直线地全参数方程及其应用(不错哦,放心用)

1、 实用标准文案直线的参数方程及应用目标点击：1 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击：1、 直线参数方程的标准式(1)过点 p (x , y )，倾斜角为a 的直线l 的参数方程是000cosax = x + t（t 为参数）p p0x , y)0t 的几何意义：t 表示有向线段的数量，p(ay= y + t sin0p p=tp p=t为直线上任意一点.00(2)若 p 、p 是直线上两点，所对应的参数分别为 t 、t ，1212则 p p =t

2、tp p =t t 1 2211 221(3) 若 p 、p 、p 是直线上的点，所对应的参数分别为 t 、t 、t123123t + t+则 p p 中点 p 的参数为 t ,p p = t t121 2330 31222(4)若 p 为 p p 的中点，则 t t 0，t t 0 时，点 p 在点 p 的上方；0 当 t0 时，点 p 与点 p 重合；0 当 t0 时，点 p 在点 p 的右侧；lp()0 当 t0 时，点 p 与点 p 重合；0x0 当 t0 时，点 p 在点 p 的左侧；0问题 2：直线l 上的点与对应的参数 t 是不是一对应关系？ly我们把直线l 看作是实数轴，以直线

3、l 向上的方向为正方向，以定点 p0xp为原点，以原坐标系的单位长为单位长，0这样参数 t 便和这条实数轴上的点 p 建立了一一对应关系.问题 3：p 、p 为直线l 上两点所对应的参数分别为 t 、t ，1212则 p p ？，p p =？1 21 2p p p p p p t t t t ，p p = t t 1 21 00 212211 221文档 实用标准文案l01212ly1212根据直线 参数方程 t 的几何意义，lp0l11220x12120p pp p，即 t t , t t 0,设这个二次方程的2215254两个根为 t 、t ,由韦达定理得 t t , t t ，由 m 为

4、线段 ab 的-12121 28+ t2中点，根据 t 的几何意义，得| pm| t11521615中点 m 所对应的参数为 t = ,将此值代入直线的标准参数方程*，m163 15 4141 3m 点的坐标为即 m（ ， ）x = 2 + =5 16 164 15 3164y= =5 16 45(3)|ab|t t (t + t ) - 4t t 7322112812点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数 t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例 7：已知直线l 经过点 p（1,3 3

5、 ）,倾斜角为p ，3(1)求直线l 与直线l： y = x - 2 3 的交点 q 与 p 点的距离| pq|；(2)求直线l 和圆x2 + y2 16 的两个交点 a，b 与 p 点的距离之积.解：(1)直线l 经过点 p（1,3 3 ）,倾斜角为p ,直线l 的标准参数方3文档 实用标准文案1程为，即（t 为参数）代入直线 l ：x 1 tcosx 1t323t2y3 3 tsiny3 3313t) 2 3 02y x 2 3 得(1 t) ( 3 32整理，解得 t=4+2 3t=4+2 3即为直线 与直线l 的交点 q 所对应的参数值，根据参数 t的l几何意义可知：|t|=| pq|

6、,| pq|=4+2 3.1(2) 把直线l的标准参数方程为（t 为参数）代入圆的方程x 1t2y3 33t2138t+12=0 ，x y 16 ，得(1 t) ( 3 3t) 16 ,整理得：t2222222= 8 -4120, 设此二次方程的两个根为 t 、t 则tt=122121 2根据参数 t的几何意义，t 、t 分别为直线和圆x y 16 的两个交点2212a, b 所对应的参数值，则|t|=| pa|,|t=| pb|,12所以| pa| pb|=|t t|=121 2点拨：利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与

7、另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例 8 ：设抛物线过两点 a(1,6)和 b(1,2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线 y=2 x+7 被抛物线截得的线段长是 4 10 ，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为 y=2. 设抛物线顶点坐标为（ ，2）a方程为(y2) =2p(x a) (p0)2点b(1,2)在抛物线上，(2 2) =2p( 1a)2ap= 8 p 代入 得(y2) =2p x2p+162将直线方程 y=2 x+7 化为标准的参数方程 tg =2, 为锐角，1x 1t125 （t 为参数） cos =, sin =得255y 5t5直线与抛

8、物线相交于a ，b, 将代入并化简得：文档 实用标准文案4(p - 6)254512 - 2p70,可设方程的两根为 t 、t ，t +2t - 0 ，由=+ 35125又|ab|=t t (t + t ) - 4t t 4 1022111225 (12 - 2p)354=(4 10 )2化简，得(6p) =1002 + 424 p=16 或 p=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y2) =32 48x2点拨：(1)（对称性） 由两点 a(1,6)和 b(1,2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 p 一个未知量，由弦长 ab 的值求得 p）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问

9、题 .此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.(x -1)2y2例 9：已知椭圆1，ab 是通过左焦点 f 的弦，f 为右焦点，+=1243求| f a| f b|的最大值.22解：由椭圆方程知 2，b= 3 ,c=1, f (0,0),f (2,0),设过的弦所在直线的a12cosa =x t参数方程为y = t sina（3sin2a ）t26 t cosa 9=0 ，=36cos a 36（3sin a ）0（t 为参数） 代入椭圆方程整理得22此方程的解为 t 、t ，分别为 a、b 两点126 cosa- 9对应的参数，由韦达定

10、理 t t =t t 121 23 + sin a3 + sin a22根据参数 t 的几何意义，t 、t 分别为过点 f 的直线和椭圆的两个交点121a, b 所对应的参数值，| f a|t | |f b|t |1112123 + sina2|ab|=t t (t + t ) - 4t t 2211122| f a|f b|t |t |=|t t |11121 2由椭圆的第一定义| f a| f a|2a 4， | f b|+| f b|=2a 41212| f a| f b|=(4-| f a|)(4-| f b|)=16-4|ab|+| f a|f b|221111129=16-4t t

11、 +|t t |=16-4+211 23 + sin a 3 + sin a2239=16-3 + sin2aa| f b|有最大值254当 sin2a 1 时，| f22文档 实用标准文案点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解题，此题中两定点 f (0,0),f (2,0),显然 f 坐标简单，因此选择过 f1211的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| f a| f b| 转化为| f a|f b|.2211例 10：（黄冈习题册：p155,第 23 题）（2）除书中解法外，补充解法二.cosqx = a + t解法二：设过点 p( ,0)的直线 的参数方程为(t

12、 为参数aly = t sinqpq (0,p)q，且 ) (1)2直线l 与圆x2 + y2 5 相交于 b,c 将直线l 的方程(1)代入圆的方程qq2得 t +2a t cos +a 50，=(2a cos ) -4(a 5)0.222即 sina2q +50(2)2qt t =2 cost t =5a2abcbc直线l 与抛物线 y = +7 相交于 a,d 将直线l 的方程(1)代入抛物线的x2qt cos 70 ， = cosa2方程得 (sinqqq-4(sin )(- a )t2227)0即 1+(4 +27) sina2q 0- a - 7(3)cosqt t =t t =a

13、dbcsin qsinq22又|ab|=|cd|线段 ad 与线段 bc 的中点重合，即cosq1qt t =t t= -2 cos即-2 =，aaadbcsin qsin q221pq (0,p) q ,且 0sinqq 0a2 + 271aa 必须满足 0a-10 1点拨：此题利用直线参数方程形式比普通方程求 的范围运算量相对要a小，注意使用直线上两个点的中点的参数.cosax = x + t方法总结：利用直线l 的参数方程（t 为参数），给研究直线与0y = y + t sina0圆锥曲线 c：f( x, y )=0 的位置关系提供了简便的方法.文档 实用标准文案一般地，把 的参数方程代

14、入圆锥曲线 c：f( x, y )=0 后，可得一个关于 tl的一元二次方程， ( )=0,f t1、(1)当0 时，lll 与 c 相交有两个交点；2、 当0 时，方程 ( )=0 的两个根分别记为 t 、t ，把 t 、t 分别代入l 的f t1212参数方程即可求的 与 c 的两个交点 a 和 b 的坐标.l3、 定点 p (+t =0x , y )是弦 ab 中点 t012004、 被 c 截得的弦 ab 的长|ab|t t |；p ap b= t t ；弦 ab 中点 m 点l12001 2t + tt1+ t对应的参数为；| p m |=212022基础知识测试 2： x =1+

15、t28(t 为参数)与椭圆 +=7、 直线x2y2交于 a、b 两点，则|ab|等于()= -2 + ty4 362a 2bc 2d33cosax = x + t8、直线0（t 为参数）与二次曲线 a、b 两点，则|ab|等于()y = y + t sina0t + ta |t +t |b |t |t |c |t t |d1212121221x = 2 - t2119、直线(t 为参数)与圆 +=x2y2有两个交点 a、b，若 p 点的坐1ty = - +2标为(2,-1),则|pa|pb|=x =6 + 2t710、过点 p(6, )的直线7(t 为参数)与抛物线 y =2 x 相交于 a、b 两点，2y = + t22则点 p 到 a,b 距离之积为.参数方