一元二次方程知识点总结(20210317235639)

1、21章一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3） 未知数的最高次数是2 ；（ 4）二次项系数不能等于0 2、 一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左边是 一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中 ax2叫做二次项，a叫做 二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前 面的符号。 （2）要准确找

2、出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须 把它先化为一般形式。 （3） 形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a 0时是一元二次 方程。 二、一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时， 2 2 x 3x 20所以x 2是x 3x 20方程的解。一元二次方程的解也 叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法： 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。 根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，

3、x a b， x a b，当b0时，方程没有实数根。 三种类型：（1） x2 a a 0的解是x x a ； (3) mx 2、配方法: (2)x m n n 0的解是x 、n m ； c m 0,且c 0的解是x 配方法的理论根据是完全平方公式 a2 2ab b2(a b)2，把公式中的a看 做未知数x，并用x代替，则有X2 2bx b2 (x b)2 (一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤: (1) 把一元二次方程化成一般形式 (2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数; (3) 把原方程变为x m 2 n的形式。

4、 (4) 若n 0，用直接开平方法求出x的值，若n 0 (2) 方程有两个相等的实数根b2 4ac =0 (3) 方程没有实数根b2 4ac v 0 注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二 次项系数不为0这一条件。 四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是 捲，x2, 那么Xix2 b -,X1X2 a 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0时，不含 有二次项，即不是一元二次方程. 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确 定a，b，c的值；若b2 4acv 0，则方程无解.

5、利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代 数式.如一2(x + 4)2 =3 (x + 4)中，不能随便约去x+ 4。 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必 须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法一因式分解法一公式 法.6.元二次方程解的情况 个相等的实数根；b2 - 4ac-且20 4 C. k 7=BC，不符合题意。故 x=1 (2)由 BP +BQ =5 得(5 x)+ (2x)=5 , 解得x仁0 (不合题意)，x2=2 . 所以2秒后，PQ的长度等于5。 三、针对性训练： 1.小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六

6、再去买时，正好遇上商场搞 酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0. 5元，结果小明的妈妈只比上次多花了 元钱，却比上次多买了 2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶? 2 合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40 元。为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈 禾尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售 出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？ 3在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分 作为耕地，要使耕地面积为540米2,道路的宽

7、应为多少？ 4小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存今年到期扣除利息税 (利息税为利息的20%),共取得5145元求这种储蓄的年利率.(精确到0.1%) 5.如图12-3, ABC中，/ B=90。，点P从A点开始沿 AB向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使 ABQ的面积等于8cm2? (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且 P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继 续在AC边上前进，经几秒钟，使 PCQ的面积等于12.6 cm2。 2cm处，点Q到距离B点8cm处。

8、故本小题有两解。 (2)设经过x秒，点P移动到BC上，且有 CP= ( 14-x) cm,点Q移动到CA上，且命名 CQ=( 2x-8) cm，过 Q 作 QD 丄 CB 于 D。 / CQDCAB , QD AB6(2x 8) 2x 8 AC，即 QD= 10。 16(2x 8) 依题意，得：2 ( 14-x) 10=12.6 , 解这个方程得：x仁7 , x2=11 经过7s,点P在BC距离C点7cm处，点Q在CA上距离 C点6cm处，使SA PCQ=12.6cm2 经过11s,点P在BC距离C点3cm处，点 Q在CA上距离C点14cm处，/ 14 0点 Q 已超出CA范围，此解不存在。故

9、本题只有一解。 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击：由题意，3月份的售价可以用 50X( 1 10%)表示，若设 4、5月份两个月 平均涨价率为x，则4月份的售价是 50X( 1 10%) ( 1+ x) , 5月份的售价是50X( 1 10%) X (1+ x ) (1+ x )即50 X (1 10%) X (1+x ) 2，由于5月份的售价已知，所以可列出一 个方程，进而解决本题。 解：设4、5月份两个月平均涨价率为 x，由题意，得 2 2 50 X (1 10%) X (1+

10、x )=64.8。整理，得(1+x )=1.44. 解得：x1 0.2 20%, x22.2 (不合题意，舍去)。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四 个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米求截去正方 形的边长. 思维点击： 设截去正方形的边长 x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和 宽的代数式 .结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解： 设截去正方形的边长为 x 厘米，根据题意，得 （6

11、0 2x） （40 2x） = 800. 原方程可写成： x2 50 x 400 0. 解这个方程，得 x1 10,x2 40. 如果截去的小正方形的边长为 40 厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之 和为 80 厘米，这超过了长方形铁皮的长 60 厘米，因此 x2 40 不符合题意，应舍去。 答：截去正方形的边长为 10 厘米。 温馨提示： 在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注 意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方 程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答 . 范例探究 基础思维探究 探究点

12、1、与图形有关的问题 例 1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德， 在一边靠校园 20 米的院墙， 另外三边用 3 55 米长的篱笆，围起一个面积为 300m3 的矩形场地组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等 小动物问这个场地的各边长为多少？ 思维点击：设与院墙垂直的边长为 x m,则与院墙平行的边长为（55-2x）m，根据矩形面 积公式可列出方程式 解：设与院墙垂直的边长为 x m，则与院墙平行的边长为 （55-2x）m，根据题意得： x 55 2x 300 整理,得 2x2 55x 300 0 . 解方程,得 x1 20,x2 15. 当x= 20，即与院墙垂直的边长为 20米时，另一边长为

13、20米，即与院墙平行的边长为 15 米 当x= 15，即与院墙垂直的边长为 15米时，另一边长为 25米，即与院墙平行的边长为 25米由于校园的院墙长20米，20 V 25，所以此解不合题意，应舍去. 答：与院墙垂直的边长为 20米，与院墙平行的边长为 15米. 55 x 温馨提示：若设与院墙平行的边长为x m,则与院墙垂直的边长为m .根据矩 2 形面积公式也可以列出方程式但出现了分数，不如前一种设法好. 探究点2、利润问题 例2、某商场服装柜在销售中发现：宝乐”牌童装平均每天可售出 20件，每件盈利40 元。为了迎接 六一 ”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，

14、减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要 想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 思维点击：每天售出的童装件数 X每件童装的利润=每天这种童装的总利润。 解：设每件童装应降价 x元，根据题意，得20 - 8 40 x 1200. 4 化简，得 x2 30 x2000,解得 x120,x210。 因为要尽快减少库存，所以x应取20。 答：每件童装应降价 20元。 温馨提示：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。 探究点3、增长率问题 例3、某厂1月份生产零件2万个，第一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率

15、 相同，求每月的增长率。 思维点击： 解：设每月的平均增长率为x，依题意，得2+2 （1+x） +2 （1+x） 2=7.98 经整理，得 100 x2+300 x-99=0，解得 X1=0.3=30% , x2=-3.3 不合题意，舍去。 答：每月的增长率为 30%。 温馨提示：（1）解本题的关键是理解 “7.98万个零件是3个月生产量的总和”，一定要注 意审题；（2）牢记公式a 1 x n b , a为增长率（降低）前的基础数量， x为增长率（降 低率）,n为增长（降低）的次数， b为增长（降低）后的数量. 综合思维探究 例4、一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分

16、别挖2条 和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖 多宽？ 思维点击：这类问题的特点是，挖掘所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关， 而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好 靠一边）。如图2所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为（162-2x）米，宽为（64- 4x） 米。 解：设水渠应挖x米宽，则根据题意，得 （162 2x）（64 4x）9600 x297x 960 解得：洛 1, X296（舍去） 答：水渠应挖1米宽。 温馨提示：此类问题可采用 靠边”的办法使得图形便于表达长、宽，主要体现了数学的 化

17、归思想. 创新拓展思维探究 例5、机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量 为90千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36千克。为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实 际油耗量进行攻关。 甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的 重复利用率仍为 60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少 千克？ 乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发 现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用

18、率将增加1.6%，这 样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克。问乙车间技术革新后，加工 台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少? 思维点击：（1）机械设备实际耗油量为用油量 -重复使用的用油量；（2）若设技术革新后 的乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，则比技术革新前下降了 （ 90-x）千克, 从而重复利用率增加了 （90 x） 1.6%，这样，就可以根据题意列出方程。 解：（1）由题意，得 70 （1 60%）70 40%28 （千克）。 （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克， 由题意，得 x 1 （90 x） 1.6% 60%12，整理，得 x2 65x 7500， 解得：为 75, X210 （舍去），（90 75） 1.6% 60% 84%。 答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克. （2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克？用油的重复利用率 是 84%. 解后反思：本题考查了考生灵活利