(整理)二重积分计算.(20210430221142)

1、精品文档 第二节二重积分的计算 这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的. 一、矩形上的二重积分的计算 为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法 定理12. 4 若函数f(x,y)是矩形D=a,b x c,d上的可积函数.若对每一个x a,b积 分 d h(x)二 f (x,y)dy c 存在，则h(x)在a,b上可积，并有等式 bb d f (x, y)dxdy 二 h(x)dx = ( f (x, y)dy)dx, Daa c b d 它也记为.dx . f (x, y)dy.这个表达式称为 二次积分或二次累次积分，也简称为累次积分. a c 证明在a,

2、b中插入若干个分点a =x0 :右：:：X? ： :=b,并记 Xi= xl Xi-i , (i=1,2，.,n),当令入 x=max Xi | i=1,2，.,n ,要证： nb d lim h( J % 二(f (x, y)dy)dx. 0 i a c 再在c,d中插入若干个分点c = y0 ： y： y2 ： : ym = d , yj=yj - yj-1 , (j=1,2，.,m),那么，直线y= yj (j=0,1,2,.,m), x= Xi(i =0,1,2,.,n) 将 D 分成m n 个小矩形 Dij= Xi-1, Xi x比一丄,yj (i =1,2，.,n, j=1,2，.

3、,m).当记 mj 二 inf f(x,y)|(x, y)Dj , M 0 二 sup f (x,y) |(x, y) D mm yjm mj yj _h( J 二 i f ( i,y)dy M j y n mnn m 因此，二 二 mijyjXjh( J二Xi M iyxi i m j Ti di=1 j zi 注意到，此式的左右两端正是f(x,y)在矩形D上以此分划的 Darboux小和及大和. 再令令入y =max yi | i=1,2，.m ,入=入x +入y,由可积性知, n m li叫二- m0 ：yP Xi 二 f(x,y)dxdy, 1 0 i 4 j 4d n m 1也迟迟

4、MjAyjAXj = f (x,y)dxdy. i 2 j 二D 又有两边夹易得 n 1叫丁(小打(5幼 n 即有 lim h( ) ：Xi! ! f (x, y)dxdy,那么 x 0 i 4D bb d h(x)在a,b上可积，并有等式f(x,y)dxdy 二 h(x)dx 二(f (x, y)dy)dx. Daa c 同样我们可得 定理12. 5 若函数f(x,y)是矩形D =a,b x c,d上的可积函数.若对每一个y c,d积分 b g(y)二.f (x,y)dx a 存在，则g(y)在c,d上可积，并有等式 dd b f (x,y)dxdy 二 g(y)dy 二(f (x, y)

5、dx) dy, Dcc a d b 这时它也记为dy f (x, y)dx(也是二次积分 或累次积分). c a 引理 若函数f(x,y)是矩形D=a,bx c,d上的连续函数，那么 bd g(y)二 f (x, y)dx 和 h(x) = f (x,y)dy ac 分别是c,d和a,b上的连续函数当然也是相应区间上的可积函数. 证明 只证g(y)是c,d上的连续函数.由条件知，f(x,y)在a,b x c,d上一致连续，所以, 任意 图 12-2-3 即D = x, y门込x込2,1込y込x. 所以 2 x xyd-.； - 1 dx 1 xydy D y =x dx y 4 3 x -1x

6、 dx = 9 2 8 也可以将D看成是y -型区域, D = x, y |1乞y乞2,y乞x乞2，于是 精品文档 2 2 xyd； - 1 dy y xydx D 2 dy xm 13、9 =H22y 庐飞. 有上面的例子可以看到, 计算二重积分的关键是区域, 要注意的是区域的区别，同时还要 考虑被积函数. 定理12.9 设D =( x, y) | c兰y兰d,u(y )兰xVy为y 型区域，f(x,y)是D上的 连续函数，那么 d v(y) ! f (x,y)dxdy 二 dy f (x, y)dx Dc u( y) 如果D既不是x-型区域也不是 y-型区域,如图12-2-4 x-型区域和

7、y-型区域的并 我们可以将D分划成若干个 例2计算二重积分 m xyd二，其中D是有抛物线y2 =x及y=x-2所围成的有界 闭区域. 所以积分可以写为两个二次积分的和即 1 qx4* x 口xydb = dxj _xydy +dx xydy U一 X2x _2 D x 型的，又是y型 最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点. 所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是 的，但是在计算时候，可能将它看成其某中一种时，计算不出来比如下面的例子. 例3 计算二次积分 dy 11 sin x , dx x 分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管 空的原函数是存在的，但是

8、还是无 x 法求出其表达式.我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计 算. 1 i 解 dy J空 dx = 口耳旳，其中D是如图12 -2-6所示的区域，将它看成是x- Xd x 型区域，有D = x, y |0岂x岂1,0岂y岂x，所以 sin x x 沁 ly fdx x 1 oSin xdx =1 -cos1 图 12-2-6 上面例子的方法常称为 交换积分次序可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积 分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序，是难以计算出结果. 设 D = x,y |a _ x _ b,c _ y _ d，如果 f(x)和 g(y)分别在a

9、,b和c,d上可积，则 f(x)g(y)在D上可积 拼有 bd f(xg(ydb = f(xjdx J g(y)dy. D 读者可以自己验证上面的结论. 例4 计算！ ！ x2 y2d匚, D 其中 D = x,y |0 _x _1,-1 _ y _1. 解：由上面的讨论，有 iix2y2d；= D 1 1 2 2 0dx y dy 121 =0 x dx dy dy 例5 求由曲面 2 2 z二x y与z =1所围的体积 V . 解: 此立体如图 1 2 -2-7所示，它的体积可以看 成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积. 2 圆柱体的体积是 V1 =蔥1工蔥.曲顶柱体的顶是 2 2 2

10、2 Z 二 x y ,底为区域 D = x, y |x y 1.所 以其体积为 1 1 %2 = H(x2 +y2 M = LdxJ 口(x2 +y2 dy D 兀 n n 所以此立体体积为二-一= 2 2 1八 在这里积分x.亠2 x2 y2 dy的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在 这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分. 本节最后将给出前面积分运算的几何解释. 当f x, y是有界闭区域D上的连续函数且f x, y 0时，二重积分.f x, y d二表示 的是以D为底，以f x,y为顶的曲顶柱体的体积如图12 -2-8所示它的体积可以通过 计算这个二重积分得到.

11、 图 12-2-8 我们下面通过另外的一种途径来求其体积. 我们采用的方法是定积分的微元法. 1 以X为积分变量，其变化区间为a,b 1； 2 .求在a,b的一个小的子区间x,x - dx上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小 的曲顶柱体, 于任意的 x0Ea,b】,用平面x=x0去截曲顶柱体得到截面 x = D 8) M(3x，2y)d二，其中D是x轴、y轴与直线x 2所围成闭区域， D 9) 11(x2 3x2y y3)d二，其中 D 是矩形闭区域：0Wxw 1, 0Wyw 1 ； D n )的三角 10) JJxcos(x + y)db ,其中 D 是顶点分别为(0, 0), ( n ,0

12、 )和(n , 形闭区域. 4交换下列的积分顺序 3 9 _x2 1) dx f(x,y)dy； 0_ 9 _x2 39 -y 2) dyf(x,y)dx； 00 JI 14 3) dx f(x,y)dy； 0 arctan x 1 2y 33-y 4) dy f(x,y)dx dy f(x,y)dx； 0 0 1 0 1 y 5) dy f (x,y)dx； 0 0 11 二y2 6) dy f (x,y)dx； 7) _y2 2 2ye In x dy f (x, y)dxdx f (x, y)dy 7) 0y28) 10 5求下列的积分 13 2 1) dx ex dy ； 0 3y 1 1 2) dy 、x3 1dx； 0 y 39 2 3) dy y cos(x )dx； Ji 12 2 4) dy cosx -1 cos xdx 0arcs