芝诺悖论的结构新探

1、第二届两岸逻辑教学学术会议论文集芝诺悖论的结构新探刘伟(南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所，南京210093)摘要：关于芝诺悖论的结构历来众说纷纭。而只有在正确地理解了其躁初本真结构的基础上才能对 其进行恰当分析本文通过考察历史上对于芝诺悖论的认识，阐明了其严整结构，在此基础上就当前国 内学界对芝诺悖论的一些误解加以澄清，并且表明了正确认识芝诺悖论的立脚点之所在关键词：芝诺悖论；时空观 芝诺否定运动的论证，由四个不同的精彩独到的归谬论证组成，它们既相互独立又彼此配合。数千年以来有众多的研究者包括亚里士多德、黑格尔和罗素等大哲学家在内都对 它们进行了深入的分析，得出了各种各样的结论，但是大多数人都

2、仅停留在对这四个论证 的分立的分析上，很少有人对它们做整体把握，使得人们不能正确地认识到芝诺悖论的结 构。最近，张兴先生发表论芝诺悖论的结构一文 ，试图从总体上对芝诺的四个论证 进行深入把握，把研究的重心放在芝诺这四个论证的相互关系上，可以说是非常难得的。 但是，由于作者对于悖论的定义问题不够重视，而且在对芝诺悖论的原始构成的理解上有 所偏颇，导致自己的某些观点难以自圆其说。本文试图就此作进一步的辨析，以就正于张 兴先生与学界同仁。芝诺(约公元前六世纪到公元前五世纪)是古希腊爱利亚学派的一名主要代表。其主 要理论活动是论证他的老师巴曼尼德的存在的唯一性和不动性观念，否定“多”和“运动”。 芝诺

3、悖论的提出就是为了论证“运动不存在”这一观点。芝诺本人的著作未能流传下来，但是他的这四个论证比较完整地被保留在亚里士多德 的物理学之中：“芝诺关于运动的论证(这些论证给那些研究这些问题的人造成了困难)有四，第一个 (二分法)说，运动不存在。理由是，位移物体在末达到目的地之前必须先抵达其一半处。第二个就是所谓的阿克琉斯(现通译为阿基里斯一引者注)，论证。这个论证的意思是说，一个跑得最快的檐麟西覆再自翰豳译为俩瞄醣醪寝鹤乳者滢瑚溜潮刍嬲鳋疆苍黄是啪敷被追的人的出发点，因此跑的最慢的人必然永远领先。 第三个论证(飞箭不动)是说，任何事物，当它是在一个和自己大小相等的空间里时(没有越出它)，它是静止的

4、。如果位移的事物总是在现在里占有这样的一个空间。那么 飞着的箭是不动的。第四个是关于运动场上运动物体的论证(运动场)。跑道上有两排物体，大小相同，数 目相同。一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，它们以相同的速度做相反的心运动。芝诺认为这里可以说明，一半的时间和整个的时间相等。”亚里士多德在这里所说的四个论证只是芝诺关于否定运动的诸多论证中的一小部分。 后来研究芝诺的人们习惯性地称它们为“芝诺否定运动的四个悖论”。这种称呼一直到今天 依然被大多数研究者所使用。后人对芝诺的这四个论证的认识虽各有不同，然而大都遵循亚里士多德对四个论证分别加以研究的先例，有人则仅致力于对其中一两个论证的研究

5、。eh于涉及到了时间和空间的无限划分问题，芝诺悖论的解决必须要有一个清晰的对于有限 和无限的把握。对此，古希腊人可以说是知之甚少，直到十九世纪末，数学家有能力驾驭作者简介：刘伟(1982一)t男，河北怀安人t现为南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所研究生，主要研究方向：哲学逻辑、模糊逻辑。667第二届两岸逻辑教学学术会议论文集无限之后，人们对芝诺悖论的认识才逐渐明朗起来。 经过长期的探索与讨论，现代西方的哲学界与逻辑学界对芝诺四个论证的逻辑结构可以说已经有了清晰的把握。例如，情境语义学创始人之一德福林在笛卡尔，拜拜一书 中明确指出：。芝诺依据飞箭悖论来挑战当时流行的原子论的时空观(原子论认为空间

6、是由众多相邻的点所构成，而时间是一连串连续的瞬间)。又用“阿基里斯追龟”来挑战另 一种认为时空可以无限分割的时空观，这一种时空观与前者是截然相反的。”(3)数学 家克莱茵的古今数学思想中也曾说明：“芝诺的争论是针对这两种理论的(即原子论的 时空观和认为时空可以无限分割的时空观)，他那关于运动的头两个悖论是反对第一种学说 的，而后两个悖论则是反对第二种学说的。这两对悖论中，每一对的头个悖论考察单独 一个物体的运动，其第二个则考察若干物体的相对运动。”(4)可以说这些观点已经很接 近芝诺饽论统一而完整的结构，其缺憾在于没有在正确认识悖论的定义的前提下对芝诺悖 论的四个论证作整体的分析明乎此，我们就

7、可以细致地分析芝诺的四个论证了。张建军教授曾将严格意义的(广义)逻辑悖论定义如下：“悖论是指谓这样一种理论事 实或状况，在某些公认正确的背景知识下，可以合乎逻辑的建立两个矛盾语句相互推出的 矛盾等价式”(5)该定义指明了严格悖论的三个构成要素：一，可以建立矛盾等价式， 或者说在同一背景知识下可以逻辑的推出p，又可以逻辑地推出1 p。二，推导所依赖的公 认正确的背景知识。三，所依赖的背景知识和矛盾等价式之间的无误推导限于本文宗旨，我们在此不讨论学术界关于悖论定义的诸多争论，而是用上述定义帮 助我们区分。严格悖论”和“半截子悖论”。简言之，。半截子悖论”指谓由p可推得非p， 而反之不然的情形。就学

8、界熟知的例子而言，“所有语句都是假的”导致“半截子悖论”， 而“本语句是假的”才导致严格悖论。前者只能通过归缪得出该语句必假，而后者则可建 构该语句和其否定语句的矛盾等价式这两个概念的澄清可以帮助我们理解芝诺悖论的原 始结构。下面，我们在严格悖论的定义下对芝诺的四个命题加以分析。论证一认为，运动(很明显，芝诺论证中所说到的运动就是位移)事物在到达目的地 之前必须先抵达其一半处，而在抵达其一半处之前又必须要先抵达其一半的一半处。如此 对空间一半一半的分割下去永无休止，则位移者寸步难行因而，位移是不可能的，运动 是不存在的。论证二是对论证一的补充，是说一个跑得最快者在追赶一个跑得最慢者时， 首先就

9、要达到后者的出发点，而在他达到这一出发点的时候，那个跑得最慢者(尽管跑得 很慢)却又在这一点时间里向前了一段距离，如此反复，跑的最慢者必然永远领先。在这里我们可以看出，论证一和论证二有着两个共同的的出发点：1假设运动存在。(这 是芝诺的整个理论系统所要极力否定的东西，但就所有承认运动存在的认知主体构成的认 知共同体而言，这却是“公认正确的背景知识”。)2时空是可以无限分割的。因而，论证一和论证二就可以一起描述如下： 如果承认运动存在，并且时空无限可分，那么，得出的结论(即位移者寸步难行和跑得最快的人追不上一个跑得最慢的人)是明显违背人们的直觉合理性的。 从论证一和论证二的形式可以看出，两个论证

10、都是对归缪法的漂亮的应用。即设运动存在为p，时空无限可分为q，违背直观合理性的结果为r，则得到如下结构：p并且q推 出r。由于r的荒谬性所归谬的是。p并且q”这个联言旬，该联言句的否定便相当予选言 旬“非p或者非q”(并非运动存在或并非时空无限可分)因此，芝诺对那些坚持运动存在的人显得十分宽容，为他们提供了另外一种选择可以去否定时空的无限可分性。换言之，如果坚持。运动存在”为公共知识，这两个论证就是对于“时空无限可分”的归谬 只有坚持时空无限可分，才构成对。运动存在”的归谬无论如何，就这两个论证而言， 它们充其量都只是“半截子悖论”，而不是严格意义上的悖论否认时空的无限可分性就意味着承认它的矛

11、盾命题“时空有最小不可分单位”。这正是668第二届两岸逻辑教学学术会议论文集芝诺的论证三和论证四所要讨论的问题。正确认识后两个论证，是正确认识芝诺悖论完整 结构的关键之一。飞箭不动”和。运动场”都是以“时空有最小不可分单位”再加上“运动存在”为 前提的。“飞箭不动”比较明显地要求把时空分割为一个个的单位，因为飞着的箭总是在一 个时间单位内占据着一个空间单位，因而，它是不动的。“运动场”则表述得不是很明显， 需要再作分析。德国学者柏内特在上述表述的基础上加入了一列静止的物体作为参照物，使得“运动 场”的推导更为容易理解哺1，图示如下：相对运动的起点相对运动的终点aaaaaaaabbbbbbbb一

12、cccccccc由于前提中有“时空有最小不可分单位”这一概念，那么在这里可将a，b。c物体所占 的空间均视为最小不可分单位，并且设b和c的一步位移可以度量一个最小不可分的时间 单位。那么，在由相对运动起点到相对运动终点的运动过程当中，b相对于第一行越过了 两个最小不可分单位，相对于第三行又越过了四个最小不可分单位这样就得出了一半的 时间相当于整个的时间的谬论。对论证三的分析可以得到和论证四同样都是明显违背直觉合理性的结论，飞着的箭是不动的和一半的时间相当于整个的时间，因为二者具有同样的前提一运动存在和时空有最小不可分单位。同论证一和论证二一样，在这里只能得到“半截予悖论”，而无法建立起矛盾等价

13、式。因而，论证三和论证四也不能说是严格意义上的悖论。设运动存在为p，时空 有最小不可分单位为s，违背直观合理性的结果为r，可以看出它们论证的结构和前两个论 证的结构是一样的：p并且s推出rr的荒谬性所归谬的仍是联言式：p并且s，其否定 为“非p或者非s”(并非运动存在或者并非时空有最小不可分单位)如果承认运动存在， 论证三和论证四就成了对。时空有最小不可分单位”的归谬。现在，把前两个论证和后两个论证结合起来分析，一个严格意义上的芝诺悖论即将浮 出水面。如前所证明的，芝诺关于否定运动的四个论证都不是严格意义上的悖论，而只是四个 漂亮的归谬。亚里士多德对芝诺悖论的选择十分巧妙，从穷尽可能的角度讲，

14、第一、三论 证是针对单一个体的位移而言的，第二、四论证是针对个体间的相对位移而言的。前两个 论证是对“时空可无限分割”的归谬，后两个论证是对“时空有最小不可分单位”的归谬。 由于这两个正好构成了一对矛盾命题，由此我们就可以在承认“运动存在”这一公认正确 的背景知识下，逻辑地建立如下矛盾等价式：时空无限可分，当且仅当，时空有最小不可 分单位以上分析表明，以学界长期习惯，把芝诺否定运动的论证看作是四个分立的。悖论一 加以分析和解决的方法，并未能真正理解芝诺悖论的实质而只有把这四个论证当作是一 个整体来把握时，才能认识到真正意义上的严整的芝诺悖论。芝诺悖论对于其本人及埃利 亚学派等否认运动的认知共同

15、体来说只是一个有力的否认运动的归谬论证，但是对当时任 何承认运动的认知共同体而言，芝诺悖论都是一个货真价实的悖论。由此可见，芝诺悖论确实是人类历上的第一个严格的悖论，但是只是高度依赖直觉 合理性的哲学悖论。其严密的论证结构深藏于巧妙的论证当中由于人们对于这四个论证如何共同构成一个严格悖论没有清楚把握，造成了人们对于芝诺悖论的结构和论证前提的 误视和错解，这在国内西方哲学教材中就有明显体现第二届两岸逻辑教学学术会议论文集例如，在国内一部西方哲学的著名教材中对芝诺悖论是这样描述的：“第一个悖论指 出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖 论说明运动路程和时间的

16、无限可分性造成的速度是静止的 第四个悖论纯属数学游戏。”(7)如前所述，不能把芝诺悖论当作是四个相互独立的悖论，因为它们任何一个都不能构 成一个严格的矛盾等价式，而第四个论证也绝不仅仅是数学游戏。第一和第二个论证的确 体现了时间和空间的无限可分性，但绝不是。说明”了这一性质，而是说在承认时空无限 可分的前提下会出现违背直觉合理性的结论。而它们共同前提的反命题“时空有最小不可 分单位”是由论证三和论证四来说明的如果这一说明没有完成，就无法构成一个严格的 悖论再如，另一部著名的西方哲学教材中也认为：“二分法和阿基里斯追龟说的 是，某一有限的距离可以无限分割，飞矢不动说的是运动的物体在每一个瞬间都处

17、在一 个静止的点上。运动场说的是物体的绝对运动和相对运动的矛盾。”(8)可见，该书 也是看到了关于时空无限可分割性的说明而没有看到关于其否定命题的说明。没有把后两 个论证放在与前两个论证同等重要的地位上来看待，这样就必然不能对芝诺悖论的完整结 构做出正确的认识。作者只是由违背直觉合理性得出了该论证中必然存在着矛盾，而对于 该矛盾的具体形式却没有予以澄清由此，作者认为，“芝诺在思维方式上的根本缺陷，就 是把概念，范畴凝固化，把一切对立的概念、范畴等，比如连续性和间断性，有限和无限 等等，看作是绝对不相容的东西”(9】由于忽视或者说弱化了后两个论证的作用，作者 不能认识到，芝诺悖论产生的原因恰恰是

18、把有限和无限，连续性和间断性当作是统一的整 体来看待时才出现的。即在承认运动存在的前提下，不论是承认连续(时空可无限分割) 还是承认间断(时空有最小不可分单位)都会导致矛盾。只有处在两难的矛盾等价式当中 时，才会显得难以辩驳，而如果芝诺犯的只是一个把概念范畴凝固化的错误的话，也就不 能称其为一个严格的悖论了其实早在上个世纪九十年代初，张建军教授就已经在其著作中对芝诺悖论的完整结构 做出了清晰的说明，并且提出了。中国古代典籍当中为什么没有出现类似的严格悖论而只 有半截子悖论”这一值得深思的问题(10)，但由于学界对严格悖论和非严格悖论的区分重 视不够，对于芝诺悖论的严整把握尚未成为学界的通行观念

19、同时，学界的种种误解还表 明，要正确认识芝诺悖论的结构，除了正确区分严格悖论和。半截子悖论”之外，还要足 够重视论证三和论证四的作用，认清它们与前两个论证的关系和相互作用。没有后两个论 证，芝诺悖论是不会有如此重要的地位的芝诺是在。运动存在”的前提下构建出这四个论证的，而对于当时所有以“运动存在” 为。公认正确的背景知识”的哲学家共同体以及日常合理思维认知主体而言，这都是一个 货真价实的悖论四个论证当中分别涉及了时空的划分问题是可以无限划分还是有最 小不可分单位运动和时空是密不可分的，任何形式的运动都必然是在时空当中完成，而 时空观就必然成为芝诺的前提和结论之间的纽带，对于时空的理解不同，对芝

20、诺悖论的理 解无疑也是不同的。尽管历代哲学家和数学家中都有人宣称已经解决了这一难题，但是它 又总是会以新的形式得到重构，其根本原因其实是落在了关于时空观与无穷观的认识上远在古希腊时代，无穷的概念与方法就已渗透迸数学领域，并已开始了潜无穷和实无穷 这两种无穷观的萌芽。伊奥尼亚学派的阿纳克萨戈拉认为物质是无限可分的；而古代原子论 者却认为存在着最小的不可分质点，一般认为，“在这两种认识中即已孕育着两种不同的无 穷观。前者导致事物无限可分而永远在分割的进程中，这就是潜无穷观的萌芽；后者引向事物 为不可分的最小质点的无限堆积的总体，这就是形成实无穷概念的起始”(11)亚里士多德对芝诺的这四个命题批判道

21、：“既然时间是连续的，大小也会是连续的，670第二属两岸逻辑敦学学术会议论交集因为在一半的时间内通过的是一半的大小，而且一般的讲，在较少的时间中通过的时间也 较少，因为时间的划分和大小的划分是相同的。而且，如果一方是无限的，另一方面也是 如此 因此，芝诺的论证是错误的，他认为一个事物不能在有限的时间中通过无限的东 西或者分别与无限的东西相接触 ”(12)从他的原文中可以看出，亚里士多德对于“两 分法”和“阿基里斯”的批判是比较有成效的，而对于“飞矢不动”和“运动场”却所言 甚少且说服力不强。其实在这里，亚里士多德是把数学上的连续性和感觉上的连续性等同 了起来，在此基础上就试图解决芝诺悖论。对于

22、他来说，一个类只能是潜无穷的，类的元 素可以无限的增加，但是它绝不是一个已经完成了的整体。在这样的背景下，亚里士多德 用潜无穷的观点来回应芝诺关于潜无穷观念的挑战当然是无力的，注定只能掉进芝诺的另 一个圈套。在这里需要特意指出的是，在古希腊时期不可能有明确的实无穷的概念，因而人们都 仅仅是把无穷看成一种不断延伸，永无止尽的变化过程，是时间上的无始无终和空间上的 无边无际，前面总结的“时空无限可分”和“时空有最小不可分单位”是一对矛盾命题是 在这样的潜无穷的时空观下而成立的。并且更严格地说应该把这一对矛盾命题当中的时间 和空间分开来叙述，即，要加上亚里士多德所给出的前提：“如果一方是无限的，另一

23、方 也如此，如果一方在哪方面无限，另一方亦如此。例如，如果时间在两个极端方面无限， 长度也在两个极端方面无限，如果时间在划分上无限，长度也会在划分上无限，如果时间 在上述两个方面都无限，大小亦会在这两个方面都无限。”(13)只不过即使将时间和空 间，有限和无限分开来论述，悖论也一样会发生，只是推导过程更加复杂一些而已。我们今天可以站在前人的基础上对芝诺悖论有更深的理解，对于时空是否可以划分以 及如何划分的问题古希腊人可以说是筹莫展。就时空本身而言，直觉上可以无限划分而 可论证为不可划分这一事实在一些概念没有澄清之前似乎就是一对无法解决的矛盾。这一 矛盾在康托尔之后才得到了一些缓解。康托尔发现，

24、人们普遍地利用时间和空间的概念来 阐明人们头脑中的连续性观念，但是在他看来，这样的直观观念是不能被接受的，连续性 是独立于时间的连续性的，时间的连续性也不过是自然界中制约运动的一种附属概念。康 托尔指出，在空间中，运动的连续性是完全可能的，但是在接受空间一词的时候，并不意 味着同时也接受了连续性。整个时空尽管可以进行划分，但是在实无穷的观点看来，对时 空的无限分割本身就是一个整体，是一个已经完成了的集合，在这种情形下，运动依然是 存在的，但是其存在并不以时空的划分形式为一种基本度量。弄清楚了芝诺悖论所产生的立脚点，就可以明白对于它的本真结构的解释并不能建立 在现代科学的理论水平和知识背景下，这

25、就是张兴的论芝诺悖论的结构一文的不妥之 处。文中认为“二分法”和“阿基里斯追龟”所导致的是“无穷小量既是零又不是零”这 样的一个“悖论”，而处于古希腊时期的芝诺不可能有一个明确的“无穷小量”的观念。其 实芝诺在论证他的悖论时主要还是依靠哲学思辨和直觉合理性。真正的无穷小方法的普遍应用是16世纪到17世纪上半叶的事，在这一时期，无穷小量已经在数学，尤其是微积分 中广泛应用并发挥了很大的作用。到了牛顿和莱布尼茨时期，由于他们力图为无穷小量提 供坚实的理论基础，却又不能正确地把握经验与理性的关系，使得无穷小理论中的逻辑困难 日益突出。此时贝克莱主教又对无穷小方法进行了大肆的致击，才使得无穷小量到底是

26、否 为零的问题第一次上升到了饽论的高度来认识，并由此引发了第二次数学危机。因而，把 无穷小量问题当作芝诺悖论原始结构的一部分是不恰当的，结构一文对。二分法，和。阿 基里斯”两个论证的解释很明显是不符合芝诺的原意的。同样的问题出现在对论证4“运动场”的解释当中，作者站在相对论和量子力学的角度 设计这个运动实验，用当物体以光速作相对运动时所要遵守的“光速不变定理”来解释“运 动场”所提出的搿一半的时间等于一倍的时间”这个问题。(并且这个问题导致了在相对论67i第二届蘸岸逻辑教学学术会议论文集和量子力学方面的矛盾)从光速运动的角度也确实可以比较完整地解释“运动场”提出的 问题。但是我们必须认识到，相

27、对论理论的创立建立在牛顿力学高度发达的基础上，牛顿 在物理学上所取得的成就与古希腊时期的物理学成就根本就不可同日而语。相对论与量子 力学的提出比芝诺悖论的提出要晚出两千多年，其学术背景和历积淀是古希腊时期所远 不能及的。结构一文的作者的失误就在于用自己的这种现代观点的解释来构架芝诺悖论， 而没有注意将芝诺悖论的原初本真结构与其在近现代科学中的各种“重塑”相区别。对于任何一个理论或问题，都是可以从不同的角度加以观察理解的。旧的问题加上新 的视角往往可以给原问题注入新的生机和活力，也往往由之可以更深地挖掘到原问题的含 义。但是我们绝不能把从新理论对芝诺悖论做出的解释就当作是芝诺悖论自身的原本含义 芝诺悖论以其严格的论证而著称，两千多年来经久不衰而难以辩驳。并且每隔一段时间就 会重新出现在人们的视野里而成为学界讨论的焦点。究其原因，除了由于新理论的注入使 得人们对它的理解加深以外，主要还在予芝诺悖论本身的严格的论证，使得其在一诞生时 就在历上占有一席之地。我们并不反对从现代的观点出发挖掘芝诺悖论的意义，但是如 果讨论芝诺悖论的结构的话还是应当回归到其原始结构，并将其与后来在现代科学中的。重塑”区别开来。否则