qg (-1)帆卜皿+ |6| + |忑| =山-厲+-+-+匕 =(心 +a2 +a4 +y)_(q +q +J =1 10利用二项式定理求近似值 例15.求0.9986的近似值,使误差小于0.001； 分析：因为0.99护=(1-0.002)6,故可以用二项式左理展开计算。 解：0.9986 = (1 - 0.002 )6 = 1 + 6.(-0.002 )J +15.(-0.002)2 +. +(-0.002 )6 .7； =(；. (-0.002)2 =15x(-0.002)2 =0.00006 0.001, 且第3项以后的绝对值都小于0.001, 二从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 .0.9986 =(1-0.002)* 1 + 6x(-0.002) =1-0.012 = 0.988 小结：由(l + x)” =1 + C+C2+-+C：x，当X的绝对值与1相比很小且很大时，X2,X3，.X 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范困内可以忽略不汁,因此可以用近