收敛常数项级数和的求法

1、收敛常数项级数和的求法一、利用收敛定义求和 当常数项级数的一般项为或可化为相邻两项代数和的表示 式时，可用收敛定义求其和 .例 1n=11 nn 2-1 n2.解 Un =Eton=1lnn2-1n2= In (n-1 )-lnn+ln (n+1)-lnn.Sn =Eton=2ln ( n-1 ) -lnn+ln(n+1) -lnn=In1-ln2+ln3-ln2+ In2-ln3+ln4-ln3+ +ln ( n+1)-lnn= ( ln1-lnn )+ln ( n+1 )-ln2=lnn+1n-ln2，limnSn=limnx lnn+1n -In2=-ln2 ，贝U S=-ln2.二、利

2、用已知函数的展开式及级数的运算 利用已知函数的幂级数展开式或已知和的常数项级数， 通过 运算，将所求级数化为已知其和的级数的代数和， 熟记 ex， cosx ， sinx , In (1+x) , (1+x) m的展开式，Ex n=0xn=11-x (x<1 ),Exn=0 (-1 ) nxn=11+x(x<1 ) ,Ex n=1xnn=-ln (1-x )(-1Wx<1 ).例 2 Exn=1n2n！.解 利用已知函数ex展开式：ex=Ex n=1x nn!,两端对 x 求导 ex=Exn=1nxn-1n !( 1).(1)式两边同时乘以 x, xex =Exn=1 nxn

3、n! ( 2).( 2)式两端对 x 求导：ex+xex=xn=1n2xn-1n !，令 x=1，贝U e+e=ETOn=1n2n!, s=Eto n=1 n2n! =2e.三、利用幂级数的和函数根据所给数项级数一般特点， 找一幂级数使给定的数项级数 可看作是该幂级数在 x=x0 处所得到的数项级数，求出该幂级数 的收敛区域和S (x)，代入x0得到数项级数的和 S (x0).例3 求数项级数的和 .解 构造幂级数x n=1 ( n+1) 2n! xn，当x=1时即为所求 数项级数的和.n=1 ( n+1) 2n! xn的收敛半径R=limn(n+1) 2n!( n+2) 2 (n+1)! =

4、x,则收敛域(-x, +x).S(x) =xn=1( n+1) 2n! xn 两端积分：/xOS (x) dx=xn=1/x0 (n+1) 2n! xndx=xn=1 (n+1) n! xn+1=x2xn=1xn-1 (n-1 )! +xxn=1xnn! =x2ex+xex.对等式两边求导 S (x) = (x2+3x+1) ex，令x=1，则S (1) =5e. .x n=1( n+1)2n! =5e.四、利用函数的傅里叶展开式选定函数f (x)，求f (x)的傅里叶级数，根据此级数的 系数特性，选取适当的x值代入，确定所求和的数项级数.例4设周期函数f (x)在-n , n上的表达式为f

5、(x) =e2x, 试把它展开成傅里叶级数，并求x n=1 ( -1 ) n-1 n2+4的和.解 a0=1 n / n - n e2xdx=e2 n -e-2 n 2 n ,an=1 n / n - n e2xcosnxdx=12 n / n - n cosnxdex=12 n e2xcosnx n - n +n2n / n - n e2xsinnxdx= (-1 ) n(e2 n -e-2 n ) 2 n +n4 n e2xsinnx n - n -n24 n j n - n e2xcosnxdx=-n24 n / n - n e2xcosnxdx+ (-1 ) n (e2 n -e-2 n ) 2 n ,移项得 an=2 (-1 ) nn2+4?e2 n -e-2 n n .同理bn=1 n j n - n e2xsinnxdx=n (-1 ) n+1n2+4?e2n -e-2 n n .f (x) =e2x 在(-n , n )内连续，但 f (- n +0) =e-2 n Mf(n +0) =e2 n .e2x=e2n -e-2 n n 14+ETOn=1 (-1 )nn2+4(2cosnx-nsinnx ),xM( 2n+1) n ,