一元二次方程知识点总结和例题——复习

1、 知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最髙次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。 2. 元二次方程有四个特点： (1) 含有一个未知数： (2) 且未知数次数最高次数是2： (3) 是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+bx+c二O(aHO)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。 (4) 将方程化为一般形式：ax=+bx+c=0时，应满足(aHO) 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过

2、整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=O (aO)o 一个一元二次方程经过整理化成aX=+bx+c=0 (aHO)后，其中ak是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4. 一元二次方程的解法 (1) 直接开平方法 利用平方根的龙义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如(X + )2 =的一元二次方程。根据平方根的左义 可知，x + a是b的平方根，当b0时，x + a = ylrb , x = -ayb,当 b0时，方程没有实数根。 (2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在 数

3、学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 a22ab + b2 =(a + b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替，贝9有 x22bx + b2 =(xb) 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式：化二次项系 数为1:常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为(x+p)Jq的形式，如果qMO,方程的根是x-p Vq：如果q 0) 2a (4) 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求岀方程的解的方法.这种方法简单易 行，是解一元二次方程最常用的方法。 5. 一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元

4、二次方程dP+bx + c = 0(“H0)中，b2 -4ac叫做一元二 次方程ax2 +bx + c = 0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即 = -4ac 7 精品好资料一一 6. 一元二次方程根与系数的关系 如果方程处2 +bx + c = 0( H 0)的两个实数根是X, X2 ,那么 bc Xx+X2 =. V，=- 0时，方程有两个不相等的实数根： （2）当b2-4ac = 0时，方程有两个相等的实数根： （3）当戻4ac 0时，方程无实数根。 温馨提示：若方程有实数根，贝0有戻-4皿0。 例题： 1、已知方程x2-3x+k = 0有两个不相等的实数根，则1- (B) k-

5、 (C) 0 (D) 一1 且0 7、在下列方程中，有实数根的是() 、X A) X+3x + l = 0B) J4x + 1 =-lC) F+2x + 3 = 0D) = x-1x-1 8、关于无的一元二次方程2x2-2x+3m-l = 0有两个实数根易,吃，且 xx2 X, +x2 4,则 m 的取值范|1：是() (A) m - (B) m (C) m - (D) - rn 32332 9若(x+y) (1xy) +6=0,贝ij x+y 的值是() A2 B3 C一2或3 D2或一3 10、若(m+1)肝zi+2mx-l=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 1K填上适当的数，使等式成

6、立：/5x+ = (x-)2 12、当时，代数式x2-3x比代数式2x2-x-1的值大2 . 13、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元, 则该玩具平均每次降价的百分率是。 14、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平 均一个人传染了x个人，方程为 15、参加一次聚会的没两个人都握了一次手，所有人共握手36次，设有x人 参加聚会，方程为 16、解下列方程： 7 1.（x + 2）2 一25 = 0直接开平方法2. x2+4x-5 = 0 （配方法） 3 x2-5x+6=0 （因式分解法）4. 2x2-7x + 3 = 0 （公式法） 1

7、7、设心花是关于X的方程+（加_l）_r_7 = o（加工0）的两个根，且满足 112 + =求m的值。 %, x23 18、求证：二次三项式一x2+4x-5的值恒小于0并求出它的最大值。 学习推荐 19、已知关于兀的一元二次方程x2+U-l = Oa (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)设的方程有两根分别为w 且满足召+吃=召求R的值。 20、已知z戸是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+nr= 0的两个不相 等的实数根，且满足丄+丄=-1,则m的值是() a p (A) 3 或1 (B) 3(C) 1(D)3 或 1 21. 已知：AABC的两边AB、AC的长是关于x的一元

8、二次方程 F(2R+3)X + /+3R + 2 = 0的两个实数根，第三边BC的长为5,问：k 取何值时，AABC是以BC为斜边的直角三角形？ 22、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成髙是5 cm, 容积是5 0 0 cnP的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。 7 精品好资料 23、如图，有一而积为150 in2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m）, 另三边用竹篱笆用成，如果竹篱笆的长为35 nn求鸡场的长 与宽各为多少米？ 24、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格 出售，每天可售岀200千克，为了促销，该经营户决泄降价，经调查发现，这 种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固 泄成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价 降低多少元？ 25、在矩形ABCD中，AB=6c