专题五几何中中点的妙用

1、中 点 的 妙用 联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们 当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示 看到中点该想到什么？ 1等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质； 2、 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”； 3、 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”； 4、 两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八 字型”全等三角形）； 5、有中点时常构造垂直平分线； 6有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7、倍长中线

2、 8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 线 一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“ 合一”的性质 1 所示，在 ABC中, AB=AC=5 BC=6 MNL AC于点N,贝U MN等于( 912 B 9 C 12 D 55 ) 16 5 “斜 1、如图 为BC中点, A. 5 二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想 边上的中线，等于斜边的一半” 2、如图，在Rt/ ABC中，/ A=90 ,AC=AB,M 分别在AC AB上。且AN=BMO为斜边BC的中点， OMN勺形状，并说明理由. 3、如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段 两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点Q从点

3、A出 A B滑动到点B为止，那么 发，沿图中所示方向按 Ar B C D A滑动到点A为 止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B C D Q 台匕】汪 第8题图 在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为D A. 2B. 4 二-1 C.二D. 三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理） CM 如图，已知四边形ABC的对角线AC与 BD相交于点B且AC=BF M N分别是AB CD的中点，MN分别交BD AC于点E、F.你第 出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理） 如图所示，在三角

4、形ABC中, AD是三角形ABC2 BAC的角 平分线，BDLAD点D是垂足，点E是边BC的中点，如果 AB=6,AC=14 求 DE的长 6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理） 如图所示，AB/ CD BC/ AD，DEI BE , DF=EF甲从B出发，沿着BA AD DF的方向运 动，乙B出发，沿着BC CE EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B出发, 则谁先到达F点？ 7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题） 如图，等腰梯形ABCD中, CD/ AB对角线AC BD相交于点0, ACD =60，点s、P、Q分别是DO AO BC的中点.

5、求证： SPC是等边三角形。 四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段 的中点时，常联想“八字型”全等三角形） 8、如图：梯形 ABCC中，/ A=90 ,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3, E为AB中点，求证：DEL EC 9、如图甲，在正方形 ABCD和正方形CGEF（CGBC中，点 B C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD MF的位置及数量关系，并证明； （2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF勺对角线CE恰好与正方形 ABCD勺边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。 （1）中得到的两个结论是否发生 变化？写出你

6、的猜想并加以证明 F 构造垂直 10、如图所示，在 B 平分线 ABC 中, AD是BCB边上弊, F D A C B.AC=2 BCG 图甲图G 求证： ADC为等边三角形。图 六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） 11、（1）探索：已知ABC的面积为a， 如图1,延长 ABC的边BC到点D,使CD=BC连接DA 若ACD的面积为3，则S1 = （用含a的代数式 表示） 如图2,延长 ABC的边BC到点D,延长边CA到点E, 使CD=BC AE=CA连接DE若也DEC的面积为S2，则S2 = （用含a的代数式表示） 在图2的基础上延长 AB到点F,使BF=AB连接FD,

7、FE,得至U DEF （如图3）,若阴影部分 的面积为S3, S3= （用含a的代数式表示） 发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF （如图4）, 此时，我们称ABC向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来 ABC面积的倍 应用：如图5,若厶ABC0积为1,第一次操作：分别延长 AB, BC, CA至点A, B, C, 使得AB=AB, BC= BC, CA=CA顺次连结A , B1, C,得到 ABC.第二次操作：分别延长 A1B1, B1C1, CA1 至点 A?, B2, C2,使 AB= A1B1, BC= B1C1, CA= C1A

8、1,顺次连结 A?, B2, C2, 得到AB2G,第三次操作，按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2010,最少要经过 次操作. 12、如图所示，已知梯形 ABCD AD/ BC,点E是CD的中点，连接AE、BE, 、 1 求证： SABE= S四边形ABCDA 2/ 13、如图，M是-ABCD中 AB边的中点。CM交BD 于点E,则 图中阴影部分面积与匚ABCDS积之比为 D圈 4 14、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD勺边AB BC的中点， 连AF、CE交于点G,则S四边形AGCD等于：A、5 B、 -C、- D 2 、 S矩形ABCD6 54 3 AM 七、倍长中线 15、如图，

9、 ABC中, D为 BC中点，AB=5 AD=6 AC=13 求证：AB丄AD 16、如图，点 D E三等分 ABC的 BC边，求证：AB+ACAD+AE 17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC BC为斜边在AB同侧 作等腰直角三角形ACE与 BCF连结DE DF EF, 求证： DEF为等腰直角三角形。 八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 18、半径是5 cm的圆中，圆心到8 cm长的弦的距离是 19、 半径为5cm的圆0中有一点P, OP=4则过P的最短弦长, 最长弦是, 20、 如图，在圆O中，AB AC为互相垂直且相等的两条弦， ODLAB OELAC

10、垂足分别为 D E,若AC=2cm则圆O的半径为cm 21、如图，在。O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm,则A、B两点到直线CD的 距离之和是. 22、如图，O O的直径 AB和弦 CD相交于 E,若 AE= 2cm, BE= 6cm, / CEA= 30, 求：CD的长； 23、 某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C 三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得 BC长为240米，A到 BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。 倍长中线： 1. （2011平谷二模）24.已知：如图，正方形 ABC冲，E为对角线BD上一点， 过E点作EFLBD交BC于F,连接DF, G为DF中点，连接EQ CG （1） 求证：egfCG （2） 将图中厶BEF绕B点逆时针旋转45o,如图所示，取D中点连接EG, CG问 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （3）将图中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的 结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） E EF 图 图 C